1. 一次函数的图象经过点$A(-2,-1)$,且与直线
$y=2x-3$平行,则此函数的表达式为 （）

A.$y=x+1$
B.$y=2x+3$
C.$y=2x-1$
D.$y=-2x-5$

1. B 解析:设所求的一次函数表达式为 $y=kx+b,\because$ 直线$y=kx+b$ 与直线 $y=2x-3$ 平行, $\therefore k=2$, 把 $A(-2,-1)$ 代入$y=2x+b$ 得 $-4+b=-1$, 解得 $b=3$, $\therefore$ 所求的一次函数表达式为 $y=2x+3$. 故选 B.

2. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $l_1:y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+1$与直线 $l_2:y=\sqrt{3}x$ 交于点 $A_1$,过点 $A_1$ 作 $x$ 轴的垂线,垂足为 $B_1$,过点 $B_1$ 作 $l_2$ 的平行线交 $l_1$ 于点 $A_2$,过点 $A_2$ 作 $x$ 轴的垂线,垂足为 $B_2$,过点 $B_2$ 作 $l_2$ 的平行线交 $l_1$ 于点 $A_3$,过点 $A_3$ 作$x$ 轴的垂线,垂足为 $B_3······$ 按此规律,点 $A_n$ 的纵坐标为（）


A.$(\dfrac{3}{2})^n$
B.$(\dfrac{1}{2})^n+1$
C.$(\dfrac{3}{2})^{n-1}+\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{3^n-1}{2}$

2. A 解析: 联立直线 $l_1$ 与直线 $l_2$ 的表达式可解得 $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2},y=$$\dfrac{3}{2}$, 故点 $A_1(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{3}{2})$, 则点 $B_1(\dfrac{\sqrt{3}}{2},0)$, 设直线 $B_1A_2$ 的表达式为 $y=\sqrt{3}x+b$, 将点 $B_1$ 的坐标代入上式并解得 $b=-\dfrac{3}{2}$,直线 $B_1A_2$ 的表达式为 $y_3=\sqrt{3}x-\dfrac{3}{2}$, 将直线 $B_1A_2$ 与直线 $l_1$的表达式联立并解得 $x=\dfrac{5\sqrt{3}}{4},y=\dfrac{9}{4}$, 即点 $A_2$ 的纵坐标为$\dfrac{9}{4}$; 同理可得点 $A_3$ 的纵坐标为 $\dfrac{27}{8}······$ 按此规律, 点 $A_n$ 的纵坐标为 $(\dfrac{3}{2})^n$. 故选 A.

3.(菏泽中考改编)如图①,在平面直角坐标系中,长方形$ABCD$在第一象限,且$BC // x$轴.直线$y=2x$从原点$O$出发沿$x$轴正方向平移,在平移过程中,直线被长方形$ABCD$截得的线段长度为$a$,直线在$x$轴上平移的距离为$b$,$a,b$的函数图象如图②所示.那么长方形$ABCD$的面积为.

3. 8 解析: 如图, 过点 $B,D$ 分别作直线 $y=2x$ 的平行线,交 $AD,BC$ 于点 $E,F$. 由图象和题意可得 $AE=4-3=1,CF=$$8-7=1,BE=DF=\sqrt{5},BF=DE=7-4=3$, 则 $AB=$$\sqrt{BE^2-AE^2}=\sqrt{5-1}=2,BC=BF+CF=3+1=4,\therefore$ 长方形 $ABCD$ 的面积为 $AB· BC=2×4=8$.

