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1. 地面上直立一根标杆AB,如图所示,杆长为2 m.
(1) 当阳光垂直照射地面时,标杆在地面上的投影是什么图形?
(2) 当阳光与地面的倾斜角为$60°$时,标杆在地面上的投影是什么图形?请画出投影示意图.
(1) 当阳光垂直照射地面时,标杆在地面上的投影是什么图形?
(2) 当阳光与地面的倾斜角为$60°$时,标杆在地面上的投影是什么图形?请画出投影示意图.
答案
(1) 阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是一个点；
(2) 阳光与地面倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是线段，长度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ m，投影示意图[图1]。
(2) 阳光与地面倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是线段，长度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ m，投影示意图[图1]。
解析
【分析】
解题思路：结合投影的相关概念分析两类光照情况：(1)阳光垂直地面照射属于正投影，结合标杆与地面垂直的位置关系，即可判断投影形状；(2)阳光与地面成60°角照射属于斜平行投影，可将标杆、光线、投影的结构转化为直角三角形模型，利用三角函数计算投影长度，确定投影形状。
思考步骤：第一问先明确光线和标杆都垂直于地面，因此标杆上所有点的投影都汇聚在底部接触地面的点；第二问先构建直角三角形，将标杆长度作为直角边，光线与地面的夹角作为锐角，根据正切的定义列式求解投影长度。
【解析】
(1) 当阳光垂直照射地面时，标杆AB垂直于地面，光线方向也垂直于地面，因此标杆上所有点的投影都和底部点B重合，故此时标杆在地面上的投影是一个点。
(2) 当阳光与地面倾斜角为60°时，属于平行投影，设点A在地面的投影为点C，则BC为标杆的投影，此时△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，∠ACB=60°，杆长AB=2m。
根据锐角三角函数的定义：$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$
代入已知数值：$\tan60°=\frac{2}{BC}=\sqrt{3}$
解得投影长度：$BC=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$
因此此时标杆在地面的投影是长度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$的线段，投影示意图：过B点沿光线的水平投影方向作线段BC，使$BC=\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$，连接AC即为光线方向，BC即为标杆的投影。
【答案】
(1) 阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是一个点；
(2) 阳光与地面倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是线段，长度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ m，投影示意图[图1]。
【知识点】
1. 正投影特征
2. 平行投影计算
3. 解直角三角形应用
【点评】
本题是投影类基础应用题，主要考查不同光照条件下投影形状的判断，以及结合三角函数计算投影长度，解题核心是将实际投影问题转化为直角三角形求解，掌握投影的基础概念即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
解题思路：结合投影的相关概念分析两类光照情况：(1)阳光垂直地面照射属于正投影，结合标杆与地面垂直的位置关系，即可判断投影形状；(2)阳光与地面成60°角照射属于斜平行投影，可将标杆、光线、投影的结构转化为直角三角形模型，利用三角函数计算投影长度，确定投影形状。
思考步骤：第一问先明确光线和标杆都垂直于地面，因此标杆上所有点的投影都汇聚在底部接触地面的点；第二问先构建直角三角形，将标杆长度作为直角边，光线与地面的夹角作为锐角，根据正切的定义列式求解投影长度。
【解析】
(1) 当阳光垂直照射地面时，标杆AB垂直于地面，光线方向也垂直于地面，因此标杆上所有点的投影都和底部点B重合，故此时标杆在地面上的投影是一个点。
(2) 当阳光与地面倾斜角为60°时，属于平行投影，设点A在地面的投影为点C，则BC为标杆的投影，此时△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，∠ACB=60°，杆长AB=2m。
根据锐角三角函数的定义：$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$
代入已知数值：$\tan60°=\frac{2}{BC}=\sqrt{3}$
解得投影长度：$BC=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$
因此此时标杆在地面的投影是长度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$的线段，投影示意图：过B点沿光线的水平投影方向作线段BC，使$BC=\frac{2\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$，连接AC即为光线方向，BC即为标杆的投影。
【答案】
(1) 阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是一个点；
(2) 阳光与地面倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是线段，长度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ m，投影示意图[图1]。
【知识点】
1. 正投影特征
2. 平行投影计算
3. 解直角三角形应用
【点评】
本题是投影类基础应用题，主要考查不同光照条件下投影形状的判断，以及结合三角函数计算投影长度，解题核心是将实际投影问题转化为直角三角形求解，掌握投影的基础概念即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
2. 如图,一个正方形纸板ABCD和投影面平行,投射线和投影面垂直,点C在投影面的对应点为C',请画出正方形纸板的投影示意图.
