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三、解答题（共40分）
11.（10分）如图，四边形$ABCD$的四个顶点都在$\odot O$上，$DB$平分$∠ ADC$，连接$OC$，且$OC⊥ BD$.
(1)求证:$AB=CD$.
(2)若$CD=5$，$BD=8$，求$\odot O$的半径.
11.（10分）如图，四边形$ABCD$的四个顶点都在$\odot O$上，$DB$平分$∠ ADC$，连接$OC$，且$OC⊥ BD$.
(1)求证:$AB=CD$.
(2)若$CD=5$，$BD=8$，求$\odot O$的半径.
答案
11. (1)证明:
∵DB 平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$.
∵OC⊥BD,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,
∴AB=CD.
(2)如图
,连接OB,OC与BD交于点E.∵OC⊥BD,
∴BE=DE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}×8=4$,
∴CE=$\sqrt{CD^2-DE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.设$\odot O$的半径为r,
∴OE=r-3.在Rt△OBE中,$OB^2=OE^2+BE^2$,即$r^2=4^2+(r-3)^2$,解得$r=\frac{25}{6}$,
∴$\odot O$的半径是$\frac{25}{6}$.
解析
【分析】
第(1)问要证明AB=CD，利用同圆中“等弧对等弦”的性质，需先证弧AB=弧CD。由DB平分∠ADC得∠ADB=∠CDB，对应弧AB=弧BC；再结合OC⊥BD，根据垂径定理得弧BC=弧CD，从而推出弧AB=弧CD，即可得AB=CD。第(2)问求半径，先由OC⊥BD根据垂径定理得BD被平分，算出BE=DE=4，在Rt△CDE中用勾股定理得CE=3，设半径为r，在Rt△OBE中利用勾股定理列方程求解半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB，
根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$。
又
∵ OC⊥BD，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，
∴ $\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$，
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，故AB = CD。
(2) 解：
连接OB，OC与BD交于点E，如图。
∵ OC⊥BD，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴ BE = DE = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}×8 = 4$。
在Rt△CDE中，CD=5，DE=4，由勾股定理得：
CE = $\sqrt{CD^2 - DE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
设⊙O的半径为r，则OB = OC = r，
∴ OE = OC - CE = r - 3。
在Rt△OBE中，由勾股定理得：
$r^2 = (r - 3)^2 + 4^2$，
展开化简得：$6r = 25$，
解得$r = \frac{25}{6}$。
故⊙O的半径为$\frac{25}{6}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ⊙O的半径是$\frac{25}{6}$，
【知识点】
圆的弧弦关系、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与勾股定理的应用，核心是利用弧与弦的关系、垂径定理转化条件，第二问通过设未知数列方程求解，思路清晰，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.4
第(1)问要证明AB=CD，利用同圆中“等弧对等弦”的性质，需先证弧AB=弧CD。由DB平分∠ADC得∠ADB=∠CDB，对应弧AB=弧BC；再结合OC⊥BD，根据垂径定理得弧BC=弧CD，从而推出弧AB=弧CD，即可得AB=CD。第(2)问求半径，先由OC⊥BD根据垂径定理得BD被平分，算出BE=DE=4，在Rt△CDE中用勾股定理得CE=3，设半径为r，在Rt△OBE中利用勾股定理列方程求解半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB = ∠CDB，
根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$。
又
∵ OC⊥BD，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，
∴ $\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$，
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，故AB = CD。
(2) 解：
连接OB，OC与BD交于点E，如图
。∵ OC⊥BD，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴ BE = DE = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}×8 = 4$。
在Rt△CDE中，CD=5，DE=4，由勾股定理得：
CE = $\sqrt{CD^2 - DE^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
设⊙O的半径为r，则OB = OC = r，
∴ OE = OC - CE = r - 3。
在Rt△OBE中，由勾股定理得：
$r^2 = (r - 3)^2 + 4^2$，
展开化简得：$6r = 25$，
解得$r = \frac{25}{6}$。
故⊙O的半径为$\frac{25}{6}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ⊙O的半径是$\frac{25}{6}$，
【知识点】
圆的弧弦关系、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与勾股定理的应用，核心是利用弧与弦的关系、垂径定理转化条件，第二问通过设未知数列方程求解，思路清晰，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.4
12. (10 分) 如图, A B 是 $\odot O$ 的直径, C 为 $\odot O$ 上一点, 连接 A C 、 B C, 过点 O 作 $O D ⊥ B C$ 于点D, 延长 O D 交 $\odot O$ 于点 E, 连接 A E.
