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8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=120°$,在$△ ABC$所在的平面上是否存在点$M$,使$△ ABM$的面积等于$△ ABC$的面积,且$∠ AMB=60°$? 若存在,画出该点的位置;若不存在,请说明理由.
答案
8. 存在.如图,构造等边三角形ABE,作△ABE的外接圆⊙O,过点C作AB的平行线交⊙O于点M和$M_1$,则∠AMB=∠AM₁B=∠AEB=60°.
∵$M_1M//AB$,
∴$S_{△ AMB}=S_{△ AM_1B}=S_{△ ABC}$.分别作点$M_1$、M关于AB的对称点$M_2$、$M_3$,则点$M_2$、$M_3$也满足要求.故符合题意的点有4个,它们分别是点M、$M_1$、$M_2$、$M_3$.
解析
【分析】要找到满足条件的点M，需同时满足两个要求：①∠AMB=60°，根据圆周角定理，点M应在以AB为弦、所对圆周角为60°的圆上；②△ABM的面积等于△ABC的面积，由于AB为公共边，面积相等意味着M到AB的距离等于点C到AB的距离，即过C作AB的平行线，该线上的点到AB的距离与C相等，结合圆的交点可找到符合的点，再考虑对称变换可得到更多符合条件的点。
【解析】1. 构造等边三角形ABE，其内角∠AEB=60°，作△ABE的外接圆⊙O，根据圆周角定理，⊙O上所有对AB的圆周角均为60°，即⊙O上的点都满足∠AMB=60°。
2. 过点C作AB的平行线，该线上任意一点到AB的距离等于点C到AB的距离，因此△ABM（M在该线上）的面积等于△ABC的面积。这条平行线与⊙O交于点M和M₁，这两个点同时满足两个条件。
3. 分别作点M₁、M关于AB的对称点M₂、M₃，根据对称性质，M₂、M₃到AB的距离与原点点相等，故△ABM₂、△ABM₃的面积等于△ABC，且∠AM₂B=∠AM₁B=60°，∠AM₃B=∠AMB=60°，也满足条件。
【答案】存在，符合题意的点有4个，分别是点M、M₁、M₂、M₃。
【知识点】圆周角定理、三角形面积、轴对称
【点评】本题结合圆周角定理与三角形面积的性质，通过构造辅助圆和平行线，再利用对称变换找到所有符合条件的点，考查了几何综合应用能力，需全面考虑所有可能的位置。
【难度系数】0.5
【解析】1. 构造等边三角形ABE，其内角∠AEB=60°，作△ABE的外接圆⊙O，根据圆周角定理，⊙O上所有对AB的圆周角均为60°，即⊙O上的点都满足∠AMB=60°。
2. 过点C作AB的平行线，该线上任意一点到AB的距离等于点C到AB的距离，因此△ABM（M在该线上）的面积等于△ABC的面积。这条平行线与⊙O交于点M和M₁，这两个点同时满足两个条件。
3. 分别作点M₁、M关于AB的对称点M₂、M₃，根据对称性质，M₂、M₃到AB的距离与原点点相等，故△ABM₂、△ABM₃的面积等于△ABC，且∠AM₂B=∠AM₁B=60°，∠AM₃B=∠AMB=60°，也满足条件。
【答案】存在，符合题意的点有4个，分别是点M、M₁、M₂、M₃。
【知识点】圆周角定理、三角形面积、轴对称
【点评】本题结合圆周角定理与三角形面积的性质，通过构造辅助圆和平行线，再利用对称变换找到所有符合条件的点，考查了几何综合应用能力，需全面考虑所有可能的位置。
【难度系数】0.5
9. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 已知 $A(3,0)$、$B(-1,0)$,$C$ 是 $y$ 轴上的一个动点, 当 $∠ BCA=$$45°$ 时, 求点 $C$ 的坐标.
答案
9. 如图,先以AB为斜边作等腰直角三角形PAB,再以点P为圆心、PA的长为半径作⊙P交y轴于点C,作PD⊥y轴于点D,易得点P(1,2),$PA=2\sqrt{2}$,
∴$PC=2\sqrt{2}$,$PD=1$,$OD=2$,
∴$CD=\sqrt{PC^2-PD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-1^2}=\sqrt{7}$,
∴$OC=OD+CD=2+\sqrt{7}$,
∴点$C(0,2+\sqrt{7})$.同理可得点$C'(0,-2-\sqrt{7})$也满足条件.综上所述,满足条件的点C的坐标为$(0,2+\sqrt{7})$或$(0,-2-\sqrt{7})$.