答案
正方形纸板的投影是与原正方形全等的正方形，投影示意图[图2]。
解析
【分析】
这是一道正投影作图题，解题时先明确投影类型：投射线垂直投影面属于正投影。根据正投影的性质，当平面图形与投影面平行时，它的正投影和原图形全等。已知点C的对应点为C'，我们只需要分别作出正方形另外三个顶点A、B、D在投影面上的对应点，再顺次连接各对应点，就能得到正方形的投影。
【解析】
1. 判定投影类型：投射线与投影面垂直，该投影为正投影；又因为正方形纸板ABCD和投影面平行，所以其正投影与原正方形全等。
2. 作顶点的对应点：分别过点A、B、D作平行于投射线方向的直线，与投影面相交，得到三个交点，即为A、B、D在投影面上的对应点A'、B'、D'。
3. 连接对应点：顺次连接A'、B'、C'、D'，所得四边形A'B'C'D'就是正方形纸板的投影。
【答案】
正方形纸板的投影是与原正方形全等的正方形，投影示意图[图2]。
【知识点】
正投影的性质，平面正投影特征
【点评】
本题考查正投影相关性质的应用，解题核心是记住“与投影面平行的平面图形，其正投影和原图形全等”这一规律，属于基础类题目，熟练掌握正投影的特点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
这是一道正投影作图题，解题时先明确投影类型：投射线垂直投影面属于正投影。根据正投影的性质，当平面图形与投影面平行时，它的正投影和原图形全等。已知点C的对应点为C'，我们只需要分别作出正方形另外三个顶点A、B、D在投影面上的对应点，再顺次连接各对应点，就能得到正方形的投影。
【解析】
1. 判定投影类型：投射线与投影面垂直，该投影为正投影；又因为正方形纸板ABCD和投影面平行，所以其正投影与原正方形全等。
2. 作顶点的对应点：分别过点A、B、D作平行于投射线方向的直线，与投影面相交，得到三个交点，即为A、B、D在投影面上的对应点A'、B'、D'。
3. 连接对应点：顺次连接A'、B'、C'、D'，所得四边形A'B'C'D'就是正方形纸板的投影。
【答案】
正方形纸板的投影是与原正方形全等的正方形，投影示意图[图2]。
【知识点】
正投影的性质，平面正投影特征
【点评】
本题考查正投影相关性质的应用，解题核心是记住“与投影面平行的平面图形，其正投影和原图形全等”这一规律，属于基础类题目，熟练掌握正投影的特点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3.如图,两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线,它们是平行投影还是中心投影?请说明理由.
答案
连接标杆顶端与对应影子的顶端得到两条光线，两条光线反向延长后交于同一点，该投影是中心投影，理由：形成投影的光线不平行，交于同一个点光源，符合中心投影的特征。
解析
【分析】要判断投影类型，首先需明确平行投影和中心投影的核心区别：平行投影的光线互相平行，中心投影的光线是从同一点（点光源）发出的，会交于一点。解题时第一步先画投影光线：分别连接每根标杆的顶端与它对应影子的顶端，得到的直线就是投影光线；第二步观察两条光线的位置关系，根据光线特征即可判断投影类型。
【解析】1. 画光线：分别连接两根标杆的顶端与对应影子的顶端，得到两条直线，即为形成投影的光线。
2. 判断投影类型：将两条光线反向延长，可发现它们交于同一点。平行投影的光线互相平行，而中心投影的光线会交于同一个点光源，结合光线特征即可判断投影类型。
【答案】连接标杆顶端与对应影子的顶端得到两条光线，两条光线反向延长后交于同一点，该投影是中心投影，理由：形成投影的光线不平行，交于同一个点光源，符合中心投影的特征。
【知识点】中心投影的特征；平行投影与中心投影的判别
【点评】本题是投影模块的基础题型，重点考查两类投影的本质差异，只要熟练掌握平行投影和中心投影的光线特点，正确画出投影光线，就能快速完成判断，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】1. 画光线：分别连接两根标杆的顶端与对应影子的顶端，得到两条直线，即为形成投影的光线。
2. 判断投影类型：将两条光线反向延长，可发现它们交于同一点。平行投影的光线互相平行，而中心投影的光线会交于同一个点光源，结合光线特征即可判断投影类型。
【答案】连接标杆顶端与对应影子的顶端得到两条光线，两条光线反向延长后交于同一点，该投影是中心投影，理由：形成投影的光线不平行，交于同一个点光源，符合中心投影的特征。
【知识点】中心投影的特征；平行投影与中心投影的判别
【点评】本题是投影模块的基础题型，重点考查两类投影的本质差异，只要熟练掌握平行投影和中心投影的光线特点，正确画出投影光线，就能快速完成判断，难度较低。
【难度系数】0.8
1. 物体在太阳光的照射下形成的影子是
平行投影
