10.如图,在菱形ABCD中,P是对角线BD上一动点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,记菱形高线的长为h,则下列结论:①当P为BD的中点时,PE=PF;②PE+PF=h;③∠EPF+∠A=180°;④若AB=2,∠EPF=60°,连结PC,则PE+PC有最小值为2;⑤若h=2,∠EPF=60°,连结EF,则$S_{△ PEF}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。其中错误的有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

10.B 【解析】当P为BD中点时,连结AC,如图1。因为四边形ABCD是菱形,所以PB=PD,CA平分∠BCD。因为PE⊥BC,PF⊥CD,所以PE=PF,故①不符合题意。如图2,延长EP交AD于点F'。因为四边形ABCD是菱形,所以AD//BC,DB平分∠ADC。因为PE⊥BC,所以PF'⊥AD。因为PF⊥CD,所以PF=PF'。所以PE+PF=PE+PF'=EF'=h,故②不符合题意。因为四边形ABCD是菱形,所以∠BAD=∠BCD。因为PE⊥BC,PF⊥CD,所以∠PEC+∠PFC=90°+90°=180°。所以∠EPF+∠BCD=360°-(∠PEC+∠PFC)=180°。所以∠EPF+∠BAD=180°,故③不符合题意。如图3,过点C作CE'⊥AB于点E',交BD于点P。同理可得PE=PE',所以CE'=CP+PE'=CP+PE。因为CE'最小,所以PE+PC最小。由③得∠A+∠EPF=180°,因为∠A+∠ABC=180°,所以∠ABC=∠EPF=60°。所以∠BCE'=30°。因为AB=BC=2,所以$BE'=\frac{1}{2}BC=1$。所以$CE'=\sqrt{3}BE'=\sqrt{3}$。所以PE+PC的最小值为$\sqrt{3}$,故④符合题意。如图4,过点F作FG⊥PE于点G。设PE=x,由②知PF=h-PE=2−x。因为∠EPF=60°,所以∠PFG=30°。所以$PG=\frac{1}{2}PF=1-\frac{1}{2}x$。所以$GF=\sqrt{3}PG=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x$。所以$S_{△PEF}=\frac{1}{2}x(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x-1)^2+\frac{\sqrt{3}}{4}$。所以当x=1时,$S_{△PEF}$有最大值$\frac{\sqrt{3}}{4}$,故⑤符合题意。故选B。

【分析】
要判断各结论是否正确，需结合菱形的性质（对角线平分内角、对边平行、四边相等）、角平分线的性质、垂线段最短、三角形面积公式等知识逐一分析：
1. 结论①：利用菱形对角线平分内角，结合角平分线性质判断；
2. 结论②：通过作辅助线，利用菱形对边平行，将PE+PF转化为菱形的高h；
3. 结论③：利用四边形内角和与菱形对角相等，推导∠EPF与∠A的关系；
4. 结论④：利用垂线段最短，结合菱形角度关系计算PE+PC的最小值；
5. 结论⑤：设PE=x，结合②得PF=h-x，利用∠EPF=60°表示三角形面积，求最大值。
【解析】
已知四边形ABCD是菱形，故AB=BC=CD=DA，BD平分∠ABC和∠ADC，AD//BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ABC=180°。
1. 结论①：当P为BD中点时，BD平分∠BCD，PE⊥BC，PF⊥CD，根据角平分线性质，角平分线上的点到角两边距离相等，故PE=PF，①正确。
2. 结论②：延长EP交AD于F'，因AD//BC，PE⊥BC，故PF'⊥AD；又BD平分∠ADC，PF⊥CD，PF'⊥AD，得PF=PF'，因此PE+PF=PE+PF'=EF'，EF'为菱形的高，即EF'=h，故PE+PF=h，②正确。
3. 结论③：PE⊥BC，PF⊥CD，故∠PEC=∠PFC=90°，四边形PECF内角和为360°，则∠EPF+∠BCD=180°；又菱形中∠BAD=∠BCD，所以∠EPF+∠BAD=180°，③正确。
4. 结论④：过C作CE'⊥AB于E'，交BD于P，此时CE'为菱形的高，即PE+PC=CE'最小。由∠A+∠ABC=180°，结合③得∠ABC=∠EPF=60°，在Rt△BCE'中，BC=2，∠ABC=60°，则CE'=√3，故PE+PC最小值为√3，而非2，④错误。
5. 结论⑤：设PE=x，h=2，由②得PF=2-x。∠EPF=60°，过F作FG⊥PE于G，Rt△PFG中FG=(2-x)·√3/2，△PEF面积S=1/2·x·(√3/2)(2-x)= -√3/4(x-1)² + √3/4，最大值为√3/4，而非√3/2，⑤错误。
综上，错误结论为④和⑤，共2个。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、角平分线性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查菱形相关性质，需熟练运用辅助线构造、垂线段最短、面积公式等知识，逐一分析各结论，辅助线的构造是解题关键。
【难度系数】
0.4

