1. (2025·长沙)如图,AC、BC为$\odot O$的弦,连接OA、OB、OC.若$∠ AOB=40°$,$∠ OCA=30°$,则$∠ BCO$的度数为（）

A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$

1. C 解析:
∵∠AOB=40°,
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=20°.
∵∠OCA=30°,
∴∠BCO=∠OCA+∠ACB=30°+20°=50°.

【分析】要计算∠BCO的度数，已知∠OCA=30°，需先求出∠ACB的度数。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠AOB是弧AB对应的圆心角，∠ACB是弧AB对应的圆周角，据此可算出∠ACB，再结合∠OCA的度数，即可求出∠BCO。
【解析】
∵∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠ACB是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×40° = 20°。
又
∵∠OCA=30°，
∴∠BCO = ∠OCA + ∠ACB = 30° + 20° = 50°。
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【点评】本题考查圆周角定理的基础应用，核心是找准同弧对应的圆心角与圆周角，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6

2. 如图,已知 C 是$\odot O$上任意一点,且$∠ C=120^{\circ }$,则$∠ AOB$的度数为（）

A.$110^{\circ }$
B.$120^{\circ }$
C.$130^{\circ }$
D.$100^{\circ }$

2. B

【分析】要解决这个问题，需利用圆周角定理，明确圆周角所对应的弧段。已知∠ACB=120°，它是圆上点C对弧AB的圆周角，所对的弧为优弧AB，根据圆周角定理可先求出优弧AB对应的圆心角，再结合周角的度数计算出劣弧AB对应的圆心角，即∠AOB的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半。已知∠ACB=120°，∠ACB所对的弧是优弧AB，因此优弧AB对应的圆心角为 $2 × ∠ ACB = 2 × 120° = 240°$。
2. 整个圆周的度数为 $360°$，因此劣弧AB对应的圆心角（即∠AOB）的度数为 $360° - 240° = 120°$。
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【点评】本题考查圆周角定理的应用，核心是明确圆周角与所对弧的对应关系，区分优弧和劣弧对应的圆心角，属于基础的圆角度计算题目。
【难度系数】0.6

3. 如图,在$\odot O$中,弦$AB$与直径$CD$交于点$E$,且$D$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,连接$BC$、$AD$.若$∠ BAD=$$30^{ \circ }$,$\odot O$的半径为$3$,则$DE$的长为（）

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
D.$3$

3. B 解析:连接 OB.
∵弦 AB 与直径 CD 交于点 E,且 D 是$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴AB ⊥ CD,
∴∠OEB = 90°.
∵∠BAD=30°,
∴∠BCD=∠BAD=30°,
∴∠EBC=90°-∠C=90°-30°=60°.
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠BCD=30°,
∴∠OBE=∠EBC-∠OBC=60°-30°=30°.
∵⊙O 的半径为 3,
∴OE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$,
∴DE=OD-OE=3-$\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$.

【分析】
要计算DE的长度，需结合圆的相关性质逐步推导：首先利用“等弧所对的圆周角相等”和垂径定理得到CD⊥AB，再通过等腰三角形性质和直角三角形中30°角的直角边性质求出OE，最后用OD减去OE得到DE。
【解析】
连接OB。
∵D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，CD是$\odot O$的直径，根据垂径定理，AB⊥CD，
∴∠OEB=90°。
∵∠BAD与∠BCD都是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，
∴∠BCD=∠BAD=30°。
在Rt△BEC中，∠BEC=90°，∠BCD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°。
∵OC=OB（$\odot O$的半径相等），
∴∠OBC=∠BCD=30°，
∴∠OBE=∠EBC - ∠OBC=60°-30°=30°。
已知$\odot O$的半径为3，即OB=OD=3，
在Rt△OEB中，∠OBE=30°，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$，
∴DE=OD - OE=3 - $\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、直角三角形性质
【点评】
本题综合运用圆的核心性质，解题关键是结合垂径定理和圆周角定理，利用直角三角形中30°角的性质计算线段长度，属于中等难度的圆相关计算题。
【难度系数】
0.5

4. 如图,某新产品促销活动中经销商在圆形展区边缘的点 $P$ 处安装了一个监控摄像头,其有效监控角度为 $70°$. 为了监控整个展区,圆形边缘上至少应安装这样的摄像头（）

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

4. B 解析:
∵∠P=70°,
∴∠P 所对弧所对的圆心角度数是 140°.
∵360°÷140°=$2\frac{4}{7}$,
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的摄像头 3 个.

