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23.(10分)【操作与证明】
如图1,将一把含$45°$角的三角尺$ECF$和一个正方形$ABCD$摆放在一起,使三角尺的直角顶点和正方形的顶点$C$重合,点$E,F$分别在正方形的边$CB,CD$上,连结$AF$。取$AF$的中点$M,EF$的中点$N$,连结$MD,MN$。
(1)连结$AE$,求证:$△ AEF$是等腰三角形。
猜想与发现:
(2)在(1)的条件下,请判断线段$MD$与$MN$的关系,得出结论。
结论:$DM,MN$的关系为________。
【拓展与探究】
(3)如图2,将图1中的三角尺$ECF$绕点$C$旋转$180°$,其他条件不变,则(2)中的结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由。
如图1,将一把含$45°$角的三角尺$ECF$和一个正方形$ABCD$摆放在一起,使三角尺的直角顶点和正方形的顶点$C$重合,点$E,F$分别在正方形的边$CB,CD$上,连结$AF$。取$AF$的中点$M,EF$的中点$N$,连结$MD,MN$。
(1)连结$AE$,求证:$△ AEF$是等腰三角形。
猜想与发现:
(2)在(1)的条件下,请判断线段$MD$与$MN$的关系,得出结论。
结论:$DM,MN$的关系为________。
【拓展与探究】
(3)如图2,将图1中的三角尺$ECF$绕点$C$旋转$180°$,其他条件不变,则(2)中的结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由。
答案
23.(1)因为四边形$ABCD$是正方形,所以$AB=BC=CD=AD$,$∠B=∠ADF=90°$。
因为$CE=CF$,所以$BE=DF$。所以$△ABE≌△ADF$。所以$AE=AF$。所以$△AEF$是等腰三角形。
(2)结论:$DM=MN$,$DM⊥MN$。证明如下:因为$AM=FM$,$FN=EN$,所以$MN=\frac{1}{2}AE$,$DM=\frac{1}{2}AF$。因为$AE=AF$,所以$MN=DM$。因为$∠ADF=90°$,$AM=MF$,所以$MD=MA=MF$。所以$∠MAD=∠ADM$。因为$∠DMF=∠MAD+∠ADM=2∠DAM$,又因为$△ABE≌△ADF$,所以$∠BAE=∠DAF$。因为$∠EAF+2∠DAM=90°$,$MN//AE$。所以$∠NMF=∠EAF$。所以$∠NMF+∠DMF=90°$。所以$DM⊥MN$。故答案为:$MN=DM$,$MN⊥DM$。
(3)结论仍然成立。理由如下:如图,连结$AE$,设$AE$交$DM$于点$O$,交$CD$于点$G$。
因为$AB=AD$,$BE=DF$,$∠ABE=∠ADF=90°$,所以$△ABE≌△ADF$。
所以$AF=AE$,$∠AFD=∠AEB$。因为$AM=MF$,$FN=EN$,所以$MN//AE$,$MN=\frac{1}{2}AE$,$DM=\frac{1}{2}AF$。
所以$MN=DM$。因为$DM=MF=AM$,所以$∠MDF=∠MFD=∠AEB$。
因为$∠DGO=∠CGE$,$∠ODG=∠CEG$,所以$∠DOG=∠ECG=90°$。
因为$NM//AE$,所以$∠DOG=∠DMN=90°$。所以$MN⊥DM$,$MN=DM$。
解析
【分析】
本题是几何操作探究题，分三小问：(1)要证△AEF为等腰三角形，需证AE=AF，利用正方形四边相等、CE=CF的条件，通过SAS证明△ABE≌△ADF即可得AE=AF；(2)判断MD与MN的关系，需结合中点性质：直角三角形斜边中线等于斜边一半、三角形中位线定理，结合AE=AF推导MD=MN，再通过角度关系证明垂直；(3)三角尺旋转后，仍通过全等证AE=AF，再利用中点的中位线和斜边中线性质，推导角度得垂直，结论仍成立。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADF=90°，BC=CD。又
∵三角尺ECF中CE=CF，
∴BC-CE=CD-CF，即BE=DF。在△ABE和△ADF中：$\{\begin{array}{l} AB=AD \\ ∠B=∠ADF \\ BE=DF \end{array} $，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF，故△AEF是等腰三角形。
(2) 结论：DM=MN，DM⊥MN。证明：
∵M是AF中点，N是EF中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}AE$，且MN//AE。又
∵∠ADF=90°，M是AF中点，
∴DM是Rt△ADF斜边中线，
∴$DM=\frac{1}{2}AF$。由(1)知AE=AF，
∴DM=MN。
∵DM=AM，
∴∠MAD=∠ADM，
