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8. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻. 互换其中一只，恰好一样重. 问每只雀、燕的重量各为多少.”设雀每只$ x $两，燕每只$ y $两，则可列出方程组为(
A.$\begin{cases} 5x + 6y = 16, \\ 5x + y = 6y + x \end{cases}$
B.$\begin{cases} 5x + 6y = 16, \\ 4x + y = 5y + x \end{cases}$
C.$\begin{cases} 6x + 5y = 16, \\ 6x + y = 5y + x \end{cases}$
D.$\begin{cases} 6x + 5y = 16, \\ 5x + y = 4y + x \end{cases}$
B
).A.$\begin{cases} 5x + 6y = 16, \\ 5x + y = 6y + x \end{cases}$
B.$\begin{cases} 5x + 6y = 16, \\ 4x + y = 5y + x \end{cases}$
C.$\begin{cases} 6x + 5y = 16, \\ 6x + y = 5y + x \end{cases}$
D.$\begin{cases} 6x + 5y = 16, \\ 5x + y = 4y + x \end{cases}$
答案
8. B 【点拨】本题考查二元一次方程组的应用,找准等量关系,列出二元一次方程组是解题的关键.
【解析】依题意,得$\begin{cases} 5x + 6y = 16, \\ 4x + y = 5y + x \end{cases}$. 故选 B.
【解析】依题意,得$\begin{cases} 5x + 6y = 16, \\ 4x + y = 5y + x \end{cases}$. 故选 B.
9. 若不等式组$\begin{cases}2x - 2a ＞ 0, \\4 - x ≥ 0\end{cases}$无解，则$a$的取值范围为( ).
A.$a ＞ 4$
B.$a ≤ 4$
C.$0 ＜ a ＜ 4$
D.$a ≥ 4$
A.$a ＞ 4$
B.$a ≤ 4$
C.$0 ＜ a ＜ 4$
D.$a ≥ 4$
答案
9. D 【点拨】本题考查解一元一次不等式组,掌握不等式组的解法是解题的关键.
【解析】$\begin{cases} 2x - 2a ＞ 0①, \\ 4 - x ≥ 0②, \end{cases}$解不等式①,得 $x ＞ a$,解不等式②,得 $x ≤ 4$.
$\because$ 不等式组无解,$\therefore a ≥ 4$. 故选 D.
【解析】$\begin{cases} 2x - 2a ＞ 0①, \\ 4 - x ≥ 0②, \end{cases}$解不等式①,得 $x ＞ a$,解不等式②,得 $x ≤ 4$.
$\because$ 不等式组无解,$\therefore a ≥ 4$. 故选 D.
10. 下列说法不正确的是(
A.若$ x + y = 0 $，则点$ P(x,y) $一定在第二、四象限的角平分线上
B.若点$ P(x,y) $的坐标满足$ xy = 0 $，则点$ P $在$ x $轴上
C.已知点$ P(2,3) $，$ Q(-5,3) $，则$ PQ // x $轴
D.点$ A(-a^2 -1, |b| +1) $一定在第二象限
B
).A.若$ x + y = 0 $，则点$ P(x,y) $一定在第二、四象限的角平分线上
B.若点$ P(x,y) $的坐标满足$ xy = 0 $，则点$ P $在$ x $轴上
C.已知点$ P(2,3) $，$ Q(-5,3) $，则$ PQ // x $轴
D.点$ A(-a^2 -1, |b| +1) $一定在第二象限
答案
10. B 【点拨】本题考查各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键.
【解析】A.若 $x + y = 0$,则 $x$ 与 $y$ 互为相反数,点 $P(x,y)$ 一定在第二、四象限的角平分线上,原说法正确,不符合题意;B.若点 $P(x,y)$ 的坐标满足 $xy = 0$,则点 $P$ 在 $x$ 轴或 $y$ 轴上,原说法不正确,符合题意;C.$\because$ 点 $P,Q$ 的纵坐标相等,$\therefore PQ// x$ 轴,原说法正确,不符合题意;D.$\because -a^2 -1 ＜ 0$,$|b| + 1 ＞ 0$,$\therefore$ 点 $A( -a^2 -1 , |b| + 1 )$ 一定在第二象限,原说法正确,不符合题意. 故选 B.
【解析】A.若 $x + y = 0$,则 $x$ 与 $y$ 互为相反数,点 $P(x,y)$ 一定在第二、四象限的角平分线上,原说法正确,不符合题意;B.若点 $P(x,y)$ 的坐标满足 $xy = 0$,则点 $P$ 在 $x$ 轴或 $y$ 轴上,原说法不正确,符合题意;C.$\because$ 点 $P,Q$ 的纵坐标相等,$\therefore PQ// x$ 轴,原说法正确,不符合题意;D.$\because -a^2 -1 ＜ 0$,$|b| + 1 ＞ 0$,$\therefore$ 点 $A( -a^2 -1 , |b| + 1 )$ 一定在第二象限,原说法正确,不符合题意. 故选 B.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11. 若$ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $,则$ \frac{1}{a} $的值为________.