【分析】
要解决这个问题，需结合圆周角定理分析监控角度对应的圆心角，再通过圆周总度数计算所需摄像头数量：首先，监控摄像头的有效监控角度是圆周角，根据圆周角定理，圆周角与它所对弧的圆心角存在2倍关系；接着，用圆周总度数除以单个摄像头对应的圆心角，结合实际需求（数量为整数且需覆盖整个圆周）确定最少摄像头数量。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半。已知监控角度（圆周角）为70°，则该圆周角所对弧对应的圆心角度数为：$70° × 2 = 140°$。
整个圆周的度数为$360°$，要监控整个圆形展区，所需摄像头数量为：$360° ÷ 140° \approx 2.57$。
由于摄像头数量必须为整数，且2个摄像头对应的总圆心角为$2 × 140° = 280° ＜ 360°$，无法覆盖整个圆周，因此至少需要3个摄像头。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理、圆的圆心角
【点评】
本题结合实际促销场景考查圆周角定理的应用，核心是将监控角度转化为对应的圆心角，再结合圆周总度数计算所需数量，属于基础几何应用题，需理解几何知识在实际问题中的转化逻辑。
【难度系数】
0.5

5. 已知点A、B、C在$\odot O$上，若$∠ AOC=100°$，则$∠ ABC$的度数为.

5. 50°或 130° 解析:如图,当点 B 在点 B'位置时,∠AB'C=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}×100=50°$;
∵∠AB'C+∠ABC=180°,
∴∠ABC=180°-∠AB'C=180°-50°=130°.综上所述,∠ABC 的度数为 50°或 130°.

【分析】
要解决本题，需结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键是注意点B在圆上的位置有两种情况：在优弧AC上或劣弧AC上。首先，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理可求出点B在优弧AC上时的∠ABC；再根据圆内接四边形对角互补，求出点B在劣弧AC上时的∠ABC，避免漏解。
【解析】
1. 当点B在优弧AC上时：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧AC对应的圆心角为∠AOC=100°，因此∠ABC = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×100° = 50°。
2. 当点B在劣弧AC上时：
此时点B与优弧AC上的点B'构成圆内接四边形AB'CB，根据圆内接四边形对角互补，∠AB'C + ∠ABC = 180°，而∠AB'C=50°（同弧AC所对的圆周角），因此∠ABC = 180° - 50° = 130°。
综上，∠ABC的度数为50°或130°。
【答案】
50°或130°
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，核心是需考虑点B在圆上的不同位置，运用分类讨论思想避免漏解，是圆章节中易出错的基础题型，需注意对圆周角定理的灵活掌握。
【难度系数】
0.5

6. 如图,已知$\odot O$的直径为 8,A、B、C 三点在$\odot O$上,且$∠ ACB=60°$,则$AB$的长为.

6. $4\sqrt{3}$ 解析:如图,作直径 AD,连接 BD,
∴∠ABD=90°,
由圆周角定理得,∠D=∠ACB=60°,
∴∠DAB=30°,
∴DB=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}×8=4$,
∴AB=$\sqrt{AD^2-DB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$.

【分析】要计算AB的长度，需利用圆的相关性质构造直角三角形。首先作直径AD，连接BD，利用直径所对的圆周角为直角得到直角三角形ABD，再根据圆周角定理得出∠D=∠ACB=60°，最后结合直角三角形的性质和勾股定理计算AB的长度。
【解析】如图，作直径AD，连接BD。
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
由圆周角定理得，∠D=∠ACB=60°。
∵⊙O的直径为8，
∴AD=8。
在Rt△ABD中，∠DAB=90°-∠D=30°，
∴DB=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}×8=4$。
根据勾股定理，AB=$\sqrt{AD^2-DB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
【答案】$4\sqrt{3}$
【知识点】圆周角定理、直径的性质、勾股定理
【点评】本题通过作直径构造直角三角形，结合圆的性质与直角三角形的相关知识求解，属于基础题型，解题思路清晰，是圆中求弦长的典型方法。
【难度系数】0.6

7. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BC}$,$M$为$\overset{\frown}{BC}$的中点,过点$M$作$MN// OC$交$AB$于点$N$,连接$BM$,则$∠ BMN$的度数为.

