18.(8分)如图，$P(x,y)$是平面直角坐标系中的一点。
(1)用二次根式表示线段$OP$的长。
(2)若$x=\sqrt{6},y=\sqrt{10}$，求$OP$的长。

18.(1)$OP=\sqrt{x^2+y^2}$。
(2)当$x=\sqrt{6},y=\sqrt{10}$时,$OP=\sqrt{6+10}=4$。

【分析】
要解决本题，需利用平面直角坐标系中两点间距离的计算方法：原点O与点P(x,y)构成的线段OP，可通过构造直角三角形，结合勾股定理求解长度。第(1)问直接用勾股定理推导表达式，第(2)问代入数值计算二次根式即可。
【解析】
(1) 过点P作x轴的垂线，垂足为A，则OA=x，PA=y，△OPA为直角三角形。根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和，因此：
$OP^2 = OA^2 + PA^2 = x^2 + y^2$，由于线段长度为正，故$OP=\sqrt{x^2+y^2}$。
(2) 将$x=\sqrt{6},y=\sqrt{10}$代入OP的表达式：
$OP=\sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{10})^2}=\sqrt{6 + 10}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
(1) $OP=\sqrt{x^2+y^2}$；(2) $4$
【知识点】
勾股定理、二次根式运算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中线段长度的计算，核心是勾股定理的应用，属于基础题型，侧重考查学生对勾股定理和二次根式运算的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.7

19.(8分)如图,在菱形$ABCD$中,$∠BAD=60°$,$DE⊥AB$,$DF⊥BC$,垂足分别为$E,F$。
(1)求证:$△ DEF$是等边三角形。
(2)若$AC=8$,求$△ DEF$的面积。

19.(1)因为四边形$ABCD$是菱形,$∠BAD=60°$,所以$AD=CD$,$AB//CD$,$∠BCD=∠BAD=60°$。
所以$∠ADC=120°$。因为$DE⊥AB$,$DF⊥BC$,所以$∠AED=∠DFC=90°$。所以$△AED≌△CFD$,$∠ADE=∠CDF=30°$。
所以$DE=DF$,$∠EDF=∠ADC-∠ADE-∠CDF=60°$。所以$△DEF$是等边三角形。
(2)如图,连结$BD$交$EF$于点$G$。
因为四边形$ABCD$是菱形,$∠BAD=60°$,所以$BD⊥AC$,$AB=AD$。
所以$△ABD$是等边三角形。因为$DE⊥AB$,所以$E$是$AB$的中点。同理可得$F$是$BC$的中点。
所以$EF//AC$,$EF=\frac{1}{2}AC$。所以$BD⊥EF$。因为$AC=8$,所以$DE=EF=4$,$EG=2$。所以$DG=2\sqrt{3}$。所以$S_{△DEF}=\frac{1}{2}EF·DG=4\sqrt{3}$。

【分析】
要证明△DEF是等边三角形，需先利用菱形的边、角性质，结合垂直条件证明三角形全等，得到DE=DF，再计算∠EDF=60°即可判定；求△DEF的面积时，利用菱形对角线性质和三角形中位线定理得到EF的长度，再结合等边三角形的高计算面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴ AD=CD，∠BCD=∠BAD=60°，AB//CD，
∴ ∠ADC=180°-∠BAD=120°。
∵ DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ ∠AED=∠CFD=90°。
在△AED和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}∠AED=∠CFD \\∠EAD=∠FCD \\AD=CD\end{array} $
∴ △AED≌△CFD（AAS），
∴ DE=DF，∠ADE=∠CDF=30°，
∴ ∠EDF=∠ADC - ∠ADE - ∠CDF = 120° - 30° - 30°=60°，
∴ △DEF是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。
(2) 解：连接BD，交EF于点G。
∵ 四边形ABCD是菱形，AC=8，
∴ AB=AD，BD⊥AC，
又
∵ ∠BAD=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∵ DE⊥AB，
∴ E是AB中点，同理F是BC中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF//AC，EF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×8=4$，
∵ BD⊥AC，EF//AC，
∴ BD⊥EF，即DG⊥EF，
∵ △DEF是等边三角形，
∴ DG是等边△DEF的高，DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}×EF=\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$，
∴ $S_{△DEF}=\frac{1}{2}×EF×DG=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $4\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定，三角形中位线
【点评】
本题综合考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是利用菱形的边、角关系推导全等三角形，结合中位线定理和等边三角形的高计算面积，需熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】
0.5

20.(8分)下表是从某校八年级150名女生中随机抽取的10名女生的身高统计表。

(1)依据样本估计该校八年级女生的平均身高。
(2)写出这10名女生身高的中位数和众数。
(3)请你依据这个样本,设计一个挑选40名女生组成方队的方案(要求选中女生的身高尽可能接近)。

20.(1)$平均数=\frac{154+158×2+161×2+162×3+165+167}{10}=161(cm)$,所以该校八年级女生的平均身高约为161 cm。
(2)10个数据按从小到大的顺序排列后,第5、第6个数是161,162,所以中位数是$(161+162)÷2=161.5(cm)$。162出现了3次,次数最多,所以众数为162 cm。
(3)由于平均数为161,中位数为161.5,众数为162,所以可挑选161~162 cm的女生参加,比较整齐。(合理即可)

【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：(1) 先计算抽取的10名女生身高的平均数，再利用样本平均数估计总体的平均身高；(2) 将10个身高数据从小到大排列，根据中位数定义（偶数个数据取中间两数的平均数）求中位数，再找出出现次数最多的数确定众数；(3) 结合样本统计量的集中趋势，挑选身高接近的女生组成方队，保证整齐。
【解析】
(1) 计算样本平均身高：
总身高 = $154×1 + 158×2 + 161×2 + 162×3 + 165×1 + 167×1 = 1610(cm)$
样本平均数 = $1610÷10 = 161(cm)$，因此估计该校八年级女生的平均身高约为161cm。
(2) 将10名女生身高从小到大排列：154，158，158，161，161，162，162，162，165，167。
10个数据的中位数为第5、第6个数的平均数：$(161+162)÷2 = 161.5(cm)$；
162出现3次，次数最多，故众数为162cm。
(3) 样本的平均数、中位数、众数集中在161~162cm，此区间女生人数较多，因此可挑选身高在161~162cm的女生组成方队，保证身高尽可能接近，方队整齐（方案合理即可）。
【答案】
(1) 约161cm；(2) 中位数161.5cm，众数162cm；(3) 挑选身高在161~162cm的女生组成方队（合理即可）
【知识点】
平均数、中位数、众数
【点评】
本题考查统计基础知识点，要求掌握平均数、中位数、众数的计算，理解样本估计总体的思想，能结合统计量设计合理方案，难度适中。
【难度系数】
0.6