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21. (8分)如图,在$△ ABC$中,$∠ A=30°$,$AB=AC$,将$△ ABC$补成一个矩形,使$△ ABC$的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个顶点落在矩形的另一边上。
(1)请用三角尺画出一个矩形的示意图。
(2)若$AB=4$,求出你所画矩形的面积。
(1)请用三角尺画出一个矩形的示意图。
(2)若$AB=4$,求出你所画矩形的面积。
答案
21.(答案不唯一)(1)如图,矩形$BCDE$即为所求。
(2)如图,过点$B$作$BF⊥AC$于点$F$。因为$∠BAF=30°$,$AC=AB=4$,所以$BF=\frac{1}{2}AB=2$。
所以$△ABC$的面积$=\frac{1}{2}AC·BF=\frac{1}{2}×4×2=4$。
所以所画矩形$BCDE$的面积$=2×4=8$。
解析
【分析】
要解决本题，首先明确题目要求：将等腰△ABC补成矩形，使B、C为矩形一边的两个端点，A落在矩形的对边上。解题分两步：①画出符合要求的矩形；②利用等腰三角形性质和直角三角形30°角的性质，计算△ABC的面积，再结合矩形与△ABC的面积关系求出矩形面积。
【解析】
(1) 画图：如图，矩形BCDE即为所求（B、C在矩形底边，A在矩形顶边ED上）。
(2) 计算面积：过点B作BF⊥AC于点F。
已知∠BAF=30°，AB=AC=4，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得BF=½AB=½×4=2。
△ABC的面积=½×AC×BF=½×4×2=4。
观察图形可知，矩形BCDE的面积是△ABC面积的2倍，因此矩形面积=2×4=8。
【答案】
(1) 矩形BCDE（示意图见参考答案图）；(2) 8
【知识点】
等腰三角形性质、直角三角形性质、矩形面积计算
【点评】
本题结合等腰三角形与矩形考查面积计算，关键是理解矩形与三角形的面积关系，利用直角三角形30°角的性质求高，难度适中，需掌握几何图形间的面积转化。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先明确题目要求：将等腰△ABC补成矩形，使B、C为矩形一边的两个端点，A落在矩形的对边上。解题分两步：①画出符合要求的矩形；②利用等腰三角形性质和直角三角形30°角的性质，计算△ABC的面积，再结合矩形与△ABC的面积关系求出矩形面积。
【解析】
(1) 画图：如图，矩形BCDE即为所求（B、C在矩形底边，A在矩形顶边ED上）。
(2) 计算面积：过点B作BF⊥AC于点F。
已知∠BAF=30°，AB=AC=4，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得BF=½AB=½×4=2。
△ABC的面积=½×AC×BF=½×4×2=4。
观察图形可知，矩形BCDE的面积是△ABC面积的2倍，因此矩形面积=2×4=8。
【答案】
(1) 矩形BCDE（示意图见参考答案图）；(2) 8
【知识点】
等腰三角形性质、直角三角形性质、矩形面积计算
【点评】
本题结合等腰三角形与矩形考查面积计算，关键是理解矩形与三角形的面积关系，利用直角三角形30°角的性质求高，难度适中，需掌握几何图形间的面积转化。
【难度系数】
0.6
22. (10分)为了促进销售、扩大市场占有率,某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动,请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题。
| 素材1 | 某款中央空调每台的进价为20000元。 |
| ---- | ---- |
| 素材2 | 团购方案:团购2台时,享受团购价30000元/台,若团购数量每增加1台,则每台再降500元。
规定:一个团的团购数量不超过11台。 |
| 问题解决 | (1)当团购3台时,求每台空调的团购价。
(2)设团购数量增加$x$台,请用含$x$的代数式表示每台空调的团购价。
(3)当一个团的团购数量为多少台时,销售部的利润为58500元? |
| 素材1 | 某款中央空调每台的进价为20000元。 |
| ---- | ---- |
| 素材2 | 团购方案:团购2台时,享受团购价30000元/台,若团购数量每增加1台,则每台再降500元。
规定:一个团的团购数量不超过11台。 |
| 问题解决 | (1)当团购3台时,求每台空调的团购价。
(2)设团购数量增加$x$台,请用含$x$的代数式表示每台空调的团购价。
(3)当一个团的团购数量为多少台时,销售部的利润为58500元? |
