9. 如图,在$△ ADE$和$△ ABC$中,$∠ E = ∠ C$,$DE = BC$,$EA=CA$,过$A$作$AF ⊥ DE$,垂足为$F$,$DE$交$CB$的延长线于点$G$,连接$AG$.四边形$DGBA$的面积为$12$,$AF = 4$,则$FG$的长是.

9. 3 解析:过点 A 作$AH⊥ BC$于 H,如图所示,在$△ ABC$与$△ ADE$中,$\begin{cases} BC=DE,\\ ∠ C=∠ E,\\ CA=EA,\\ \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ ADE(\mathrm{SAS})$,$\therefore AD=AB$,$S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$. 又$\because AF⊥ DE$,$\therefore \dfrac{1}{2}× DE× AF=\dfrac{1}{2}× BC× AH$,$\therefore AF=AH$. 又$\because AF⊥ DE$,$AH⊥ BC$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AFG$和$\mathrm{Rt}△ AHG$中,$\begin{cases} AG=AG,\\ AF=AH,\\ \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AFG≌ \mathrm{Rt}△ AHG(\mathrm{HL})$. 同理,$\mathrm{Rt}△ ADF≌ \mathrm{Rt}△ ABH(\mathrm{HL})$,$\therefore S_{\mathrm{四边形}DGBA}=S_{\mathrm{四边形}AFGH}=12$.
$\because \mathrm{Rt}△ AFG≌ \mathrm{Rt}△ AHG$,$\therefore \mathrm{Rt}△ AFG$的面积为 6.$\because AF=4$,$\therefore \dfrac{1}{2}× FG× 4=6$,解得$FG=3$.

10. 新趋势 尺规作图 求证:一条直角边相等且这条边相邻锐角的平分线也相等的两个直角三角形全等.
要求: 根据给出的 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ A'B'C'$($∠ C=∠ C'=90°,AC=A'C'$), 在此图形上用尺规作出 $∠ CAB$ 和 $∠ C'A'B'$ 的平分线, 不写作法,保留作图痕迹,并据此写出已知、求证和证明过程.

10. 如图,$AD$,$A'D'$即为所求作.
已知:如图,$∠ C=∠ C'=90°$,$AC=A'C'$,$AD$平分$∠ BAC$,$A'D'$平分$∠ B'A'C'$,$AD=A'D'$,求证:$△ ABC≌ △ A'B'C'$.
证明:在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ A'C'D'$中,$\begin{cases} AC=A'C',\\ AD=A'D',\\ \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD≌ \mathrm{Rt}△ A'C'D'(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠ CAD=∠ C'A'D'$.$\because AD$平分$∠ BAC$,$A'D'$平分$∠ B'A'C'$,$\therefore ∠ CAB=2∠ CAD$,$∠ C'A'B'=2∠ C'A'D'$,$\therefore ∠ CAB=∠ C'A'B'$. 在$△ ABC$与$△ A'B'C'$中,$\begin{cases} ∠ CAB=∠ C'A'B',\\ AC=A'C',\\ ∠ C=∠ C',\\ \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ A'B'C'(\mathrm{ASA})$.

11.(南京中考)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示:在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AC=DF$,$BC=EF$,$∠ B=∠ E$,然后对$∠ B$进行分类,可分为“$∠ B$是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况:当$∠ B$是直角时,$△ ABC ≌ △ DEF$.
(1)如图①,在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AC=DF$,$BC=EF$,$∠ B=∠ E=90°$,根据,可以知道$\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DEF$.

第二种情况:当$∠ B$是钝角时,$△ ABC ≌ △ DEF$.
(2)如图②,在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AC=DF$,$BC=EF$,$∠ B=∠ E$,且$∠ B$,$∠ E$都是钝角,求证:$△ ABC ≌ △ DEF$.
第三种情况:当$∠ B$是锐角时,$△ ABC$和$△ DEF$不一定全等.
(3)在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AC=DF$,$BC=EF$,$∠ B=∠ E$,且$∠ B$,$∠ E$都是锐角,请你用尺规在图③中作出$△ DEF$,使$△ DEF$和$△ ABC$不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4)$∠ B$还要满足什么条件,就可以使$△ ABC ≌ △ DEF$?请直接写出结论:在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AC=DF$,$BC=EF$,$∠ B=∠ E$,且$∠ B$,$∠ E$都是锐角,若,则$△ ABC ≌ △ DEF$.

11. (1)HL 解析:$\because ∠ B=∠ E=90°$,$\therefore △ ABC$和$△ DEF$是直角三角形. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中,$\begin{cases} AC=DF,\\ BC=EF,\\ \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$.
(2)如图①,过点 C 作$CG⊥ AB$交 AB 的延长线于点 G,过点 F 作$FH⊥ DE$交 DE 的延长线于点 H,$\because ∠ ABC=∠ DEF$,$\therefore 180°-∠ ABC=180°-∠ DEF$,即$∠ CBG=∠ FEH$.
在$△ CBG$和$△ FEH$中,$\begin{cases} ∠ G=∠ H=90°,\\ ∠ CBG=∠ FEH,\\ BC=EF,\\ \end{cases}$
$\therefore △ CBG≌ △ FEH(\mathrm{AAS})$,$\therefore CG=FH$. 在$\mathrm{Rt}△ ACG$和$\mathrm{Rt}△ DFH$中,$\begin{cases} AC=DF,\\ CG=FH,\\ \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACG≌ \mathrm{Rt}△ DFH(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠ A=∠ D$.
在$△ ABC$和$△ DEF$中,$\begin{cases} ∠ ABC=∠ DEF,\\ ∠ A=∠ D,\\ AC=DF,\\ \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ DEF(\mathrm{AAS})$.


(3)如图②所示.
(4)$∠ B≥ ∠ A$或$∠ B+∠ C=90°$ 解析:由图②可知,$∠ A=∠ CDA=∠ B+∠ BCD$,$\therefore ∠ A＞∠ B$,$\therefore$ 当$∠ B≥ ∠ A$时,$△ ABC$就唯一确定了,则$△ ABC≌ △ DEF$. 当$∠ B+∠ BCA=90°$,$∠ E+∠ EFD=90°$,即$∠ A=∠ D=90°$时,在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中,$\begin{cases} AC=DF,\\ BC=EF,\\ \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$,故答案为$∠ B≥ ∠ A$或$∠ B+∠ C=90°$.