1. 如图,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC,BD=2,点E为BD上的动点,连接AE,则$AE+\dfrac{1}{2}BE$的最小值为.

1. 2

2. 如图,已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ BAC=30°$,$AC=4$,延长$BC$至$D$使$CD=BC$,连接$AD$,点$P$为线段$AC$上一动点,连接$BP$,则$2BP+AP$的最小值为$\underline{\hspace{2em}}$.

2. 8

3. 如图,已知平行四边形ABCD的面积为16,∠A=30°,CD=2BC,点P为边CD上的一个动点,求2PB+PD的最小值.

3. 如图,作$CG⊥AB$交AB的延长线于G,作$BF⊥AD$交AD的延长线于F,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $BC// AD$,
∴ $∠CBG=∠A=30°$.设$CG=x$,
∴ $BC=2x$.
∵ $AB=CD=2BC$,
∴ $AB=4x$.
∵ 平行四边形ABCD的面积为16,
∴ $AB·CG=16$,
∴ $4x·x=16$,
∴ $x=2$,
∴ $AB=8$.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,$∠A=30°$,
∴ $CD// AB$,
∴ $∠CDF=∠A=30°$,
∴ $PF=\frac{1}{2}PD$,
∴ $PB+\frac{1}{2}PD=PB+PF=BF$.在$Rt△ABF$中,$∠A=30°$,
∴ $BF=\frac{1}{2}AB=4$,
∴ $PB+\frac{1}{2}PD$的最小值是4.
∵ $2PB+PD=2(PB+\frac{1}{2}PD)$,
∴ $2PB+PD$的最小值是8.