.答案
1. 平行投影
解析
【分析】
解题时首先回忆投影的分类及各自的定义特征：投影通常分为平行投影和中心投影两类，二者的核心区别是光源不同，平行投影由平行光线照射形成，中心投影由点光源发出的光线照射形成。接下来判断太阳光的光线性质：由于太阳与地球的距离非常远，到达地球表面的太阳光可以近似看作平行光线，因此物体在太阳光下形成的影子符合平行投影的定义。
【解析】
根据投影的相关概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影。
太阳距离地球极远，太阳光照射到地面时可近似视为平行光线，因此物体在太阳光照射下形成的影子属于平行投影。
【答案】
平行投影
【知识点】
投影的分类、平行投影的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分平行投影和中心投影的适用场景，只要明确两类投影的光源差异，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆投影的分类及各自的定义特征：投影通常分为平行投影和中心投影两类，二者的核心区别是光源不同，平行投影由平行光线照射形成，中心投影由点光源发出的光线照射形成。接下来判断太阳光的光线性质：由于太阳与地球的距离非常远，到达地球表面的太阳光可以近似看作平行光线，因此物体在太阳光下形成的影子符合平行投影的定义。
【解析】
根据投影的相关概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影。
太阳距离地球极远，太阳光照射到地面时可近似视为平行光线，因此物体在太阳光照射下形成的影子属于平行投影。
【答案】
平行投影
【知识点】
投影的分类、平行投影的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分平行投影和中心投影的适用场景，只要明确两类投影的光源差异，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 下列成语描述的情景与投影无关的是（
A.形影相随
B.日上三竿
C.立竿见影
D.杯弓蛇影
B
）A.形影相随
B.日上三竿
C.立竿见影
D.杯弓蛇影
答案
2. B
解析
【分析】
解题前首先要明确初中数学中投影的核心定义：用光线照射物体，在地面、墙面等平面上得到的影子就叫做物体的投影。解题时需要逐一理解每个成语的含义，判断其描述的情景是否包含“光线照射物体形成影子”的过程，排除和投影相关的选项，最终选出符合要求的答案。
【解析】
根据投影的定义，逐一分析选项：
1. 选项A“形影相随”：描述的是人的影子始终跟随人体，影子是光线照射人体在地面等平面形成的，属于投影现象，不符合题意；
2. 选项B“日上三竿”：是指太阳升起的高度达到三根竹竿的高度，仅用来描述时间早晚，没有涉及光线照射物体形成影子的过程，和投影无关，符合题意；
3. 选项C“立竿见影”：指阳光下竖立竹竿就能立刻看到竹竿的影子，影子是竹竿的投影，属于投影现象，不符合题意；
4. 选项D“杯弓蛇影”：指墙上挂的弓经光线照射后，影子投射到酒杯中看起来像蛇的影子，影子属于投影现象，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
投影的定义；生活中的投影现象
【点评】
本题结合传统文化中的成语考察投影的基础概念，既要求学生掌握学科基础知识点，也需要学生了解常见成语的含义，体现了知识和生活实际结合的考察方向，难度较低。
【难度系数】
0.75
解题前首先要明确初中数学中投影的核心定义：用光线照射物体，在地面、墙面等平面上得到的影子就叫做物体的投影。解题时需要逐一理解每个成语的含义，判断其描述的情景是否包含“光线照射物体形成影子”的过程，排除和投影相关的选项，最终选出符合要求的答案。
【解析】
根据投影的定义，逐一分析选项：
1. 选项A“形影相随”：描述的是人的影子始终跟随人体，影子是光线照射人体在地面等平面形成的，属于投影现象，不符合题意；
2. 选项B“日上三竿”：是指太阳升起的高度达到三根竹竿的高度，仅用来描述时间早晚，没有涉及光线照射物体形成影子的过程，和投影无关，符合题意；
3. 选项C“立竿见影”：指阳光下竖立竹竿就能立刻看到竹竿的影子，影子是竹竿的投影，属于投影现象，不符合题意；
4. 选项D“杯弓蛇影”：指墙上挂的弓经光线照射后，影子投射到酒杯中看起来像蛇的影子，影子属于投影现象，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
投影的定义；生活中的投影现象
【点评】
本题结合传统文化中的成语考察投影的基础概念，既要求学生掌握学科基础知识点，也需要学生了解常见成语的含义，体现了知识和生活实际结合的考察方向，难度较低。
【难度系数】
0.75
