1. 如图,边长为 $ a $ 的等边$ △ ABC $中, $ BF $ 是 $ AC $ 上的中线且 $ BF = b $,点 $ D $ 在 $ BF $ 上,连接 $ AD $,在 $ AD $ 的右侧作等边$ △ ADE $,连接 $ EF $,则$ △ AEF $周长的最小值是 $\quad (\quad)$


A.$ \frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b $
B.$ \frac{1}{2}a + b $
C.$ a + \frac{1}{2}b $
D.$ \frac{3}{2}a $

1. B 解析: 如图,
∵ △ABC, △ADE 都是等边三角形,
∴ AB=AC = a, AD = AE, ∠BAC = ∠DAE = ∠ABC = 60°,
∴ ∠BAD= ∠CAE,
∴ △BAD ≅ △CAE ( SAS ),
∴ ∠ABD = ∠ACE.
∵ AF = CF = $\frac{1}{2}a$, BF = b,
∴ ∠ABD= ∠CBD = ∠ACE = 30°,
BF⊥AC,
∴ 点 E 在射线 CE 上运动
(∠ACE=30°),作点 A 关于直线 CE
的对称点 M,连接 FM 交 CE 于 E',
此时 AE'+FE'的值最小,
∵ CA=CM, ∠ACM=60°,
∴ △ACM 是
等边三角形,
∴ AM=AC.
∵ BF⊥AC,
∴ FM=BF=b,
∴ △AEF周
长的最小值=AF+FE'+AE'=AF+FM=$\frac{1}{2}a +b$。

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=30°$,$∠ ACB=90°$,$BC=a$,$△ ABC$的周长为$3a+2b$,$D$是$AB$上的动点,将线段$CD$绕点$C$逆时针旋转$90°$,得到线段$CE$,连接$BE$,求$BE$的最小值.

$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P59 专题42

2. 如图,过点 C 作 CK⊥AB 于点 K,将线段 CK 绕点 C 逆时针
旋转 90°得到 CH,连接 HE,延长 HE 交 AB 的延长线于点 J.
∵ ∠DCE= ∠KCH=90°,
∴ ∠DCK= ∠ECH.
∵ CD = CE, CK =
CH,
∴ △CKD≅△CHE(SAS),
∴ ∠CKD= ∠H=90°,
∴ 点 E 在
直线 HJ 上运动,当点 E 与点 J 重合时,BE 的值最小.
∵ ∠CKJ= ∠KCH= ∠H=90°,
∴ KJ=CH.
∵ BC = a, ∠A = 30°,
∴ AB=2a.
∵ △ABC 的周长为 3a+2b,
∴ AC=2b,
∴ CK=b,BK=
$\frac{1}{2}a$,
∴ BJ=$b-\frac{1}{2}a$,
∴ BE 的最小值为 $b-\frac{1}{2}a$。