11. 若$ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $,则$ \frac{1}{a} $的值为________.
答案
11. $\sqrt{2}$ 【点拨】本题考查求一个数的倒数及分母有理化,掌握分母有理化是解题的关键.
【解析】$\because a = \frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore \frac{1}{a} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. 故答案为$\sqrt{2}$.
【解析】$\because a = \frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore \frac{1}{a} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. 故答案为$\sqrt{2}$.
12. 已知$ a + 2b - 5c = 0 $，且$ a = 1 $，则用含有$ b $的式子来表示$ c $为________.
答案
12. $c=\frac{1+2b}{5}$ 【点拨】本题考查等式的性质,掌握等式的性质是解题的关键.
【解析】$\because a + 2b - 5c = 0$,$a = 1$,$\therefore 1 + 2b - 5c = 0$,$\therefore 5c = 1 + 2b$,$\therefore c = \frac{1 + 2b}{5}$. 故答案为 $c = \frac{1 + 2b}{5}$.
【解析】$\because a + 2b - 5c = 0$,$a = 1$,$\therefore 1 + 2b - 5c = 0$,$\therefore 5c = 1 + 2b$,$\therefore c = \frac{1 + 2b}{5}$. 故答案为 $c = \frac{1 + 2b}{5}$.
13. 已知$m^2=4,|n|=1$,若点$A(m,n)$在第一象限,则$m+n$的值为
3
.答案
13. 3 【点拨】本题考查平方根的定义,绝对值的性质,象限内点的坐标特征及代数式求值,掌握第一象限内点的符号为$( + , + )$是解题的关键.
【解析】$\because m^2 = 4$,$|n| = 1$,$\therefore m = \pm 2$,$n = \pm 1$.$\because$ 点 $A(m,n)$ 在第一象限,$\therefore m ＞ 0$,$n ＞ 0$,$\therefore m = 2$,$n = 1$,$\therefore m + n = 2 + 1 = 3$. 故答案为 3.
【解析】$\because m^2 = 4$,$|n| = 1$,$\therefore m = \pm 2$,$n = \pm 1$.$\because$ 点 $A(m,n)$ 在第一象限,$\therefore m ＞ 0$,$n ＞ 0$,$\therefore m = 2$,$n = 1$,$\therefore m + n = 2 + 1 = 3$. 故答案为 3.
14. 某商品的进价为120元，标价为200元，国庆准备打折促销，要保持利润率不低于25%，则该商品最多打
七五
折.答案
14. 七五 【点拨】本题考查一元一次不等式的应用,根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式是解题的关键.
【解析】设该商品打 $x$ 折. 依题意,得 $200 × \frac{x}{10} - 120 ≥ 120 × 25\%$,解得 $x ≥ 7.5$.$\therefore x$ 的最小值为 7.5.$\therefore$ 该商品最多打七五折. 故答案为七五.
【解析】设该商品打 $x$ 折. 依题意,得 $200 × \frac{x}{10} - 120 ≥ 120 × 25\%$,解得 $x ≥ 7.5$.$\therefore x$ 的最小值为 7.5.$\therefore$ 该商品最多打七五折. 故答案为七五.
15. 已知不等式组$\begin{cases} x+a＞1, \\ 2x+b＜2 \end{cases}$的解集为$-2 ＜ x ＜ 3$，则$(a+b)^{2026}$的值为________.
答案
15. 1 【点拨】本题考查解不等式组及代数式求值,根据不等式的解集确定 $a,b$ 的值是解题的关键.
【解析】$\begin{cases} x + a ＞ 1①, \\ 2x + b ＜ 2②, \end{cases}$解不等式①,得 $x ＞ 1 - a$,解不等式②,得 $x ＜ \frac{2 - b}{2}$.$\because$ 该不等式组的解集为 $-2 ＜ x ＜ 3$,$\therefore 1 - a = -2$,$\frac{2 - b}{2} = 3$,$\therefore a = 3$,$b = -4$,$\therefore (a + b)^{2026} = (3 - 4)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$. 故答案为 1.
【解析】$\begin{cases} x + a ＞ 1①, \\ 2x + b ＜ 2②, \end{cases}$解不等式①,得 $x ＞ 1 - a$,解不等式②,得 $x ＜ \frac{2 - b}{2}$.$\because$ 该不等式组的解集为 $-2 ＜ x ＜ 3$,$\therefore 1 - a = -2$,$\frac{2 - b}{2} = 3$,$\therefore a = 3$,$b = -4$,$\therefore (a + b)^{2026} = (3 - 4)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$. 故答案为 1.