7. 45° 解析:连接 OM.
∵AB 是直径,$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BC}$,
∴∠BOC=$\frac{1}{3}×180°=60°$.
∵M 为$\overset{\frown}{BC}$的中点,即$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{BM}$,
∴∠COM=∠MOB=30°.
∵OM=OB,
∴∠OBM=∠OMB=$\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$.
∵OC//MN,
∴∠MNB=∠COB=60°,
∴∠BMN=180°-∠BNM-∠OBM=180°-60°-75°=45°.

【分析】
要解决本题，首先连接辅助线OM，利用AB为直径及弧AC与弧BC的关系求出∠BOC的度数；再结合M是弧BC中点，得到∠MOB的度数；接着由OM=OB，利用等腰三角形性质算出∠OBM；再根据MN//OC，得到∠MNB的度数；最后在△BMN中，通过三角形内角和定理计算出∠BMN的度数。
【解析】
解：连接OM。
1. 因为AB是⊙O的直径，所以$\overset{\frown}{AB}=180°$，又$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BC}$，则$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AB}$，因此$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BOC=\frac{1}{3}×180°=60°$。
2. 因为M为$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{BM}$，故它们对应的圆心角相等，即$∠ COM=∠ MOB=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
3. 由于OM、OB都是⊙O的半径，所以OM=OB，△OMB为等腰三角形，因此$∠ OBM=∠ OMB=\frac{180°-∠ MOB}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
4. 因为MN//OC，根据平行线的同位角相等，可得$∠ MNB=∠ COB=60°$。
5. 在△BMN中，根据三角形内角和为180°，则$∠ BMN=180°-∠ MNB-∠ OBM=180°-60°-75°=45°$。
【答案】
45°
【知识点】
圆的弧与圆心角、平行线性质、等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、平行线性质及三角形内角和定理，关键是合理添加辅助线OM，逐步推导各角度，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5

8. 如图,在圆内接六边形 ABCDEF 中,$∠ A+∠ E=230^{\circ }$,则$∠ C$的度数为.

8. 130° 解析:如图,连接 BF、DF.
∵∠A+∠E=230°,
∴$\overset{\frown}{BDF}$的度数+$\overset{\frown}{DAF}$的度数=460°,
∴$\overset{\frown}{BD}$的度数=460°-360°=100°,
∴∠BFD=50°,
∴∠C=180°-∠BFD=180°-50°=130°.

【分析】要解决本题，需利用圆周角与弧的度数关系、圆内接四边形的性质。首先通过连接辅助线BF、DF，将∠A和∠E转化为对应弧的度数和，结合圆的总弧长360°求出相关弧的度数，进而得到对应的圆周角，最后利用圆内接四边形对角互补求出∠C。
【解析】连接BF、DF。
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，因此：
∠A对应的弧是$\overset{\frown}{BDF}$，∠E对应的弧是$\overset{\frown}{DAF}$，
所以$∠ A + ∠ E = \frac{1}{2}(\overset{\frown}{BDF}的度数 + \overset{\frown}{DAF}的度数)$。
已知$∠ A + ∠ E = 230°$，代入得：
$\overset{\frown}{BDF}的度数 + \overset{\frown}{DAF}的度数 = 2 × 230° = 460°$。
因为整个圆的弧度数为$360°$，所以：
$\overset{\frown}{BD}的度数 = 460° - 360° = 100°$。
再根据圆周角定理，$∠ BFD$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，因此：
$∠ BFD = \frac{1}{2} × \overset{\frown}{BD}的度数 = \frac{1}{2} × 100° = 50°$。
又因为四边形BCDF是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质：对角互补，即$∠ C + ∠ BFD = 180°$，
所以$∠ C = 180° - ∠ BFD = 180° - 50° = 130°$。
【答案】130°
【知识点】圆周角定理，圆内接四边形性质
【点评】本题综合考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键是通过辅助线将角转化为弧的度数，结合圆的总弧长进行计算，属于圆相关性质的基础应用题型。
【难度系数】0.5

9. 如图,已知$\odot C$经过原点,与坐标轴分别交于$A$、$B$两点,点$B$的坐标为$(0,2\sqrt{3})$,点$D$在$\odot C$上.若$∠ ADO=30^{ \circ }$,则点$C$的坐标为.