11. 计算$\sqrt{(-5)^2}$的结果是$\underline{\hspace{5cm}}$。

11.5

【分析】
要计算$\sqrt{(-5)^2}$，需运用二次根式的核心性质：对于任意实数$a$，$\sqrt{a^2}=|a|$，且算术平方根的结果为非负数。先计算被开方数的平方，再结合绝对值的性质化简，就能得出正确结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，把$a=-5$代入式子：
$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$
【答案】
5
【知识点】
二次根式的性质、算术平方根
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，关键是牢记算术平方根的非负性，避免误算为$-5$，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7

12.若方程$x^2+mx+9=0$经配方后转化成$(x-3)^2=0$，则$m$的值是$\underline{\hspace{5em}}$。

12.-6

【分析】
要确定m的值，可先将配方后的完全平方式展开，得到其一般形式，再与原一元二次方程的对应项系数对比，即可求出m；也可通过对原方程直接配方，结合已知的配方结果对比系数求解。
【解析】
方法一：先展开配方后的式子：
将$(x-3)^2=0$展开，根据完全平方公式得：$x^2 - 6x + 9 = 0$。
已知原方程为$x^2 + mx + 9 = 0$，两个方程对应项系数相等，因此一次项系数满足$m = -6$。
【答案】
-6
【知识点】
一元二次方程的配方、完全平方公式
【点评】
本题考查一元二次方程的配方运算，核心是利用完全平方公式展开后对比系数，属于基础题型，侧重对配方方法的掌握。
【难度系数】
0.8

13. 如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，∠ACB=α，依据尺规作图的痕迹，AF与EF的交点为F，则∠AFE的度数是（用含α的代数式表示）。

13.$90°-\frac{1}{2}α$

【分析】
首先，矩形ABCD中AD与BC平行，根据平行线内错角相等可得∠DAC=∠ACB=α；观察尺规作图痕迹，AF是∠DAC的角平分线，EF是AC的垂直平分线，因此EF与AC垂直，形成直角三角形；利用直角三角形两锐角互余，结合角平分线的角度关系，即可求出∠AFE的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DAC=∠ACB=α（两直线平行，内错角相等）。
由尺规作图可知：AF平分∠DAC，EF垂直平分AC，
∴ ∠FAC=½∠DAC=½α，EF⊥AC，设AC与EF交于点O，则∠AOF=90°。
在Rt△AOF中，根据直角三角形两锐角互余：
∠AFE + ∠FAC = 90°，
∴ ∠AFE = 90° - ∠FAC = 90° - ½α。
【答案】
90° - ½α
【知识点】
矩形性质、角平分线性质、垂直平分线性质、直角三角形性质
【点评】
本题结合矩形性质与尺规作图，核心是利用角平分线和垂直平分线的角度关系，结合直角三角形的角度规律求解，需理清各角的关联，属于中等难度的几何角度计算问题。
【难度系数】
0.5

14.某校四个植树小队,在植树节这天种下柏树的棵数分别为10, x, 10,8,若这组数据的中位数和平均数相等,则$x=$。

14.12或8

【分析】
要解决本题，需先计算数据的平均数，再根据x的不同取值范围确定排序后数据的中位数，最后利用“中位数与平均数相等”的条件分情况列方程求解，注意x的取值会影响中位数的计算，需全面讨论避免漏解。
【解析】
1. 计算平均数：这组数据的平均数为$\frac{10+x+10+8}{4}=\frac{28+x}{4}$。
2. 分情况确定中位数并列方程：
当$x ≤ 8$时，将数据从小到大排序为$x,8,10,10$，中位数为$\frac{8+10}{2}=9$，令平均数等于中位数，得$\frac{28+x}{4}=9$，解得$x=8$，符合$x ≤8$；
当$8 ＜ x ≤10$时，排序为$8,x,10,10$，中位数为$\frac{x+10}{2}$，令$\frac{x+10}{2}=\frac{28+x}{4}$，解得$x=8$，不符合$8＜x≤10$，舍去；
当$x＞10$时，排序为$8,10,10,x$，中位数为$\frac{10+10}{2}=10$，令$\frac{28+x}{4}=10$，解得$x=12$，符合$x＞10$。
综上，$x$的值为8或12。
【答案】
8或12
【知识点】
中位数、平均数
【点评】
本题结合中位数和平均数的概念，考查分类讨论思想的应用，需根据x的取值范围确定中位数，避免漏解，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5

15.《九章算术》中有一题大意是:今有户不知高、广,竿不知长短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出,问:户高、广、邪各几何?该问题的意思是:今有门不知其高和宽,有竿不知其长短,横放竿比门宽长出4尺(古时的长度单位),竖放竿比门高长出2尺,斜放竿与门对角线恰好相等,问:门高、宽和对角线的长各是多少?该问题中“门宽”为________尺。

