1. (2026·无锡校级月考)在课堂上,李老师发给每人一张印有 $\mathrm{Rt}△ ABC$(如图①)的卡片,然后要求同学们画一个 $\mathrm{Rt}△ A'B'C'$,使得$\mathrm{Rt}△ A'B'C' ≌ \mathrm{Rt}△ ABC$. 小宏同学先画出了$∠ MB'N=90°$,后续画图的主要过程如图②所示.这种画图方法的依据是（）


A.SAS
B.AAS
C.ASA
D.HL

1. D 解析:由题图②知,小宏第一步为截取线段$B'C'=BC$,第二步为作线段$C'A'=CA$,在$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$与$\mathrm{Rt}△ ABC$中
$\begin{cases} B'C'=BC,\\ C'A'=CA,\\ \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ A'B'C'≌ \mathrm{Rt}△ ABC(\mathrm{HL})$,故选 D.

2.(2026·信阳期中)下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.一组锐角和斜边分别对应相等
B.两个锐角分别对应相等
C.两组直角边分别对应相等
D.斜边和一组直角边分别对应相等

2. B 解析:A. 若一组锐角和斜边分别对应相等,可证这两个直角三角形全等,故选项 A 不符合题意;B. 若两个锐角分别对应相等,不能证明这两个直角三角形全等,故选项 B 符合题意;C. 若两组直角边分别对应相等,可证这两个直角三角形全等,故选项 C 不符合题意;D. 若斜边和一组直角边分别对应相等,可证这两个直角三角形全等,故选项 D 不符合题意;故选 B.
归纳总结 判定两个三角形全等的一般方法有 SAS,ASA,AAS,SSS,HL,需要注意的是 AAA 和 SSA 不能判定两个三角形全等.

3. 如图,已知 $AC ⊥ BD$ 于点 $P,AP=CP$,请增加一个条件,使$△ ABP ≌ △ CDP$(不能添加辅助线).
(1)以"SAS"为依据,可添加条件;
(2)以"HL"为依据,可添加条件;
(3)以"ASA"为依据,可添加条件;
(4)以"AAS"为依据,可添加条件.

3. (1)$BP=DP$ (2)$AB=CD$ (3)$∠ A=∠ C$ (4)$∠ B=∠ D$ (部分答案不唯一) 解析:$\because AC⊥ BD,\therefore ∠ APB=∠ CPD=90°$,由$AP=CP$,$∠ APB=∠ CPD$,增加一个条件,使$△ ABP≌ △ CDP$:(1)以"SAS"为依据,则可添加条件$PB=PD$;(2)以"HL"为依据,则可添加条件$AB=CD$;(3)以"ASA"为依据,则可添加条件$∠ A=∠ C$;(4)以"AAS"为依据,则可添加条件$∠ B=∠ D$.

4. (2026·安庆校级月考) 如图，$MN // PQ$，$AB ⊥ PQ$，点$A,D$在直线$MN$上，点$B,C$在直线$PQ$上，点$E$在$AB$上. 若$AD=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$AD=EB$，$DE=EC$，则$AB$的长为$\mathrm{cm}$.

4. 7 解析:$\because MN// PQ$,$AB⊥ PQ$,$\therefore AB⊥ MN$,$\therefore ∠ DAE=∠ EBC=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ BEC$中,$\begin{cases} AD=BE,\\ DE=EC,\\ \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌ \mathrm{Rt}△ BEC(\mathrm{HL})$,$\therefore AD=BE=4\ \mathrm{cm}$,$AE=BC=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore AB=AE+BE=7\ \mathrm{cm}$.

5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$D$在$AB$上,满足$BC=BD$,过点$D$作$DE ⊥ AB$交$AC$于点$E$,若$△ ABC$的周长为36,$△ ADE$的周长为12,则$BC=$.

5. 12 解析:如图所示,连接 BE,在$\mathrm{Rt}△ BCE$和$\mathrm{Rt}△ BDE$中,
$\begin{cases} BE=BE,\\ BC=BD,\\ \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCE≌ \mathrm{Rt}△ BDE(\mathrm{HL})$,$\therefore DE=CE$.
$\because △ ABC$的周长为 36,$\therefore BC+AB+AC=36$,$\therefore BC+BD+AD+AE+CE=36$.$\because BC=BD$,$\therefore 2BC+AD+AE+CE=36$.
$\because △ ADE$的周长为 12,$\therefore AD+AE+DE=12$,$\therefore AD+AE+CE=12$,$\therefore 2BC+12=36$,$\therefore BC=12$.

6. 如图,已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CA=CB$,
$D$是$AC$上一点,$E$在$BC$的延长线上,且$AE=$$BD$,$BD$的延长线与$AE$交于点$F$.试通过观察、测量、猜想等方法来探索$BF$与$AE$有何特殊的位置关系,并说明你猜想的正确性.

6. 猜想:$BF⊥ AE$. 理由:$\because ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ ACE=∠ BCD=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ BDC$和$\mathrm{Rt}△ AEC$中,$\begin{cases} BC=AC,\\ BD=AE,\\ \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDC≌ \mathrm{Rt}△ AEC(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠ CBD=∠ CAE$. 又$\because ∠ CAE+∠ E=90°$,$\therefore ∠ EBF+∠ E=90°$,$\therefore ∠ BFE=90°$,$\therefore BF⊥ AE$.

7. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$∠ B=50^{ \circ }$,D,F分别是BC,AC上的点,$DE ⊥ AB$,垂足为E,$CF=BE$,$DF=DB$,则$∠ ADE$的度数为 （）


A.$40^{ \circ }$
B.$50^{ \circ }$
C.$70^{ \circ }$
D.$71^{ \circ }$

7. C 解析:根据题意,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ CAB=90°-∠ B=40°$.
在$\mathrm{Rt}△ CDF$和$\mathrm{Rt}△ EDB$中,$\begin{cases} FC=BE,\\ DF=DB,\\ \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDF≌ \mathrm{Rt}△ EDB(\mathrm{HL})$,$\therefore CD=DE$. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中,
$\begin{cases} CD=ED,\\ AD=AD,\\ \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD≌ \mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠ CAD=∠ EAD=\dfrac{1}{2}∠ CAB=20°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$∠ ADE=90°-∠ EAD=70°$,故选 C.

8. 在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AB=DE,AC=DF,∠ C=$$50°,AM,DN$ 分别为 $BC,EF$ 边上的高,且$AM=DN$,则$∠ F$的度数为.

8. $50°$或$130°$ 解析:如图①所示,$\because AM$,$DN$分别为$BC$,$EF$边上的高,$\therefore △ ACM$和$△ DFN$均为直角三角形.$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ACM$和$\mathrm{Rt}△ DFN$中,$\begin{cases} AC=DF,\\ AM=DN,\\ \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACM≌ \mathrm{Rt}△ DFN(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠ DFE=∠ ACB=50°$. 如图②所示,$\because AM$,$DN$分别为$BC$,$EF$边上的高,$\therefore △ ACM$和$△ DFN$均为直角三角形.$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ACM$和$\mathrm{Rt}△ DFN$中,$\begin{cases} AC=DF,\\ AM=DN,\\ \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACM≌ \mathrm{Rt}△ DFN(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠ DFN=∠ ACB=50°$.$\therefore ∠ DFE=130°$. 综上,$∠ F$的度数为$50°$或$130°$.