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7. (内江中考)在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点叫作整点,已知直线 $y=$$tx+2t+2(t＞0)$ 与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点,则$t$的取值范围是（
A.$\dfrac{1}{2}≤ t＜2$
B.$\dfrac{1}{2}＜ t≤ 1$
C.$1＜ t≤ 2$
D.$\dfrac{1}{2}≤ t≤ 2$ 且 $t≠ 1$
D
）A.$\dfrac{1}{2}≤ t＜2$
B.$\dfrac{1}{2}＜ t≤ 1$
C.$1＜ t≤ 2$
D.$\dfrac{1}{2}≤ t≤ 2$ 且 $t≠ 1$
答案
7. D 解析: $\because y=tx+2t+2=t(x+2)+2(t＞0),\therefore$ 直线 $y=tx+$$2t+2(t＞0)$ 经过点 $(-2,2)$. 如图, 当直线经过点 $(0,3)$ 时, 直线 $y=tx+2t+2(t＞0)$ 与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点, 则 $3=2t+2$, 解得 $t=\dfrac{1}{2}$; 当直线经过点 $(0,6)$ 时, 直线 $y=tx+2t+2(t＞0)$ 与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点, 则 $6=2t+2$, 解得 $t=2$; 当直线经过点 $(0,4)$ 时, 直线 $y=tx+2t+2(t＞0)$ 与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有三个整点, 则 $4=2t+2$, 解得 $t=1;\therefore$ 直线 $y=tx+2t+2(t＞0)$ 与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点, 则 $t$的取值范围是 $\dfrac{1}{2}≤ t≤2$ 且 $t≠1$.
8. 已知点$A(2,-3),B(-3,-2)$，直线$l:y= -kx+k+1$与线段$AB$相交，则$k$的取值范围是
$k≤-\dfrac{3}{4}$ 或 $k≥4$
.答案
8. $k≤-\dfrac{3}{4}$ 或 $k≥4$ 解析: 如图, 直线 $l$:$y=-kx+k+1=k(1-x)+$1 经过定点 $C(1,1)$, 当直线 $l$ 经过点 $B(-3,-2)$ 时, 直线 $BC$的表达式为 $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{4}$, 结合图形知 $-k≥\dfrac{3}{4},\therefore k≤-\dfrac{3}{4}$; 当直线 $l$ 经过点 $A(2,-3)$ 时, 直线 $AC$ 的表达式为 $y=-4x+5$, 结合图形知 $-k≤-4,\therefore k≥4$. 综上可知, $k≤-\dfrac{3}{4}$ 或 $k≥4$.
9. 新考法 如图,小明用几何画板作出一函数图象,若有点 $P(m^{2},\dfrac{m^{2}}{2}-\dfrac{1}{2})$ 在该函数图象上,则这样的点$P$有
2
个.答案
9. 2 解析: $\because m^2≥0$, 将点 $P$ 看作是直线 $y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}(x=m^2≥$0)上的点, 令 $x=0$, 则 $y=-\dfrac{1}{2}$, 令 $x=1$, 则 $y=0$, 则直线 $y=$$\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}(x=m^2≥0)$ 过点 $(0,-\dfrac{1}{2}),(1,0)$, 如图, 作出函数图象, 则点 $P(m^2,\dfrac{m^2}{2}-\dfrac{1}{2})$ 在作出的函数图象上, 有 2 个满足题意的点.
10. 改编题 已知平面直角坐标系中,点 $P(x_0,y_0)$和直线 $Ax+By+C=0$(其中 $A,B$ 不全为 0),则点 $P$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离 $d$ 可用公式
$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \mathrm{来计算.}$
例如:求点 $P(0,0)$ 到直线 $4x+3y-3=0$ 的距离,因为 $A=4,B=3,C=-3$,所以距离 $d=$
(1) 点 $M(3,4)$ 到直线 $y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{4}$ 的距离为
(2) 如图,直线 $y=-x$ 沿 $y$ 轴向上平移 1 个单位长度得到另一条直线,求这两条平行直线之间的距离;
(3) 若点 $M(1,0)$ 到直线 $x+y+C=0$ 的距离为$\sqrt{2}$,求实数 $C$ 的值.
$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \mathrm{来计算.}$
例如:求点 $P(0,0)$ 到直线 $4x+3y-3=0$ 的距离,因为 $A=4,B=3,C=-3$,所以距离 $d=$
(1) 点 $M(3,4)$ 到直线 $y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{4}$ 的距离为
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;(2) 如图,直线 $y=-x$ 沿 $y$ 轴向上平移 1 个单位长度得到另一条直线,求这两条平行直线之间的距离;
(3) 若点 $M(1,0)$ 到直线 $x+y+C=0$ 的距离为$\sqrt{2}$,求实数 $C$ 的值.
答案
10. (1) 4 解析: $\because y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{4}$ 可变形为 $3x+4y-5=0$, 则其中 $A=3,B=4,C=-5$, 由公式得, $d=\dfrac{|9+16-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{20}{5}=4$,$\therefore$ 点 $M(3,4)$ 到直线 $y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{4}$ 的距离为 4.
(2) 平移后的直线表达式为 $y=-x+1$, 在直线 $y=-x$ 上任意取一点 $P$, 当 $x=0$ 时, $y=0,\therefore P(0,0).\because$ 直线 $y=-x+1$,$\therefore x+y-1=0,A=1,B=1,C=-1,\therefore d=\dfrac{|0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=$$\dfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\therefore$ 两平行线之间的距离为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.(注:八下将会学习二次根式的运算, $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$)
(3) 由点到直线的距离公式得 $\dfrac{|1×1+1×0+C|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{|1+C|}{\sqrt{2}}=$$\sqrt{2},\therefore |1+C|=(\sqrt{2})^2=2$, 解得 $C=1$ 或 $C=-3$.
(2) 平移后的直线表达式为 $y=-x+1$, 在直线 $y=-x$ 上任意取一点 $P$, 当 $x=0$ 时, $y=0,\therefore P(0,0).\because$ 直线 $y=-x+1$,$\therefore x+y-1=0,A=1,B=1,C=-1,\therefore d=\dfrac{|0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=$$\dfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\therefore$ 两平行线之间的距离为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.(注:八下将会学习二次根式的运算, $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$)
(3) 由点到直线的距离公式得 $\dfrac{|1×1+1×0+C|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{|1+C|}{\sqrt{2}}=$$\sqrt{2},\therefore |1+C|=(\sqrt{2})^2=2$, 解得 $C=1$ 或 $C=-3$.