4. 若直线$l_{1}$经过点$(0,4)$和点$(3,-2)$，直线$l_{2}$与$l_{1}$关于$x$轴对称，则$l_{2}$的表达式为（）

A.$y=-2x-4$
B.$y=2x-4$
C.$y=-\dfrac{2}{3}x-4$
D.$y=\dfrac{2}{3}x-4$

4. B 解析: $\because$ 直线 $l_1$ 经过点 $(0,4)$ 和点 $(3,-2)$, 且 $l_1$ 与 $l_2$ 关于 $x$ 轴对称, $\therefore$ 点 $(0,4)$ 和点 $(3,-2)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标分别是 $(0,-4),(3,2),\therefore$ 直线 $l_2$ 经过点 $(0,-4)$,$(3,2)$, 设直线 $l_2$ 的表达式为 $y=kx+b$, 把 $(0,-4)$ 和 $(3,2)$ 代入直线 $l_2$ 的表达式 $y=kx+b$, 则 $\begin{cases} b=-4,\\ 3k+b=2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=2,\\ b=-4, \end{cases}$ 故直线 $l_2$ 的表达式为 $y=2x-4$, 故选 B.

5. 改编题 已知直线 $l_1$ 的表达式为 $y=-x+3$.
(1) 若直线 $l_2$ 与直线 $l_1$ 关于直线 $x=1$ 对称,则直线 $l_2$ 的表达式为;
(2) 若直线 $l_3$ 与直线 $l_1$ 关于直线 $y=x$ 对称,则直线 $l_3$ 的表达式为.

5. (1) $y=x+1$ 解析: 直线 $y=-x+3$ 经过点 $(0,3),(3,0)$. 这两点关于直线 $x=1$ 对称的点分别为 $(2,3),(-1,0)$, 则直线 $l_1$关于直线 $x=1$ 对称的直线 $l_2$ 经过这两点, 可得直线 $l_2$ 的表达式为 $y=x+1$.
(2) $y=-x+3$ 解析: 直线 $y=-x+3$ 经过点 $(0,3),(3,0)$. 这两点关于直线 $y=x$ 对称的点分别为 $(3,0),(0,3)$, 故对称后的直线仍为 $y=-x+3$.

6. 某学习小组利用平面直角坐标系研究直线上点的坐标规律时,发现直线$y=kx+b(k≠0)$上的任意三点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),C(x_{3},y_{3})(x_{1}≠$$x_{2}≠x_{3})$,满足$\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac {y_{1}-y_{3}}{x_{1}-x_{3}}=\frac {y_{2}-y_{3}}{x_{2}-x_{3}}=k$.经学习小组查阅资料得知,以上发现是成立的,即直线$y=kx+b(k≠0)$上任意两点$M(x_{1},y_{1}),$$N(x_{2},y_{2})(x_{1}≠x_{2})$的坐标都有$\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}$的值为k,其中k叫作直线$y=kx+b$的斜率.如:$P(1,3),$$Q(2,4)$为直线$y=x+2$上两点,则$k_{PQ}=\frac {3-4}{1-2}=1$,即直线$y=x+2$的斜率为1.
(1)请你直接写出过$E(2,3),F(4,-2)$两点的直线的斜率$k_{EF}=$.
(2)学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题,得到如下正确结论:不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时,这两条直线的斜率之积是定值.
①如图①,直线$GH⊥GI$于点G,$G(1,3)$,$H(-2,1),I(-1,6)$,求出直线GH与直线GI的斜率之积;
②直线l经过$A(2,3)$,且与直线$y=-\frac {1}{3}x+3$垂直,求直线l的表达式.
(3)如图②,已知正方形OKRS的顶点S的坐标为$(6,8)$,点K,R在第二象限,OR为正方形的对角线.过顶点R作$RT⊥OR$于点R.求直线RT的表达式.