解析
【分析】
要解决“当∠BCA=45°时求点C坐标”的问题，根据圆周角定理：定线段AB对应的圆周角为45°时，其圆心角为90°，因此满足条件的点C的轨迹是两段圆弧，需构造辅助圆求解。先确定AB的位置，构造以AB为斜边、顶角为90°的等腰直角三角形得到圆心P，再以P为圆心、PA为半径作圆，圆与y轴的交点即为所求的点C，上下各有一个符合条件的点。
【解析】
1. 由A(3,0)、B(-1,0)，得AB的长度为4，AB中点为(1,0)。
2. 构造等腰直角三角形PAB，使∠APB=90°，则P到AB的距离为AB/2=2，因此上方圆心P的坐标为(1,2)，同理下方对应圆心P'(1,-2)。
3. 计算PA的长度：$PA=\sqrt{(3-1)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$，故⊙P的半径为$2\sqrt{2}$。
4. 过P作PD⊥y轴于D，D点坐标为(0,2)，PD=1。在Rt△PDC中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{PC^2-PD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-1^2}=\sqrt{7}$，
因此$OC=OD+CD=2+\sqrt{7}$，即C(0,2+√7)。
5. 同理，对下方的⊙P'计算，可得C'(0,-2-√7)也满足条件。
【答案】
综上所述，满足条件的点C的坐标为$(0,2+\sqrt{7})$或$(0,-2-\sqrt{7})$.
【知识点】
圆周角定理，坐标与图形性质，等腰直角三角形
【点评】
本题是定角存在性问题，核心是利用圆周角定理构造辅助圆，将几何问题转化为圆与坐标轴的交点问题，体现了转化思想，需掌握辅助圆的构造技巧，是几何综合题的常见题型。
【难度系数】
0.3
要解决“当∠BCA=45°时求点C坐标”的问题，根据圆周角定理：定线段AB对应的圆周角为45°时，其圆心角为90°，因此满足条件的点C的轨迹是两段圆弧，需构造辅助圆求解。先确定AB的位置，构造以AB为斜边、顶角为90°的等腰直角三角形得到圆心P，再以P为圆心、PA为半径作圆，圆与y轴的交点即为所求的点C，上下各有一个符合条件的点。
【解析】
1. 由A(3,0)、B(-1,0)，得AB的长度为4，AB中点为(1,0)。
2. 构造等腰直角三角形PAB，使∠APB=90°，则P到AB的距离为AB/2=2，因此上方圆心P的坐标为(1,2)，同理下方对应圆心P'(1,-2)。
3. 计算PA的长度：$PA=\sqrt{(3-1)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$，故⊙P的半径为$2\sqrt{2}$。
4. 过P作PD⊥y轴于D，D点坐标为(0,2)，PD=1。在Rt△PDC中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{PC^2-PD^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-1^2}=\sqrt{7}$，
因此$OC=OD+CD=2+\sqrt{7}$，即C(0,2+√7)。
5. 同理，对下方的⊙P'计算，可得C'(0,-2-√7)也满足条件。
【答案】
综上所述，满足条件的点C的坐标为$(0,2+\sqrt{7})$或$(0,-2-\sqrt{7})$.
【知识点】
圆周角定理，坐标与图形性质，等腰直角三角形
【点评】
本题是定角存在性问题，核心是利用圆周角定理构造辅助圆，将几何问题转化为圆与坐标轴的交点问题，体现了转化思想，需掌握辅助圆的构造技巧，是几何综合题的常见题型。
【难度系数】
0.3
10. 如图,在菱形 ABCD 中,P 是边 BC 上的一个动点(点 P 和点 C 不重合),连接 AP,AP 的垂直平分线交 BD 于点 G,交 AP 于点 E. 在点 P 从点 B 到点 C 的运动过程中,$∠ APG$ 的大小变化情况是（
A.变大
B.先变大后变小
C.先变小后变大
D.不变
D
）A.变大
B.先变大后变小
C.先变小后变大
D.不变
答案
10. D 解析:如图,连接AC交BD于点O,连接EO、AG.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AOB=90°.
∵EG是AP的垂直平分线,
∴AE=PE,∠AEG=∠PEG=90°,
∴AG=PG,
∴∠APG=∠PAG,A、E、G、O四点共圆,
∴∠EOB=∠PAG=∠APG.又
∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,
∴OE//BC,
∴∠EOB=∠DBC=$\frac{1}{2}∠ABC$,
∴∠APG=$\frac{1}{2}∠ABC$.