9. $(-1,\sqrt{3})$ 解析:如图,连接 AB,过点 C 作 CE⊥AO 于点 E,作 CF⊥OB 于点 F,
∴OE=AE=$\frac{1}{2}$AO,
BF=FO=$\frac{1}{2}$BO.
∵∠AOB=90°,
∴AB 是直径.
∵点 B 的坐标为$(0,2\sqrt{3})$,
∴BO=$2\sqrt{3}$.
∵$\overset{\frown}{AO}=\overset{\frown}{AO}$,
∴∠ABO=∠ADO=30°,
∴AO=2,
∴EO=$\frac{1}{2}$AO=1,FO=$\frac{1}{2}$BO=$\sqrt{3}$.
∵点 C 在第二象限,
∴点 C 的坐标为$(-1,\sqrt{3})$.

【分析】
要确定圆心C的坐标，首先根据∠AOB=90°，得出AB是⊙C的直径，圆心C为AB中点；再利用同弧所对的圆周角相等，得到∠ABO=∠ADO=30°，结合点B的坐标求出BO的长度，进而算出AO的长度；最后通过作辅助线CE⊥AO、CF⊥OB，利用垂径定理得到OE和OF的长度，结合点C在第二象限，确定其坐标。
【解析】
连接AB，过点C作CE⊥AO于点E，CF⊥OB于点F。
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙C的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），圆心C为AB的中点。
∵同弧$\overset{\frown}{AO}$所对的圆周角相等，
∴∠ABO=∠ADO=30°。
已知点B的坐标为$(0,2\sqrt{3})$，
∴$BO=2\sqrt{3}$。
在Rt△AOB中，$\tan∠ABO=\frac{AO}{BO}$，即$\tan30°=\frac{AO}{2\sqrt{3}}$，
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{AO}{2\sqrt{3}}$，解得$AO=2$。
根据垂径定理，$CE⊥AO$，$CF⊥OB$，
∴$OE=\frac{1}{2}AO=1$，$OF=\frac{1}{2}BO=\sqrt{3}$。
∵点C在第二象限，
∴点C的横坐标为$-OE=-1$，纵坐标为$OF=\sqrt{3}$，即点C的坐标为$(-1,\sqrt{3})$。
【答案】
$(-1,\sqrt{3})$
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、坐标与图形性质
【点评】
本题结合圆的性质与坐标知识，通过圆周角定理转化角度，利用垂径定理求圆心坐标，综合性适中，需掌握圆的相关性质和坐标的几何意义。
【难度系数】
0.5

10. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C$为$\odot O$上一点,且$AB ⊥ OC$,$P$为$\odot O$上一动点,$M$为$AP$的中点,连接$CM$.若$\odot O$的半径为2,则$CM$长的最大值是.

10. $\sqrt{5}+1$ 解析:如图,当点 P 在$\odot O$上移动时,AP 的中点 M 的轨迹是以 OA 为直径的$\odot O'$,当点 M 在 CO' 的延长线上时 CM 长的值最大.根据题意,得 OA=OB=OC=2,OO'=$\frac{1}{2}$OA=1=O'M.在 Rt△O'OC 中,OC=2,OO'=1,
∴O'C=$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,
∴CM=CO'+O'M=$\sqrt{5}+1$.

【分析】要解决CM的最大值问题，核心是确定动点M的轨迹：M是AP的中点，当P在⊙O上运动时，M的轨迹是以OA为直径的⊙O'。求CM的最大值等价于求点C到⊙O'上点的最大距离，即点C到圆心O'的距离加上⊙O'的半径。
【解析】1. 确定M的轨迹：已知⊙O半径为2，OA=OC=2，M为AP中点，故M的轨迹是以OA为直径的⊙O'，其中O'是OA中点，因此⊙O'的半径O'M=1，OO'=1。
2. 计算O'C的长度：因为AB⊥OC，所以∠O'OC=90°，在Rt△O'OC中，由勾股定理得：O'C=√(OO'² + OC²)=√(1² + 2²)=√5。
3. 求CM的最大值：当点M在CO'的延长线上时，CM取得最大值，此时CM=O'C + O'M=√5 + 1。
【答案】√5 + 1
【知识点】圆的轨迹、勾股定理、动点最值
【点评】本题通过分析动点中点的轨迹，将线段最值转化为圆上点的距离最值，考查圆的性质与勾股定理的应用，需具备轨迹分析能力，属于中等难度几何题。
【难度系数】0.5