(1)求证: $O E / / A C$.
(2)若 $A C=1, A B=4$, 求 A E 的长.
(1)求证: $O E / / A C$.
(2)若 $A C=1, A B=4$, 求 A E 的长.
答案
12. (1)证明:
∵AB 是$\odot O$的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC.
∵OD⊥BC,
∴AC//OE.
(2)连接 BE.
∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°,∠AEB=90°,
∴在 Rt△ABC 中,BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$.
∵OD⊥BC,OE 是$\odot O$的半径,
∴CD=BD=$\frac{\sqrt{15}}{2}$,
∴OD 为△ABC 的中位线,
∴OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$,
∴DE=OE-OD=2-$\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$,
∴BE=$\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{15}}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{6}$,
∴AE=$\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{10}$.
∵AB 是$\odot O$的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC.
∵OD⊥BC,
∴AC//OE.
(2)连接 BE.
∵AB 是直径,
∴∠ACB=90°,∠AEB=90°,
∴在 Rt△ABC 中,BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$.
∵OD⊥BC,OE 是$\odot O$的半径,
∴CD=BD=$\frac{\sqrt{15}}{2}$,
∴OD 为△ABC 的中位线,
∴OD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$,
∴DE=OE-OD=2-$\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$,
∴BE=$\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{15}}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{6}$,
∴AE=$\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{10}$.
解析
【分析】
第(1)问要证明OE//AC，利用“垂直于同一条直线的两条直线平行”，结合AB是直径时直径所对圆周角为直角，得到AC⊥BC，再结合OD⊥BC即可推导平行；第(2)问求AE，需先在Rt△ABC中用勾股定理算BC，再利用垂径定理和三角形中位线定理求出OD、DE，接着在Rt△BDE中算BE，最后在Rt△ABE中用勾股定理求AE。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ACB = 90°，即AC⊥BC。
又
∵ OD⊥BC，
∴ AC与OE都垂直于BC，根据平行线的判定，可得OE//AC。
(2) 解：
连接BE，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°，∠AEB = 90°（直径所对圆周角为直角）。
在Rt△ABC中，AC=1，AB=4，由勾股定理得：
BC = √(AB² - AC²) = √(4² - 1²) = √15。
∵ OD⊥BC，OE是⊙O的半径，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴ BD = BC/2 = √15/2。
又
∵ O是AB中点，D是BC中点，
∴ OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，OD = AC/2 = 1/2。
∵ OE是⊙O的半径，OE = AB/2 = 2，
∴ DE = OE - OD = 2 - 1/2 = 3/2。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE = √(BD² + DE²) = √[(√15/2)² + (3/2)²] = √6。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE = √(AB² - BE²) = √(4² - (√6)²) = √10。
【答案】
√10
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质、三角形中位线定理及勾股定理，解题需结合圆的相关定理推导线段关系，逐步计算，是典型的几何综合题，注重知识点的衔接应用。
【难度系数】
0.6
第(1)问要证明OE//AC，利用“垂直于同一条直线的两条直线平行”，结合AB是直径时直径所对圆周角为直角，得到AC⊥BC，再结合OD⊥BC即可推导平行；第(2)问求AE，需先在Rt△ABC中用勾股定理算BC，再利用垂径定理和三角形中位线定理求出OD、DE，接着在Rt△BDE中算BE，最后在Rt△ABE中用勾股定理求AE。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，
∴ ∠ACB = 90°，即AC⊥BC。
又
∵ OD⊥BC，
∴ AC与OE都垂直于BC，根据平行线的判定，可得OE//AC。
(2) 解：
连接BE，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°，∠AEB = 90°（直径所对圆周角为直角）。
在Rt△ABC中，AC=1，AB=4，由勾股定理得：
BC = √(AB² - AC²) = √(4² - 1²) = √15。
∵ OD⊥BC，OE是⊙O的半径，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴ BD = BC/2 = √15/2。
又
∵ O是AB中点，D是BC中点，
∴ OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，OD = AC/2 = 1/2。
∵ OE是⊙O的半径，OE = AB/2 = 2，
∴ DE = OE - OD = 2 - 1/2 = 3/2。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE = √(BD² + DE²) = √[(√15/2)² + (3/2)²] = √6。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE = √(AB² - BE²) = √(4² - (√6)²) = √10。
【答案】
√10
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质、三角形中位线定理及勾股定理，解题需结合圆的相关定理推导线段关系，逐步计算，是典型的几何综合题，注重知识点的衔接应用。
【难度系数】
0.6
13. (10 分) 如图, 在 $\odot O$ 中, 弦 $A B=A D$, 点 $E$ 在 $\odot O$ 上.