15.6

【分析】
本题是古代数学问题转化为直角三角形模型的应用题，需利用矩形性质和勾股定理建立方程求解。首先设门宽为$x$尺，根据题意表示出竿长、门高，再结合“斜放竿与门对角线相等”的条件，利用勾股定理列方程，解方程后舍去负解即可得到门宽。
【解析】
设门宽为$x$尺，则竿长为$(x+4)$尺，门高为$(x+4 - 2)=(x+2)$尺，门对角线长等于竿长，即$(x+4)$尺。
因为门为矩形，宽、高、对角线构成直角三角形，根据勾股定理：
$x^2 + (x+2)^2 = (x+4)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16 \x^2 - 4x - 12 = 0$
因式分解得：
$(x - 6)(x + 2) = 0$
解得$x=6$或$x=-2$，长度不能为负，舍去$x=-2$，故门宽为6尺。
【答案】
6
【知识点】
勾股定理应用、一元二次方程求解
【点评】
本题将古代实际问题转化为直角三角形的数学模型，核心是利用勾股定理建立方程，体现了数学建模思想，是勾股定理在实际生活中的典型应用，难度适中。
【难度系数】
0.5

16.将两个边长分别为$a,b(a＜b)$的正方形按如图所示的两种方式放置,图1中阴影部分的面积为$m$,图2中阴影部分的面积为$n$,则大正方形$ABCD$的面积为$\underline{\hspace{5em}}$(用含$m,n$的代数式表示)。

16.$2m+n$ 【解析】由题知,$m=a^2+b^2-\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a(a+b)=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}ab$,$n=b^2-a^2-2×\frac{1}{2}b(b-a)=ab-a^2$,所以$2m=a^2+b^2-ab$。所以$2m+n=a^2+b^2-ab+ab-a^2=b^2$,即大正方形$ABCD$的面积为$2m+n$。

【分析】
要解决这个问题，需先根据图形面积的和差关系，分别推导阴影部分面积$m$和$n$的表达式，再通过整式运算消去无关项，从而得到大正方形$ABCD$的面积。具体步骤为：①计算图1中阴影面积$m$，用两个正方形面积之和减去两个空白三角形的面积；②计算图2中阴影面积$n$，用大正方形面积减去两个空白三角形的面积；③对$m$和$n$的表达式进行代数变形，消去$a^2$、$ab$等项，得到大正方形面积的表达式。
【解析】
1. 计算图1中阴影面积$m$：
两个正方形的面积和为$a^2 + b^2$，图1中空白部分是两个直角三角形，面积分别为$\frac{1}{2}b^2$（大正方形内的三角形）和$\frac{1}{2}a(a+b)$（底为$a+b$、高为$a$的三角形），因此：
$\begin{aligned}m&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a(a+b)\\&=a^2 + b^2 - \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab\end{aligned}$
两边同乘2得：$2m = a^2 + b^2 - ab$。
2. 计算图2中阴影面积$n$：
图2中空白部分是两个全等的直角三角形，每个三角形的底为$b$，高为$b-a$，因此两个三角形的面积和为$2×\frac{1}{2}b(b-a)=b(b-a)=b^2 - ab$，小正方形面积为$a^2$，则：
$\begin{aligned}n&=b^2 - a^2 - (b^2 - ab)\\&=b^2 - a^2 - b^2 + ab\\&=ab - a^2\end{aligned}$
3. 求大正方形$ABCD$的面积：
将$2m$与$n$相加：
$\begin{aligned}2m + n&=(a^2 + b^2 - ab) + (ab - a^2)\\&=b^2\end{aligned}$
即大正方形$ABCD$的面积为$b^2$，对应代数式为$2m + n$。
【答案】
$2m + n$
【知识点】
整式的加减、正方形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题结合两个正方形的放置方式，利用面积和差关系列代数式，再通过整式的加减运算化简，消去未知的$a$，最终得到大正方形面积的表达式，考查了学生对图形面积的理解和整式运算的能力。
【难度系数】
0.5

17.(8分)解方程:
(1)$(x-2)^2=2$。
(2)$(2y-1)^2+3(2y-1)=0$。

17.(1)$x_1=2+\sqrt{2}$,$x_2=2-\sqrt{2}$。
(2)$y_1=\frac{1}{2}$,$y_2=-1$。

【分析】
第(1)题是形如$(x-a)^2=b$的一元二次方程，采用直接开平方法，对等式两边开平方得到两个一次方程即可求解；第(2)题将$(2y-1)$看作整体，通过提取公因式因式分解，转化为两个一次方程求解，这是解一元二次方程的常用基础方法。
【解析】
(1) 对$(x-2)^2=2$两边直接开平方，得：
$x-2=\pm\sqrt{2}$，
移项得：$x=2\pm\sqrt{2}$，
因此方程的解为$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$。
(2) 对$(2y-1)^2+3(2y-1)=0$提取公因式$(2y-1)$，得：
$(2y-1)(2y-1 + 3)=0$，
化简得：$(2y-1)(2y+2)=0$，
则$2y-1=0$或$2y+2=0$，
解得：$y_1=\frac{1}{2}$，$y_2=-1$。
【答案】
(1)$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$；(2)$y_1=\frac{1}{2}$，$y_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程的解法，直接开平方法，因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，分别运用直接开平方法和因式分解法，属于常规基础题型，需熟练掌握两种方法的操作步骤。
【难度系数】
0.8