1. 解下列方程:
(1)$x^2 -2x=0$;
(2)$x^2+3x-4=0$;
(3)$x^2-5x+6=0$.

(1) $x_1=0,x_2=2$
(2) $x_1=1,x_2=-4$
(3) $x_1=2,x_2=3$

【分析】
这三道题都是二次项系数为1的一元二次方程，优先选择因式分解法求解：首先将方程左边变形为两个一次因式的乘积，右边保持为0，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根，该方法比配方法、公式法更简便。
【解析】
(1) 对$x^2 -2x=0$左边提取公因式，得：
$x(x-2)=0$
则$x=0$或$x-2=0$
解得$x_1=0, x_2=2$
(2) 对$x^2+3x-4=0$左边用十字相乘法因式分解，得：
$(x+4)(x-1)=0$
则$x+4=0$或$x-1=0$
解得$x_1=1, x_2=-4$
(3) 对$x^2-5x+6=0$左边用十字相乘法因式分解，得：
$(x-2)(x-3)=0$
则$x-2=0$或$x-3=0$
解得$x_1=2, x_2=3$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=2$
(2) $x_1=1,x_2=-4$
(3) $x_1=2,x_2=3$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握因式分解法尤其是十字相乘法，能快速得到方程的根，是后续解决更复杂二次相关问题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9

2. 将上面得到的解填到下面的表格中，你发现表格中两个解的和、积与原来的方程有什么联系？

二次项系数为1的一元二次方程，两根之和等于方程一次项系数的相反数，两根之积等于方程的常数项。

【分析】
解题时首先需要分别求解给出的3个一元二次方程，得到每个方程的两个根$x_1$、$x_2$，再计算每组根的和与积，最后对比每个方程的一次项系数、常数项与对应根的和、积的数值，即可总结得出规律。
【解析】
1. 求解方程$x^2-2x=0$：
因式分解得$x(x-2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$，
因此$x_1+x_2=0+2=2$，$x_1x_2=0×2=0$。
2. 求解方程$x^2+3x-4=0$：
因式分解得$(x+4)(x-1)=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=1$，
因此$x_1+x_2=-4+1=-3$，$x_1x_2=-4×1=-4$。
3. 求解方程$x^2-5x+6=0$：
因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$，
因此$x_1+x_2=2+3=5$，$x_1x_2=2×3=6$。
对比方程系数和根的和、积：
第一个方程一次项系数为$-2$，两根和$2=-(-2)$，常数项为$0$，两根积为$0$；
第二个方程一次项系数为$3$，两根和$-3=-3$，常数项为$-4$，两根积为$-4$；
第三个方程一次项系数为$-5$，两根和$5=-(-5)$，常数项为$6$，两根积为$6$。
由此可总结出对应规律。
【答案】
二次项系数为1的一元二次方程，两根之和等于方程一次项系数的相反数，两根之积等于方程的常数项。
【知识点】
一元二次方程的解法，根与系数的关系
【点评】
本题按照求解方程、计算根的和与积、探究规律的逻辑设置，引导学生自主推导根与系数的关系，侧重对探究归纳能力的考查，属于基础的规律探究类题目。
【难度系数】
0.8

3. 猜想:设方程$x^2 + px + q = 0$,则有
$x_1 + x_2 =$;$x_1x_2 =$.

3. $x_1+x_2=-p$
$x_1x_2=q$

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题思路如下：首先明确给定一元二次方程的各项系数：二次项系数为1，一次项系数为p，常数项为q。我们可以通过求根公式写出两个实数根的表达式，再分别计算两根的和与积，化简后即可得到结果；也可以直接利用韦达定理的基础结论对应系数直接求解。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + px + q = 0$，当判别式$\Delta = p^2 - 4q ≥ 0$时，方程有两个实数根$x_1$、$x_2$。
根据一元二次方程求根公式可得：
$x_1 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$，$x_2 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$
1. 计算两根之和：
$x_1 + x_2 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} + \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} = \frac{-2p}{2} = -p$
2. 计算两根之积：
利用平方差公式化简：
$x_1x_2 = \frac{(-p + \sqrt{p^2 - 4q})(-p - \sqrt{p^2 - 4q})}{2 × 2} = \frac{(-p)^2 - (\sqrt{p^2 - 4q})^2}{4} = \frac{p^2 - (p^2 - 4q)}{4} = \frac{4q}{4} = q$
【答案】
$-p$；$q$
【知识点】
韦达定理，求根公式，代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础考查题，相关结论是解决一元二次方程相关问题的核心基础，需要熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.9

4.应用:不解方程,求下列方程两个根$x_1,x_2$的和与积.
(1)$x^2+6x-11=0,x_1+x2=$,
$x_1x_2=$;
(2)$x^2-4x-5=0,x_1+x_2=$,
$x_1x_2=$;
(3)$16x^2+8x=3,x_1+x_2=$,
$x_1x_2=$;
(4)$x^2+x=5x+6,x_1+x_2=$,
$x_1x_2=$.