6. (1) $-\dfrac{5}{2}$ 解析: $k_{EF}=\dfrac{-2-3}{4-2}=-\dfrac{5}{2}$.
(2) ① $\because G(1,3),H(-2,1),I(-1,6),\therefore k_{GH}=\dfrac{3-1}{1-(-2)}=$$\dfrac{2}{3},k_{GI}=\dfrac{3-6}{1-(-1)}=-\dfrac{3}{2},\therefore k_{GH}· k_{GI}=-1$.
②设直线 $l$ 的表达式为 $y=ax+b,\because$ 直线 $l$ 与直线 $y=-\dfrac{1}{3}x+3$垂直, $\therefore -\dfrac{1}{3}a=-1$, 解得 $a=3$, 则 $y=3x+b$. 将 $A(2,3)$ 代入$y=3x+b$, 得 $3=3×2+b$, 解得 $b=-3,\therefore$ 直线 $l$ 的表达式为 $y=$$3x-3$.
(3) 如图, 过点 $K$ 作 $KM⊥ x$ 轴于点 $M$, 过点 $S$ 作 $SN⊥ x$ 轴于点 $N$, 连接 $KS$ 交 $OR$ 于点 $J.\because S(6,8),\therefore ON=6,SN=8.\because$ 四边形 $OKRS$ 是正方形, $\therefore OK=OS,∠ KRS=∠ KOS=∠ KMO=$$∠ SNO=90°,KJ=JS,JR=JO,\therefore ∠ KOM+∠ SON=90°$,$∠ SON+∠ OSN=90°,\therefore ∠ KOM=∠ OSN,\therefore △ OMK≌△ SNO$(AAS), $\therefore KM=ON=6,OM=SN=8,\therefore K(-8,6).\because KJ=$$JS,\therefore J(-1,7).\because JR=OJ,\therefore R(-2,14),\therefore k_{OR}=\dfrac{14}{-2}=-7$.$\because RT⊥ OR,\therefore k_{RT}=\dfrac{1}{7}$. 设直线 $RT$ 的表达式为 $y=\dfrac{1}{7}x+b$. 把$(-2,14)$ 代入可得 $14=-\dfrac{2}{7}+b$, 解得 $b=\dfrac{100}{7},\therefore$ 直线 $RT$ 的表达式为 $y=\dfrac{1}{7}x+\dfrac{100}{7}$.

归纳总结 (1) 斜率 $k$ 与平面直角坐标系中直线之间的位置关系:
①直线 $y=kx+b(k≠0)$ 上任意两点 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$$(x_1≠ x_2)$, 都有 $k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$.
②若直线 $y_1=k_1x+b_1(k_1≠0)$ 与直线 $y_2=k_2x+b_2(k_2≠0)$ 平行, 则 $k_1=k_2$.
③若直线 $y_1=k_1x+b_1(k_1≠0)$ 与直线 $y_2=k_2x+b_2(k_2≠0)$ 垂直, 则 $k_1· k_2=-1$.
(2) 平面直角坐标系中直线的几何变换:
|类型|内容|
| ---- | ---- |
|平移|直线 $y=kx+b$ 平移前后 $k$ 不变, 遵循“左加右减, 上加下减”的规律|
|对称|直线 $y=kx+b$ 关于 $y$ 轴对称后的直线为 $y=-kx+b$;
直线 $y=kx+b$ 关于 $x$ 轴对称后的直线为 $y=-kx-b$;
直线 $y=kx+b(k≠0)$ 关于直线 $y=x$ 对称后的直线为 $y=\dfrac{1}{k}x-\dfrac{b}{k}$;
直线 $y=kx+b(k≠0)$ 关于直线 $y=-x$ 对称后的直线为 $y=\dfrac{1}{k}x+\dfrac{b}{k}$;
若直线斜率为 $k$, 关于它对称的两条直线斜率分别为 $a$ 和 $b$, 则满足 $\dfrac{k-a}{1+ka}=\dfrac{b-k}{1+kb}$|
|旋转|直线 $y=kx+b(k≠0)$ 绕直线上的点旋转 $90°$ 后, $k$ 变为 $-\dfrac{1}{k}$;
直线 $y=kx+b$ 绕直线上的点逆时针旋转 $45°$ 后, $k$ 变为 $\dfrac{1+k}{1-k}$, 顺时针旋转 $45°$ 后, $k$ 变为 $-\dfrac{1-k}{1+k}$ (此处要避免 $k=1$ 和 $-1$ 两种特殊情况)|