∴∠DMF=∠MAD+∠ADM=2∠DAM。由△ABE≌△ADF得∠BAE=∠DAF，
∴∠EAF + 2∠DAM=90°，又MN//AE，
∴∠NMF=∠EAF，
∴∠DMN=∠DMF + ∠NMF=2∠DAM + ∠EAF=90°，故DM⊥MN。
(3) 结论仍然成立。证明：连结AE，设AE交CD于点G。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，BC=CD。又
∵CE=CF，
∴BC+CE=CD+CF，即BE=DF。在△ABE和△ADF中：$\{\begin{array}{l} AB=AD \\ ∠ABE=∠ADF \\ BE=DF \end{array} $，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF，∠AEB=∠AFD。
∵M是AF中点，N是EF中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}AE$，MN//AE；DM是Rt△ADF斜边中线，
∴$DM=\frac{1}{2}AF$，
∴DM=MN。
∵DM=MF，
∴∠MDF=∠MFD=∠AEB。又
∵∠DGO=∠CGE，∠ODG=∠CEG，
∴∠DOG=∠ECG=90°，
∵MN//AE，
∴∠DMN=∠DOG=90°，故DM⊥MN，结论成立。
【答案】
DM=MN，DM⊥MN；(3)结论成立，证明如上。
【知识点】
正方形性质，全等三角形，中点性质
【点评】
本题为几何综合探究题，通过三角尺旋转操作，综合考查核心几何定理，要求学生具备较强的逻辑推导能力，逐步分析线段、角度关系。
【难度系数】
0.5
本题是几何操作探究题，分三小问：(1)要证△AEF为等腰三角形，需证AE=AF，利用正方形四边相等、CE=CF的条件，通过SAS证明△ABE≌△ADF即可得AE=AF；(2)判断MD与MN的关系，需结合中点性质：直角三角形斜边中线等于斜边一半、三角形中位线定理，结合AE=AF推导MD=MN，再通过角度关系证明垂直；(3)三角尺旋转后，仍通过全等证AE=AF，再利用中点的中位线和斜边中线性质，推导角度得垂直，结论仍成立。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADF=90°，BC=CD。又
∵三角尺ECF中CE=CF，
∴BC-CE=CD-CF，即BE=DF。在△ABE和△ADF中：$\{\begin{array}{l} AB=AD \\ ∠B=∠ADF \\ BE=DF \end{array} $，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF，故△AEF是等腰三角形。
(2) 结论：DM=MN，DM⊥MN。证明：
∵M是AF中点，N是EF中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}AE$，且MN//AE。又
∵∠ADF=90°，M是AF中点，
∴DM是Rt△ADF斜边中线，
∴$DM=\frac{1}{2}AF$。由(1)知AE=AF，
∴DM=MN。
∵DM=AM，
∴∠MAD=∠ADM，
∴∠DMF=∠MAD+∠ADM=2∠DAM。由△ABE≌△ADF得∠BAE=∠DAF，
∴∠EAF + 2∠DAM=90°，又MN//AE，
∴∠NMF=∠EAF，
∴∠DMN=∠DMF + ∠NMF=2∠DAM + ∠EAF=90°，故DM⊥MN。
(3) 结论仍然成立。证明：连结AE，设AE交CD于点G。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，BC=CD。又
∵CE=CF，
∴BC+CE=CD+CF，即BE=DF。在△ABE和△ADF中：$\{\begin{array}{l} AB=AD \\ ∠ABE=∠ADF \\ BE=DF \end{array} $，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF，∠AEB=∠AFD。
∵M是AF中点，N是EF中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}AE$，MN//AE；DM是Rt△ADF斜边中线，
∴$DM=\frac{1}{2}AF$，
∴DM=MN。
∵DM=MF，
∴∠MDF=∠MFD=∠AEB。又
∵∠DGO=∠CGE，∠ODG=∠CEG，
∴∠DOG=∠ECG=90°，
∵MN//AE，
∴∠DMN=∠DOG=90°，故DM⊥MN，结论成立。
【答案】
DM=MN，DM⊥MN；(3)结论成立，证明如上。
【知识点】
正方形性质，全等三角形，中点性质
【点评】
本题为几何综合探究题，通过三角尺旋转操作，综合考查核心几何定理，要求学生具备较强的逻辑推导能力，逐步分析线段、角度关系。
【难度系数】
0.5