答案
22.(1)当团购3台时,每台空调的团购价为$30000-500=29500$(元)。
(2)每台空调的团购价为$(30000-500x)$元。
(3)根据题意,得$(x+2)(30000-500x-20000)=58500$,解得$x_1=7$,$x_2=11$。因为$x+2≤11$,解得$x≤9$,所以$x=7$。所以$x+2=9$。所以当一个团的团购数量为9台时,销售部的利润为58500元。
(2)每台空调的团购价为$(30000-500x)$元。
(3)根据题意,得$(x+2)(30000-500x-20000)=58500$,解得$x_1=7$,$x_2=11$。因为$x+2≤11$,解得$x≤9$,所以$x=7$。所以$x+2=9$。所以当一个团的团购数量为9台时,销售部的利润为58500元。
解析
【分析】
解决本题需先从素材中提取关键信息：团购2台时单价30000元，每多1台单价降500元，团购总数不超过11台。第(1)问，团购3台比2台多1台，直接用初始单价减500即可；第(2)问，增加x台则单价降500x，用初始单价减去降价额得代数式；第(3)问，利润=每台利润×总数量，每台利润是团购价减进价，总数量是(2+x)台，据此列方程，再结合团购总数限制筛选解。
【解析】
(1) 团购2台时单价为30000元，团购3台比2台多1台，每台降价500元，因此团购3台时每台单价为：30000 - 500×1 = 29500（元）。
(2) 设团购数量增加x台，每台单价在30000元基础上降低500x元，故每台团购价为：(30000 - 500x)元。
(3) 销售利润=每台利润×总数量，每台利润为团购价减进价（20000元），总数量为(2 + x)台，根据利润58500元列方程：
(2 + x)(30000 - 500x - 20000) = 58500
整理得：(x + 2)(10000 - 500x) = 58500
两边同除以500化简：(x + 2)(20 - x) = 117
展开并整理一元二次方程：x² - 18x + 77 = 0
因式分解得：(x - 7)(x - 11) = 0
解得：x₁=7，x₂=11
结合团购总数不超过11台，即2 + x ≤11 → x ≤9，故x₂=11不符合要求，舍去。
当x=7时，团购总数为2 +7=9（台）。
【答案】
22.(1)当团购3台时,每台空调的团购价为29500元。
(2)每台空调的团购价为(30000-500x)元。
(3)当一个团的团购数量为9台时,销售部的利润为58500元。
【知识点】
代数式的表示、一元二次方程的应用
【点评】
本题是结合实际团购活动的数学应用题，重点考查学生从素材中提取信息、建立数学模型解决问题的能力，需注意列方程后根据实际意义筛选解，难度适中。
【难度系数】
0.6
解决本题需先从素材中提取关键信息：团购2台时单价30000元，每多1台单价降500元，团购总数不超过11台。第(1)问，团购3台比2台多1台，直接用初始单价减500即可；第(2)问，增加x台则单价降500x，用初始单价减去降价额得代数式；第(3)问，利润=每台利润×总数量，每台利润是团购价减进价，总数量是(2+x)台，据此列方程，再结合团购总数限制筛选解。
【解析】
(1) 团购2台时单价为30000元，团购3台比2台多1台，每台降价500元，因此团购3台时每台单价为：30000 - 500×1 = 29500（元）。
(2) 设团购数量增加x台，每台单价在30000元基础上降低500x元，故每台团购价为：(30000 - 500x)元。
(3) 销售利润=每台利润×总数量，每台利润为团购价减进价（20000元），总数量为(2 + x)台，根据利润58500元列方程：
(2 + x)(30000 - 500x - 20000) = 58500
整理得：(x + 2)(10000 - 500x) = 58500
两边同除以500化简：(x + 2)(20 - x) = 117
展开并整理一元二次方程：x² - 18x + 77 = 0
因式分解得：(x - 7)(x - 11) = 0
解得：x₁=7，x₂=11
结合团购总数不超过11台，即2 + x ≤11 → x ≤9，故x₂=11不符合要求，舍去。
当x=7时，团购总数为2 +7=9（台）。
【答案】
22.(1)当团购3台时,每台空调的团购价为29500元。
(2)每台空调的团购价为(30000-500x)元。
(3)当一个团的团购数量为9台时,销售部的利润为58500元。
【知识点】
代数式的表示、一元二次方程的应用
【点评】
本题是结合实际团购活动的数学应用题，重点考查学生从素材中提取信息、建立数学模型解决问题的能力，需注意列方程后根据实际意义筛选解，难度适中。
【难度系数】
0.6