4. (1) $x_1+x_2=-6$，$x_1x_2=-11$
(2) $x_1+x_2=4$，$x_1x_2=-5$
(3) $x_1+x_2=-\frac{1}{2}$，$x_1x_2=-\frac{3}{16}$
(4) $x_1+x_2=4$，$x_1x_2=-6$

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：第一步，先将每个方程整理为一元二次方程的一般形式 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$；第二步，确定每个方程对应系数a、b、c的值；第三步，直接套用韦达定理公式：两根之和 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积 $x_1x_2=\frac{c}{a}$ 计算即可，计算时注意系数的符号不要出错。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系：对于 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1) 方程 $x^2+6x-11=0$ 为一般形式，其中 $a=1,b=6,c=-11$，
则 $x_1+x_2=-\frac{6}{1}=-6$，$x_1x_2=\frac{-11}{1}=-11$；
(2) 方程 $x^2-4x-5=0$ 为一般形式，其中 $a=1,b=-4,c=-5$，
则 $x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$；
(3) 先将方程 $16x^2+8x=3$ 整理为一般形式：$16x^2+8x-3=0$，其中 $a=16,b=8,c=-3$，
则 $x_1+x_2=-\frac{8}{16}=-\frac{1}{2}$，$x_1x_2=\frac{-3}{16}=-\frac{3}{16}$；
(4) 先将方程 $x^2+x=5x+6$ 移项合并同类项得一般形式：$x^2-4x-6=0$，其中 $a=1,b=-4,c=-6$，
则 $x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$，$x_1x_2=\frac{-6}{1}=-6$。
【答案】
(1) $-6$，$-11$；(2) $4$，$-5$；(3) $-\frac{1}{2}$，$-\frac{3}{16}$；(4) $4$，$-6$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题的核心是先把方程化为标准的一般形式，准确识别各项系数及其符号，再代入公式计算即可，计算时要格外注意符号问题，避免因符号看错导致错误。
【难度系数】
0.8

5. 当二次项系数不为 1 时,方程的根与系数又有怎样的关系呢?
一般地,对于关于 x 的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$用求根公式求出它的两个根$x_1$,$x_2$,由一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的求根公式知,

能得出以下结果:
$x_1 + x_2 =$ , 即两根之和等于;
$x_1x_2 =$ , 即两根之积等于.

5. $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，即两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数
$x_1x_2=\frac{c}{a}$，即两根之积等于常数项除以二次项系数

【分析】
题目已经给出了一元二次方程两个根的求根公式表达式，要计算两根之和与两根之积，只需将两个根的表达式分别做加法、乘法运算后化简即可。计算和时，两个分子中的带根号的项互为相反数，相加会抵消，合并同类项后约分就能得到结果；计算积时，分子符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开可以快速消去根号，再化简约分得到结果，最后根据化简结果对应系数总结规律即可。
【解析】
1. 计算两根之和$x_1+x_2$：
将$x_1$、$x_2$代入求和：
$\begin{aligned}x_1+x_2&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})+(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a}\\&=\frac{-2b}{2a}\\&=-\frac{b}{a}\end{aligned}$
即两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数。
2. 计算两根之积$x_1x_2$：
将$x_1$、$x_2$代入求积，分子利用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$计算：
$\begin{aligned}x_1x_2&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}\\&=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\&=\frac{4ac}{4a^2}\\&=\frac{c}{a}\end{aligned}$
即两根之积等于常数项除以二次项系数。
【答案】
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，即两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数；
$x_1x_2=\frac{c}{a}$，即两根之积等于常数项除以二次项系数
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式化简运算
3. 平方差公式
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数关系的推导过程，掌握分式运算和平方差公式，代入求根公式逐步化简即可得到结论，该结论是解决一元二次方程根的相关问题的核心基础公式，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根$x_1x_2$的和与积.
(1)$x^2 -6x -15 =0$；
(2)$3x^2 +7x -9 =0$；
(3)$5x -1 =4x^2$.

例1 (1) $x_1+x_2=6$，$x_1x_2=-15$
(2) $x_1+x_2=-\frac{7}{3}$，$x_1x_2=-3$
(3) 整理为$4x^2-5x+1=0$，$x_1+x_2=\frac{5}{4}$，$x_1x_2=\frac{1}{4}$

【分析】
解题前首先明确一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于标准形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1、x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。解题步骤如下：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的标准形式；②准确对应找出系数$a、b、c$的取值，注意保留符号；③将系数代入韦达定理公式计算两根的和与积即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 -6x -15 =0$为标准一元二次方程，其中$a=1$，$b=-6$，$c=-15$
根据韦达定理：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-6}{1}=6$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-15}{1}=-15$
(2) 方程$3x^2 +7x -9 =0$为标准一元二次方程，其中$a=3$，$b=7$，$c=-9$
根据韦达定理：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{7}{3}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-9}{3}=-3$
(3) 先将方程$5x -1 =4x^2$整理为标准形式：
移项得$4x^2-5x+1=0$，其中$a=4$，$b=-5$，$c=1$
根据韦达定理：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{4}=\frac{5}{4}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{4}$
【答案】
(1) $x_1+x_2=6$，$x_1x_2=-15$
(2) $x_1+x_2=-\frac{7}{3}$，$x_1x_2=-3$
(3) $x_1+x_2=\frac{5}{4}$，$x_1x_2=\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题的核心是先将方程转化为标准形式，准确识别系数$a、b、c$的符号，代入公式计算时要注意符号运算规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8