(1) 如图 1, 若 $B D$ 是 $\odot O$ 的直径, 求 $∠ A E D$ 的度数.
(2) 如图 2, 在 $\overgroup{B D}$ 上取一点 $C$, 若 $∠ C=α(90°＜α＜180°)$, 请用含 $α$ 的式子表示 $∠ A E D$ 的度数.
(1) 如图 1, 若 $B D$ 是 $\odot O$ 的直径, 求 $∠ A E D$ 的度数.
(2) 如图 2, 在 $\overgroup{B D}$ 上取一点 $C$, 若 $∠ C=α(90°＜α＜180°)$, 请用含 $α$ 的式子表示 $∠ A E D$ 的度数.
答案
13. (1)
∵BD 是$\odot O$的直径,
∴∠BAD=90°.
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=45°.
∵四边形 ABDE 是$\odot O$的内接四边形,
∴∠ABD+∠AED=180°,
∴∠AED=180°-∠ABD=180°-45°=135°.
(2)如图
,连接 AC.∵AB=AD,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AED}$,
∴∠ACB=∠ACD=∠ABD=$\frac{1}{2}$∠BCD=$\frac{1}{2}α$.
∵四边形 ABDE 是$\odot O$的内接四边形,
∴∠ABD+∠AED=180°,
∴$\frac{1}{2}α+∠AED=180°$,
∴∠AED=$180°-\frac{1}{2}α$.
解析
【分析】
第(1)问：已知BD是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得∠BAD=90°；结合AB=AD，推出△ABD是等腰直角三角形，求出∠ABD=45°；再利用圆内接四边形对角互补的性质，计算∠AED的度数。
第(2)问：连接AC，由AB=AD得弧AB=弧AD，根据圆周角定理得∠ACB=∠ACD，进而得到∠ACB=1/2α；再利用圆内接四边形对角互补的性质，结合∠ABD=∠ACB，推导∠AED的表达式。
【解析】
(1)
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°（直径所对的圆周角为直角）。
又
∵AB=AD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=(180°−90°)÷2=45°。
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠ABD+∠AED=180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠AED=180°−45°=135°。
(2) 连接AC。
∵AB=AD，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
∴∠ACB=∠ACD（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BCD=$\frac{1}{2}α$。
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠ABD+∠AED=180°（圆内接四边形的对角互补），
又
∵∠ABD=∠ACB=$\frac{1}{2}α$，
∴$\frac{1}{2}α+∠AED=180°$，
∴∠AED=180°−$\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) 135°；
(2) $180°-\frac{1}{2}α$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题结合圆周角定理和圆内接四边形的性质进行求解，关键在于利用弧与角的关系、圆内接四边形的对角互补性质推导，属于圆的基础综合题，侧重考查学生对圆相关性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
第(1)问：已知BD是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得∠BAD=90°；结合AB=AD，推出△ABD是等腰直角三角形，求出∠ABD=45°；再利用圆内接四边形对角互补的性质，计算∠AED的度数。