16. 一个魔方静止在斜面上,其受力分析如图所示,重力$ G $的方向竖直向下,支持力$ F $的方向与斜面垂直,摩擦力$ f $的方向与斜面平行.若斜面的坡角$ α $的度数为$ 40° $,则支持力$ F $与重力$ G $的夹角$ β $的度数为________.
答案
16. $140°$ 【点拨】本题考查平行线的性质,掌握平行线的性质是解题的关键.
【解析】如图,$\because$ 重力 $G$ 的方向竖直向下,$α = 40°$,$\therefore ∠ 1 = 90° - α = 50°$.$\because$ 摩擦力 $f$ 的方向与斜面平行,$\therefore ∠ 2 = ∠ 1 = 50°$.$\because$ 支持力 $F$ 的方向与斜面垂直,$\therefore β = 50° + 90° = 140°$. 故答案为 $140°$.
三、解答题(本大题共5小题,共52分.解答应写出过程)
$7x + 6y = 33$①
$7x + 6y = 33$①
答案
解：
由$7x + 6y = 33$，得 $x = \frac{33 - 6y}{7}$
因为x、y均为正整数，所以$33 - 6y$是大于0的7的正整数倍，即：
$33 - 6y ＞ 0$
解得 $y ＜ 5.5$
则y的可能正整数值为1,2,3,4,5：
当$y=1$时，$x=\frac{27}{7}$，不是整数，舍去；
当$y=2$时，$x=\frac{21}{7}=3$，符合要求；
当$y=3$时，$x=\frac{15}{7}$，不是整数，舍去；
当$y=4$时，$x=\frac{9}{7}$，不是整数，舍去；
当$y=5$时，$x=\frac{3}{7}$，不是整数，舍去。
所以该二元一次方程的正整数解为 $\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
由$7x + 6y = 33$，得 $x = \frac{33 - 6y}{7}$
因为x、y均为正整数，所以$33 - 6y$是大于0的7的正整数倍，即：
$33 - 6y ＞ 0$
解得 $y ＜ 5.5$
则y的可能正整数值为1,2,3,4,5：
当$y=1$时，$x=\frac{27}{7}$，不是整数，舍去；
当$y=2$时，$x=\frac{21}{7}=3$，符合要求；
当$y=3$时，$x=\frac{15}{7}$，不是整数，舍去；
当$y=4$时，$x=\frac{9}{7}$，不是整数，舍去；
当$y=5$时，$x=\frac{3}{7}$，不是整数，舍去。
所以该二元一次方程的正整数解为 $\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$
17. (10 分)(1)计算：$|-2\sqrt{2}| + (-1)^{2024} - (-\sqrt{2})^2 + \sqrt[3]{27}$；
(2)解方程组：$\begin{cases}7x + 6y = 23①, \\3x - 2y = 3②.\end{cases}$
(2)解方程组：$\begin{cases}7x + 6y = 23①, \\3x - 2y = 3②.\end{cases}$
答案
17. 【点拨】本题考查实数的混合运算及二元一次方程组的解法,掌握绝对值的性质,乘方的定义,立方根的定义,加减消元法及代入消元法是解题的关键.
【解析】(1) $|-2\sqrt{2}| + (-1)^{2024} - (-\sqrt{2})^2 + \sqrt[3]{27}$
$=2\sqrt{2} + 1 - 2 + 3$
$=2\sqrt{2} + 2$.
(2) $\begin{cases}7x + 6y = 23①, \\3x - 2y = 3②,\end{cases}$
① + ②$× 3$,得 $16x = 32$,解得 $x = 2$.
将 $x = 2$ 代入②,得 $6 - 2y = 3$,解得 $y = 1.5$,
$\therefore$ 方程组的解为 $\begin{cases} x=2, \\ y=1.5. \end{cases}$
【解析】(1) $|-2\sqrt{2}| + (-1)^{2024} - (-\sqrt{2})^2 + \sqrt[3]{27}$
$=2\sqrt{2} + 1 - 2 + 3$
$=2\sqrt{2} + 2$.
(2) $\begin{cases}7x + 6y = 23①, \\3x - 2y = 3②,\end{cases}$
① + ②$× 3$,得 $16x = 32$,解得 $x = 2$.
将 $x = 2$ 代入②,得 $6 - 2y = 3$,解得 $y = 1.5$,
$\therefore$ 方程组的解为 $\begin{cases} x=2, \\ y=1.5. \end{cases}$
