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探究问题时,我们通常采用特殊到一般的策略,先从简单的情形入手,再逐次递进,最后得出一般性的结论.下面我们先从直线出发来探究一系列图形至多可以将平面分成的区域数问题.
(1)如图,1条直线可以将平面分成2个区域;2条直线时,要使分成的区域尽量多,则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4部分;3条直线时,使分成的区域尽量多,就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交,这样就会得到2个交点,这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段,而每条射线和线段将已有的区域一分为二,这样就多了$2+1=3$(个)区域,所以3条直线至多将平面分成7个区域……以此类推,n条直线可以将平面至多分成
(2)如图,1个圆可以将平面分成2个区域;2个圆时,要使分成的区域尽量多,2个圆相交将平面分成4个区域;3个圆时,要使分成的区域尽量多,第3个圆与前2个圆都相交被分成了$2×(3-1)=4$(条)圆弧,将平面至多分成了$4+4=8$(个)区域……以此类推,n个圆至多可以将平面分成
(3)如图,仿照前面的过程,n个三角形至多可以将平面分成
(4)n组平行线至多可以将平面分成
(1)如图,1条直线可以将平面分成2个区域;2条直线时,要使分成的区域尽量多,则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4部分;3条直线时,使分成的区域尽量多,就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交,这样就会得到2个交点,这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段,而每条射线和线段将已有的区域一分为二,这样就多了$2+1=3$(个)区域,所以3条直线至多将平面分成7个区域……以此类推,n条直线可以将平面至多分成
$[\dfrac{n(n+1)}{2}+1]$
个区域.(2)如图,1个圆可以将平面分成2个区域;2个圆时,要使分成的区域尽量多,2个圆相交将平面分成4个区域;3个圆时,要使分成的区域尽量多,第3个圆与前2个圆都相交被分成了$2×(3-1)=4$(条)圆弧,将平面至多分成了$4+4=8$(个)区域……以此类推,n个圆至多可以将平面分成
$[n(n-1)+2]$
个区域.(3)如图,仿照前面的过程,n个三角形至多可以将平面分成
$[3n(n-1)+2]$
个区域.(提示:两个三角形至多有6个交点)(4)n组平行线至多可以将平面分成
$(2n^2+1)$
个区域.答案
(1)$[\dfrac{n(n+1)}{2}+1]$ 【解析】根据题意,1条直线,将平面分成了1+1=2(个)区域;2条直线,将平面分成了1+1+2=4(个)区域;3条直线,将平面分成了1+1+2+3=7(个)区域;…;n条直线时,要使分成的区域尽量多,就必须将第n条直线与前面(n-1)条直线尽可能两两相交,这样就会得到(n-1)个交点,这(n-1)个交点将第n条直线分为了n部分,每部分将已有的区域一分为二,这样就多了n个区域,所以n条直线至多将平面分成1+1+2+…+n=$[\dfrac{n(n+1)}{2}+1]$个区域.
(2)$[n(n-1)+2]$ 【解析】根据题意,1个圆,分成了2个区域;2个圆,分成了2+(2-1)×2=4(个)区域;3个圆,分成了2+(2-1)×2+(3-1)×2=8(个)区域;…;n个圆时,要使分成的区域尽量多,第n个圆与前(n-1)个圆都相交,这样就会得到2(n-1)个交点,这2(n-1)个交点将第n个圆分成了2(n-1)部分,每部分将已有的区域一分为二,这样就多了2(n-1)个区域,所以n个圆至多将平面分成2+(2-1)×2+(3-1)×2+…+2(n-1)=2+2[1+2+…+(n-1)]=2×$\dfrac{n(n-1)}{2}$+2=$[n(n-1)+2]$个区域.
(3)$[3n(n-1)+2]$ 【解析】1个三角形最多将平面分为2个区域;第2个三角形与第1个三角形最多有6个交点,6个交点将第2个三角形的边分成了6段,这6段的每一段都将原来的每1个区域分成了2个区域,从而增加了6个区域,共分成2+6=8(个)区域;第3个三角形与前面两个三角形最多有2×6=12(个)交点,从而增加了12个区域,共分成2+6+12=20(个)区域;…;第n个三角形与前面(n-1)个三角形最多有6(n-1)个交点,从而增加了6(n-1)个区域,所以n个三角形至多将平面分为2+6+2×6+…+6(n-1)=2+[1+2+…+(n-1)]×6=$[3n(n-1)+2]$个区域.
(4)$(2n^2+1)$ 【解析】1组平行线最多将平面分为3个区域;第2组平行线与第1组平行线最多有4个交点,4个交点将第2组平行线分成了6部分,每一部分都将原来的每1个区域分成了2个区域,从而增加了6个区域,共分成3+6=9(个)区域;第3组平行线与前面两组平行线最多有2×4=8(个)交点,从而增加了10个区域,共分成3+6+10=19(个)区域;…;第n组平行线与前面(n-1)组平行线最多有4(n-1)个交点,从而增加了4(n-1)+2=(4n-2)个区域,所以n组平行线至多将平面分为3+6+10+…+(4n-2)=1+2×[1+3+…+(2n-1)]=$(2n^2+1)$个区域.
(2)$[n(n-1)+2]$ 【解析】根据题意,1个圆,分成了2个区域;2个圆,分成了2+(2-1)×2=4(个)区域;3个圆,分成了2+(2-1)×2+(3-1)×2=8(个)区域;…;n个圆时,要使分成的区域尽量多,第n个圆与前(n-1)个圆都相交,这样就会得到2(n-1)个交点,这2(n-1)个交点将第n个圆分成了2(n-1)部分,每部分将已有的区域一分为二,这样就多了2(n-1)个区域,所以n个圆至多将平面分成2+(2-1)×2+(3-1)×2+…+2(n-1)=2+2[1+2+…+(n-1)]=2×$\dfrac{n(n-1)}{2}$+2=$[n(n-1)+2]$个区域.
(3)$[3n(n-1)+2]$ 【解析】1个三角形最多将平面分为2个区域;第2个三角形与第1个三角形最多有6个交点,6个交点将第2个三角形的边分成了6段,这6段的每一段都将原来的每1个区域分成了2个区域,从而增加了6个区域,共分成2+6=8(个)区域;第3个三角形与前面两个三角形最多有2×6=12(个)交点,从而增加了12个区域,共分成2+6+12=20(个)区域;…;第n个三角形与前面(n-1)个三角形最多有6(n-1)个交点,从而增加了6(n-1)个区域,所以n个三角形至多将平面分为2+6+2×6+…+6(n-1)=2+[1+2+…+(n-1)]×6=$[3n(n-1)+2]$个区域.
(4)$(2n^2+1)$ 【解析】1组平行线最多将平面分为3个区域;第2组平行线与第1组平行线最多有4个交点,4个交点将第2组平行线分成了6部分,每一部分都将原来的每1个区域分成了2个区域,从而增加了6个区域,共分成3+6=9(个)区域;第3组平行线与前面两组平行线最多有2×4=8(个)交点,从而增加了10个区域,共分成3+6+10=19(个)区域;…;第n组平行线与前面(n-1)组平行线最多有4(n-1)个交点,从而增加了4(n-1)+2=(4n-2)个区域,所以n组平行线至多将平面分为3+6+10+…+(4n-2)=1+2×[1+3+…+(2n-1)]=$(2n^2+1)$个区域.