∵菱形ABCD固定,
∴∠ABC的度数不变,
∴∠APG的度数不变.
解析
【分析】
要判断∠APG的大小变化，需结合菱形和垂直平分线的性质推导其与定值的关系。首先连接菱形的对角线AC，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，再结合AP的垂直平分线得到AG=PG，进而得到角相等；通过构造辅助线EO，利用中位线性质和四点共圆，将∠APG转化为与菱形内角相关的定值，从而判断其不变。
【解析】
如图，连接AC交BD于点O，连接EO、AG。
1. 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且OA=OC（菱形对角线互相垂直且平分），BD平分∠ABC，即∠DBC=½∠ABC。
2. 因为EG是AP的垂直平分线，所以AG=PG（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），故∠APG=∠PAG。
3. E是AP中点，O是AC中点，所以EO是△APC的中位线，因此EO//BC，可得∠EOB=∠DBC。
4. 又因为A、E、G、O四点共圆，所以∠EOB=∠PAG（同弧所对的圆周角相等），结合∠APG=∠PAG，可得∠APG=∠EOB=∠DBC=½∠ABC。
5. 菱形ABCD固定，∠ABC的度数不变，所以∠APG的度数不变。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、垂直平分线的性质、四点共圆
【点评】
本题综合考查菱形与垂直平分线的性质，通过辅助线构造中位线和四点共圆，将动态的角度转化为定值，需要学生掌握几何图形的性质及角度转化的方法，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要判断∠APG的大小变化，需结合菱形和垂直平分线的性质推导其与定值的关系。首先连接菱形的对角线AC，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，再结合AP的垂直平分线得到AG=PG，进而得到角相等；通过构造辅助线EO，利用中位线性质和四点共圆，将∠APG转化为与菱形内角相关的定值，从而判断其不变。
【解析】
如图，连接AC交BD于点O，连接EO、AG。
1. 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且OA=OC（菱形对角线互相垂直且平分），BD平分∠ABC，即∠DBC=½∠ABC。
2. 因为EG是AP的垂直平分线，所以AG=PG（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），故∠APG=∠PAG。
3. E是AP中点，O是AC中点，所以EO是△APC的中位线，因此EO//BC，可得∠EOB=∠DBC。
4. 又因为A、E、G、O四点共圆，所以∠EOB=∠PAG（同弧所对的圆周角相等），结合∠APG=∠PAG，可得∠APG=∠EOB=∠DBC=½∠ABC。
5. 菱形ABCD固定，∠ABC的度数不变，所以∠APG的度数不变。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、垂直平分线的性质、四点共圆
【点评】
本题综合考查菱形与垂直平分线的性质，通过辅助线构造中位线和四点共圆，将动态的角度转化为定值，需要学生掌握几何图形的性质及角度转化的方法，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
11. 如图, 在$△ ABC$中,$∠ ABC=90^{ \circ }$,$AB=6$,$BC=8$,$O$为$AC$的中点, 过点$O$作$OE ⊥ OF$,$OE$、$OF$分别交射线$AB$、$BC$于点$E$、$F$, 则$EF$的最小值为
5
.答案
11. 5 解析:如图,取EF的中点D,连接OB.
∵∠EOF=90°,∠ABC=90°,
∴O、E、B、F四点在以EF为直径的⊙D上.
∵OB≤EF,
∴当且仅当OB为⊙D的直径时,OB=EF.
∵∠ABC=90°,AB=6,BC=8,
∴AC=10.
∵O为AC的中点,
∴OB=5,
∴当OB为⊙D的直径时,EF最小,最小值为5.
