24.(12分)如图,在$□ ABCD$中,E是边BC上一点,将$△ ABE$沿AE折叠后,点B的对应点为点F。
(1)如图1,当点F恰好落在边AD上时,求证:四边形ABEF是菱形。
(2)如图2,当点F恰好落在ED上,且$\frac{BE}{EC}=m$时,求$\frac{DF}{FE}$的值。
(3)如图3,当$∠ ABC=45°,AB=2\sqrt{2},BC=4$时,连结BD,下列三个问题,难度依次为易、中、难,对应的满分值分别为2分、3分、4分,根据你的认知水平,选择其中一个问题求解。
①当$AF⊥ BC$时,求BE的长。
②当$EF// BD$时,求BE的长。
③当点F恰好落在BD上时,求BE的长。

24.(1)由折叠得,$AB=AF$,$BE=EF$,$∠BAE=∠FAE$。因为四边形$ABCD$是平行四边形,所以$AD//BC$。所以$∠FAE=∠BEA$。所以$∠BAE=∠BEA$。所以$BA=BE$。所以$AB=AF=BE=EF$。所以四边形$ABEF$是菱形。
(2)因为四边形$ABCD$是平行四边形,所以$∠B+∠C=180°$,$AB=CD$,$AD//BC$。所以$∠ADF=∠CED$。由折叠得,$AB=AF$,$∠B=∠AFE$,$BE=EF$。所以$AB=AF=CD$。因为$∠AFE+∠AFD=180°$,所以$∠AFD=∠C$。
所以$△ADF≌△DEC(AAS)$。所以$EC=DF$。所以$\frac{DF}{EF}=\frac{EC}{BE}$。因为$\frac{BE}{EC}=m$,所以$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{m}$。
(3)①如图1,设$AF$与$BC$交于点$N$。因为$∠ABC=45°$,$AB=2\sqrt{2}$,$AF⊥BC$,所以$AN=BN=2$。由折叠得,$AB=AF=2\sqrt{2}$,$∠ABC=∠F=45°$。所以$EN=NF=2\sqrt{2}-2$。所以$BE=2-(2\sqrt{2}-2)=4-2\sqrt{2}$。
②如图2,延长$EF$交$AD$的延长线于点$G$,过点$G$作$GH⊥BC$交$BC$的延长线于点$H$,过点$D$作$DK⊥BH$于点$K$。因为$BE//AD$,$EF//BD$,所以四边形$BEGD$为平行四边形。所以$BE=DG$,$BD=GE$。设$BE=DG=x$。因为$DK⊥BH$,$GH⊥BC$,$AD//BC$,所以四边形$DKHG$为矩形。所以$HK=DG=x$,$GH=DK$。由①知,$DK=GH=2$,$CK=2$。所以$EH=EC+CK+KH=4-x+2+x=6$。在$Rt△EHG$中,$GE=\sqrt{GH^2+EH^2}=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}=BD$。由折叠得$∠AEB=∠AEG$。因为四边形$ABCD$是平行四边形,所以$AD//BC$。所以$∠DAE=∠AEB$。所以$∠AEG=∠DAE$。所以$GE=AG=2\sqrt{10}$。所以$BE=DG=AG-AD=2\sqrt{10}-4$。
③如图3,设$AE$与$BD$交于点$O$,过点$B$作$BM⊥$直线$AD$于点$M$,过点$A$作$AN⊥BC$于点$N$,过点$F$作$FP⊥AD$于点$P$,延长$PF$交$BC$的延长线于点$Q$。因为$AD//BC$,所以$∠MBN=∠M=90°=∠ANB=∠APQ$。所以四边形$ANBM$是矩形,四边形$APQN$是矩形。所以$AM=BN=2$,$AN=BM=2=PQ$。由折叠得,$AE⊥BF$,$BO=OF$,$BE=EF$。因为$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AD·BM=\frac{1}{2}BD·AO$,所以$4×2=2\sqrt{10}AO$。所以$AO=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。所以$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$。所以$BF=\frac{8\sqrt{10}}{5}$。所以$DF=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。因为$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AD·BM=\frac{1}{2}BF·AO+\frac{1}{2}AD·PF$,所以$8=\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{10}}{5}×\frac{2\sqrt{10}}{5}+4PF$。所以$PF=\frac{2}{5}$。所以$FQ=\frac{8}{5}$。所以$BQ=\sqrt{BF^2-FQ^2}=\sqrt{\frac{640}{25}-\frac{64}{25}}=\frac{24}{5}$。因为$EF^2=EQ^2+FQ^2$,所以$BE^2=(\frac{24}{5}-BE)^2+\frac{64}{25}$。所以$BE=\frac{8}{3}$。

【分析】
本题是平行四边形与折叠的综合题，解题思路如下：
(1) 要证明四边形ABEF是菱形，先利用折叠性质得到对应边相等，再结合平行四边形对边平行的性质，推导出角相等，进而得到四边相等，完成菱形的判定；
(2) 求$\frac{DF}{FE}$的值，利用平行四边形的角关系和折叠性质，证明三角形全等得到线段相等，再结合已知的$\frac{BE}{EC}=m$，转化得到所求比值；
(3) 选择问题①，结合AF⊥BC和∠ABC=45°的条件，先算出等腰直角三角形ABN的边长，再利用折叠的边相等关系，计算出EN的长度，最终得到BE的长。
【解析】
(1) 由折叠的性质得：$AB=AF$，$BE=EF$，$∠ BAE=∠ FAE$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ FAE=∠ BEA$。
∴$∠ BAE=∠ BEA$，
∴$BA=BE$。
∴$AB=AF=BE=EF$，
∴四边形$ABEF$是菱形。
(2)
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$∠ B+∠ C=180°$，$AB=CD$，$AD// BC$，
∴$∠ ADF=∠ CED$。
由折叠得：$AB=AF$，$∠ B=∠ AFE$，$BE=EF$，
∴$AF=CD$。
∵$∠ AFE+∠ AFD=180°$，
∴$∠ AFD=∠ C$。
在$△ ADF$和$△ DEC$中，
$\begin{cases}∠ ADF=∠ DEC\\∠ AFD=∠ C\\AF=CD\end{cases}$
∴$△ ADF≌△ DEC(AAS)$，
∴$EC=DF$。
∵$\frac{BE}{EC}=m$，
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{EC}{BE}=\frac{1}{m}$。
(3) 选①：
设$AF$与$BC$交于点$N$。
∵$AF⊥ BC$，$∠ ABC=45°$，$AB=2\sqrt{2}$，
∴$△ ABN$是等腰直角三角形，$AN=BN=AB·\sin45°=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2$。
由折叠得：$AB=AF=2\sqrt{2}$，$∠ ABC=∠ F=45°$，
∴$EN=NF=AF - AN=2\sqrt{2}-2$。
∴$BE=BN - EN=2-(2\sqrt{2}-2)=4-2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 四边形$ABEF$是菱形；
(2) $\frac{DF}{FE}=\frac{1}{m}$；
(3) 选①时，$BE$的长为$4-2\sqrt{2}$；

【知识点】
平行四边形的性质、菱形的判定、折叠的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形、全等三角形及折叠的性质，需熟练运用平行四边形的边角关系和折叠前后对应边、角相等的性质解题，难度适中，适合中等水平学生作答。
【难度系数】
0.5