第(2)问：连接AC，由AB=AD得弧AB=弧AD，根据圆周角定理得∠ACB=∠ACD，进而得到∠ACB=1/2α；再利用圆内接四边形对角互补的性质，结合∠ABD=∠ACB，推导∠AED的表达式。
【解析】
(1)
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°（直径所对的圆周角为直角）。
又
∵AB=AD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=(180°−90°)÷2=45°。
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠ABD+∠AED=180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠AED=180°−45°=135°。
(2) 连接AC。
∵AB=AD，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
∴∠ACB=∠ACD（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BCD=$\frac{1}{2}α$。
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠ABD+∠AED=180°（圆内接四边形的对角互补），
又
∵∠ABD=∠ACB=$\frac{1}{2}α$，
∴$\frac{1}{2}α+∠AED=180°$，
∴∠AED=180°−$\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) 135°；
(2) $180°-\frac{1}{2}α$
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题结合圆周角定理和圆内接四边形的性质进行求解，关键在于利用弧与角的关系、圆内接四边形的对角互补性质推导，属于圆的基础综合题，侧重考查学生对圆相关性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
14. (10 分) 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $∠ A=90°, AD// BC$, 以 $CD$ 为直径的 $\odot O$ 与边 $BC$ 交于点 $E$, 与对角线 $BD$ 交于点 $F$, 连接 $DE、CF$.
(1) 请判断四边形 $ABED$ 的形状, 并说明理由.
(2) 若 $AD=3,2DF=BF,∠ ABD=30°$, 求 $\odot O$ 的半径.
(1) 请判断四边形 $ABED$ 的形状, 并说明理由.
(2) 若 $AD=3,2DF=BF,∠ ABD=30°$, 求 $\odot O$ 的半径.
答案
14. (1) 四边形 ABED 是矩形. 理由如下:
∵CD 是$\odot O$的直径,
∴∠CED=90°,
∴∠BED=180°-∠CED=180°-90°=90°.
∵AD//BC,
∴∠ABC+∠A=180°.
∵∠A=90°,
∴∠ABC=90°,
∴四边形 ABED 是矩形.
(2)
∵∠A=90°,∠ABD=30°,
∴BD=2AD=2×3=6.
∵2DF=BF,
∴BF=4,DF=2.
∵四边形 ABED 是矩形,
∴∠FDE=∠ABD=30°,
∴∠FCE=∠FDE=30°.
∵CD 是$\odot O$的直径,
∴∠CFD=90°,
∴∠BFC=90°,
∴CF=$\sqrt{3}$BF=$4\sqrt{3}$,
∴CD=$\sqrt{CF^2+DF^2}=2\sqrt{13}$,
∴$\odot O$的半径是$\sqrt{13}$.
∵CD 是$\odot O$的直径,
∴∠CED=90°,
∴∠BED=180°-∠CED=180°-90°=90°.
∵AD//BC,
∴∠ABC+∠A=180°.
∵∠A=90°,
∴∠ABC=90°,
∴四边形 ABED 是矩形.
(2)
∵∠A=90°,∠ABD=30°,
∴BD=2AD=2×3=6.
∵2DF=BF,
∴BF=4,DF=2.
∵四边形 ABED 是矩形,
∴∠FDE=∠ABD=30°,
∴∠FCE=∠FDE=30°.
∵CD 是$\odot O$的直径,
∴∠CFD=90°,
∴∠BFC=90°,
∴CF=$\sqrt{3}$BF=$4\sqrt{3}$,
∴CD=$\sqrt{CF^2+DF^2}=2\sqrt{13}$,
∴$\odot O$的半径是$\sqrt{13}$.