解析
【分析】
要解决EF的最小值问题，首先利用两个直角的条件确定四点共圆，再结合直角三角形斜边中线的性质求出OB的长度，最后根据圆中直径是最长弦的性质，得出当EF为圆的直径时EF最小，进而计算出最小值。
【解析】
解：取EF的中点D，连接OB。
∵ ∠EOF=90°，∠ABC=90°，
∴ 点O、E、B、F在以EF为直径的⊙D上。
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
由勾股定理得：AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10。
∵ O为AC的中点，∠ABC=90°，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得OB=½AC=5。
根据圆的性质，直径是圆中最长的弦，因此当EF为⊙D的直径时，EF最小，此时OB为⊙D的直径，故EF=OB=5。
【答案】
5
【知识点】
直角三角形斜边中线，四点共圆，圆的直径性质
【点评】
本题综合考查直角三角形性质、四点共圆判定及圆的基本性质，关键是通过直角条件确定四点共圆，利用直径最长的性质找到EF最小值，属于几何综合题，需具备图形分析能力。
【难度系数】
0.4
要解决EF的最小值问题，首先利用两个直角的条件确定四点共圆，再结合直角三角形斜边中线的性质求出OB的长度，最后根据圆中直径是最长弦的性质，得出当EF为圆的直径时EF最小，进而计算出最小值。
【解析】
解：取EF的中点D，连接OB。
∵ ∠EOF=90°，∠ABC=90°，
∴ 点O、E、B、F在以EF为直径的⊙D上。
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
由勾股定理得：AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10。
∵ O为AC的中点，∠ABC=90°，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得OB=½AC=5。
根据圆的性质，直径是圆中最长的弦，因此当EF为⊙D的直径时，EF最小，此时OB为⊙D的直径，故EF=OB=5。
【答案】
5
【知识点】
直角三角形斜边中线，四点共圆，圆的直径性质
【点评】
本题综合考查直角三角形性质、四点共圆判定及圆的基本性质，关键是通过直角条件确定四点共圆，利用直径最长的性质找到EF最小值，属于几何综合题，需具备图形分析能力。
【难度系数】
0.4
12. 如图,在正方形 ABCD 中,AC、BD 是对角线,P 为对角线 BD 上的一点,连接 AP,作 $PE ⊥$ AP 交 BC 于点 E. 若 $∠ CAE=15°$,求 $\dfrac{PB}{PE}$ 的值.
答案
12.
∵∠ABE=∠APE=90°,
∴A、B、E、P四点在以AE为直径的圆上,
∴∠BPE=∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-15°=30°.如图,过点E作EG⊥BP于点G,则可设BG=EG=a,
∴PE=2EG=2a,
∴PG=$\sqrt{3}a$,
∴PB=PG+BG=($\sqrt{3}+1$)a,
∴$\frac{PB}{PE}=\frac{(\sqrt{3}+1)a}{2a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
解析
【分析】首先观察到∠ABE=∠APE=90°，可判断A、B、E、P四点共圆，利用圆内接四边形的性质得到∠BPE=∠BAE，结合正方形对角线平分内角的性质算出∠BAE的度数；再通过作辅助线EG⊥BP，构造含30°角的直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别表示出PB和PE的长度，进而求出比值。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAC=45°，∠ABC=90°，
又
∵ PE⊥AP，
∴ ∠APE=90°，
∴ ∠ABE=∠APE=90°，
∴ A、B、E、P四点在以AE为直径的圆上，
∴ ∠BPE=∠BAE，
∵ ∠CAE=15°，
∴ ∠BAE=∠BAC - ∠CAE=45° - 15°=30°，
∴ ∠BPE=30°，
过点E作EG⊥BP于点G，
设BG=EG=a，
在Rt△PEG中，∠PGE=90°，∠BPE=30°，
∴ PE=2EG=2a，PG=√(PE² - EG²)=√[(2a)² - a²]=√3 a，
∴ PB=PG + BG=√3 a + a=(√3 + 1)a，
∴ $\frac{PB}{PE}=\frac{(\sqrt{3}+1)a}{2a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
【答案】$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
【知识点】正方形性质、四点共圆、直角三角形性质
【点评】本题综合考查正方形的性质、四点共圆的判定与性质以及直角三角形的边角关系，解题关键是利用四点共圆转化角度，再结合直角三角形的性质计算线段长度，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAC=45°，∠ABC=90°，
又
∵ PE⊥AP，
∴ ∠APE=90°，
∴ ∠ABE=∠APE=90°，
∴ A、B、E、P四点在以AE为直径的圆上，
∴ ∠BPE=∠BAE，
∵ ∠CAE=15°，
∴ ∠BAE=∠BAC - ∠CAE=45° - 15°=30°，
∴ ∠BPE=30°，
过点E作EG⊥BP于点G，
设BG=EG=a，
在Rt△PEG中，∠PGE=90°，∠BPE=30°，
∴ PE=2EG=2a，PG=√(PE² - EG²)=√[(2a)² - a²]=√3 a，
∴ PB=PG + BG=√3 a + a=(√3 + 1)a，
∴ $\frac{PB}{PE}=\frac{(\sqrt{3}+1)a}{2a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
【答案】$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
【知识点】正方形性质、四点共圆、直角三角形性质
【点评】本题综合考查正方形的性质、四点共圆的判定与性质以及直角三角形的边角关系，解题关键是利用四点共圆转化角度，再结合直角三角形的性质计算线段长度，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.5