解析
【分析】
(1) 要判断四边形ABED的形状，先利用直径所对圆周角为直角得到∠CED=90°，推出∠BED=90°；再结合AD//BC和∠A=90°，推出∠ABE=90°，根据三个角为直角的四边形是矩形，即可完成判断。
(2) 求⊙O半径时，先在Rt△ABD中利用30°角的性质算出BD，再由2DF=BF求出DF、BF的长度；接着利用矩形性质得到∠FDE=∠ABD=30°，结合圆周角定理得∠CFD=90°，再通过同弧所对圆周角相等得到∠FCE=30°，在Rt△BFC中算出CF，最后用勾股定理算出CD，半径为CD的一半。
【解析】
(1) 四边形ABED是矩形，理由如下：
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠BED=180°−∠CED=90°。
∵AD//BC，
∴∠A + ∠ABE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵∠A=90°，
∴∠ABE=90°，
∴四边形ABED中，∠A=∠ABE=∠BED=90°，
∴四边形ABED是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）。
(2) 在Rt△ABD中，∠A=90°，∠ABD=30°，AD=3，
∴BD=2AD=2×3=6（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
∵2DF=BF，即BF=2DF，且BD=BF+DF=3DF=6，
∴DF=2，BF=4。
∵四边形ABED是矩形，
∴∠FDE=∠ABD=30°（矩形的对应角相等）。
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠BFC=180°−∠CFD=90°。
又
∵∠FCE与∠FDE都是弧FE所对的圆周角，
∴∠FCE=∠FDE=30°，
在Rt△BFC中，∠BFC=90°，∠FCE=30°，
∴CF=BF·tan60°=4×√3=4√3。
在Rt△CFD中，∠CFD=90°，DF=2，CF=4√3，
∴CD=√(CF² + DF²)=√[(4√3)² + 2²]=√(48 + 4)=√52=2√13，
∴⊙O的半径为CD/2=√13。
【答案】
(1) 四边形ABED是矩形；(2) ⊙O的半径为√13
【知识点】
矩形的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形的判定、圆周角定理、直角三角形的性质及勾股定理，解题时需熟练运用相关定理，逐步推导角度和线段长度，理清各图形间的关系是关键。
【难度系数】
0.4
(1) 要判断四边形ABED的形状，先利用直径所对圆周角为直角得到∠CED=90°，推出∠BED=90°；再结合AD//BC和∠A=90°，推出∠ABE=90°，根据三个角为直角的四边形是矩形，即可完成判断。
(2) 求⊙O半径时，先在Rt△ABD中利用30°角的性质算出BD，再由2DF=BF求出DF、BF的长度；接着利用矩形性质得到∠FDE=∠ABD=30°，结合圆周角定理得∠CFD=90°，再通过同弧所对圆周角相等得到∠FCE=30°，在Rt△BFC中算出CF，最后用勾股定理算出CD，半径为CD的一半。
【解析】
(1) 四边形ABED是矩形，理由如下：
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠BED=180°−∠CED=90°。
∵AD//BC，
∴∠A + ∠ABE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵∠A=90°，
∴∠ABE=90°，
∴四边形ABED中，∠A=∠ABE=∠BED=90°，
∴四边形ABED是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）。
(2) 在Rt△ABD中，∠A=90°，∠ABD=30°，AD=3，
∴BD=2AD=2×3=6（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
∵2DF=BF，即BF=2DF，且BD=BF+DF=3DF=6，
∴DF=2，BF=4。
∵四边形ABED是矩形，
∴∠FDE=∠ABD=30°（矩形的对应角相等）。
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠BFC=180°−∠CFD=90°。
又
∵∠FCE与∠FDE都是弧FE所对的圆周角，
∴∠FCE=∠FDE=30°，
在Rt△BFC中，∠BFC=90°，∠FCE=30°，
∴CF=BF·tan60°=4×√3=4√3。
在Rt△CFD中，∠CFD=90°，DF=2，CF=4√3，
∴CD=√(CF² + DF²)=√[(4√3)² + 2²]=√(48 + 4)=√52=2√13，
∴⊙O的半径为CD/2=√13。
【答案】
(1) 四边形ABED是矩形；(2) ⊙O的半径为√13
【知识点】
矩形的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查了矩形的判定、圆周角定理、直角三角形的性质及勾股定理，解题时需熟练运用相关定理，逐步推导角度和线段长度，理清各图形间的关系是关键。
【难度系数】
0.4
