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一、单项选择题
1. 下列为负数的是 （
A.$|-2|$
B.$\sqrt{3}$
C.0
D.$-5$
1. 下列为负数的是 （
D
）A.$|-2|$
B.$\sqrt{3}$
C.0
D.$-5$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确负数的定义：小于0的数叫做负数。接下来我们只需要逐一计算每个选项的结果，判断其是否小于0，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，因此$|-2|=2$，2＞0，属于正数，不符合要求；
B选项：$\sqrt{3}$表示3的算术平方根，算术平方根是非负数，且$\sqrt{3}\approx1.732＞0$，属于正数，不符合要求；
C选项：0既不是正数也不是负数，不符合要求；
D选项：-5＜0，属于负数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
负数的定义、绝对值的运算、算术平方根的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握相关基础概念，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确负数的定义：小于0的数叫做负数。接下来我们只需要逐一计算每个选项的结果，判断其是否小于0，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，因此$|-2|=2$，2＞0，属于正数，不符合要求；
B选项：$\sqrt{3}$表示3的算术平方根，算术平方根是非负数，且$\sqrt{3}\approx1.732＞0$，属于正数，不符合要求；
C选项：0既不是正数也不是负数，不符合要求；
D选项：-5＜0，属于负数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
负数的定义、绝对值的运算、算术平方根的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握相关基础概念，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
2.实数9的算术平方根是 （
A.3
B.$\pm 3$
C.$\frac{1}{9}$
D.$-9$
A
）A.3
B.$\pm 3$
C.$\frac{1}{9}$
D.$-9$
答案
2.A
解析
【分析】
解题思路：首先回忆算术平方根的核心定义：如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，且算术平方根的结果一定是非负数。其次区分易错概念：±3是9的平方根，不是算术平方根，可直接排除B；算术平方根为非负数，排除负数选项D；1/9的平方远小于9，不符合要求，排除C。最后验证：3的平方等于9，完全符合算术平方根的定义，即可得到答案。
【解析】
解：根据算术平方根的定义：若正数x满足x²=a，则x称为a的算术平方根，算术平方根的结果为非负数。
∵3²=9，且3是正数
∴9的算术平方根是3
故选A
【答案】A
【知识点】算术平方根的概念
【点评】本题主要考查对算术平方根定义的理解，解题关键是区分算术平方根和平方根的差异，牢记算术平方根结果为非负数，属于基础概念考查题。
【难度系数】0.9
解题思路：首先回忆算术平方根的核心定义：如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，且算术平方根的结果一定是非负数。其次区分易错概念：±3是9的平方根，不是算术平方根，可直接排除B；算术平方根为非负数，排除负数选项D；1/9的平方远小于9，不符合要求，排除C。最后验证：3的平方等于9，完全符合算术平方根的定义，即可得到答案。
【解析】
解：根据算术平方根的定义：若正数x满足x²=a，则x称为a的算术平方根，算术平方根的结果为非负数。
∵3²=9，且3是正数
∴9的算术平方根是3
故选A
【答案】A
【知识点】算术平方根的概念
【点评】本题主要考查对算术平方根定义的理解，解题关键是区分算术平方根和平方根的差异，牢记算术平方根结果为非负数，属于基础概念考查题。
【难度系数】0.9
3. $(-4)^2$ 的平方根是 （
A.$-4$
B.$\pm4$
C.$2$
D.$\pm2$
B
）A.$-4$
B.$\pm4$
C.$2$
D.$\pm2$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先要明确运算顺序，先计算出$(-4)^2$的结果，再根据平方根的定义求该结果的平方根。需要注意：①负数的偶次幂是正数；②一个正数有两个平方根，它们互为相反数，不要和算术平方根混淆，避免漏解或错解。
【解析】
第一步：先计算$(-4)^2$的值，根据乘方的运算规则，$(-4)^2=(-4)×(-4)=16$。
第二步：求16的平方根，根据平方根的定义：如果一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根。因为$(\pm4)^2=16$，所以16的平方根是$\pm4$，即$(-4)^2$的平方根是$\pm4$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是部分同学容易混淆平方根和算术平方根的概念，或者未先计算乘方结果直接求$-4$的平方根导致出错，掌握基础定义是解题关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确运算顺序，先计算出$(-4)^2$的结果，再根据平方根的定义求该结果的平方根。需要注意：①负数的偶次幂是正数；②一个正数有两个平方根，它们互为相反数，不要和算术平方根混淆，避免漏解或错解。
【解析】
第一步：先计算$(-4)^2$的值，根据乘方的运算规则，$(-4)^2=(-4)×(-4)=16$。
第二步：求16的平方根，根据平方根的定义：如果一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$叫做$a$的平方根。因为$(\pm4)^2=16$，所以16的平方根是$\pm4$，即$(-4)^2$的平方根是$\pm4$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是部分同学容易混淆平方根和算术平方根的概念，或者未先计算乘方结果直接求$-4$的平方根导致出错，掌握基础定义是解题关键。
【难度系数】
0.8
4.估计$\sqrt{20}$的值在 （
A.3 和 4 之间
B.4 和 5 之间
C.5 和 6 之间
D.6 和 7 之间
B
）A.3 和 4 之间
B.4 和 5 之间
C.5 和 6 之间
D.6 和 7 之间
答案
4.B
解析
【分析】要估计$\sqrt{20}$的取值范围，可采用“夹逼法”：先找到和20相邻的两个能开得尽方的正整数，再根据算术平方根的性质，比较三个数的算术平方根的大小，就能得到$\sqrt{20}$的所在范围。首先回忆常见整数的平方：4的平方是16，5的平方是25，20恰好介于16和25之间，后续就可以通过算术平方根的大小比较推导结果。
【解析】先计算相邻整数的平方值：
∵ $4^2 = 16$，$5^2 = 25$，
又
∵ $16 ＜ 20 ＜ 25$，
根据算术平方根的性质：非负数的被开方数越大，对应的算术平方根也越大，
∴ $\sqrt{16} ＜ \sqrt{20} ＜ \sqrt{25}$，
即 $4 ＜ \sqrt{20} ＜ 5$，
因此$\sqrt{20}$的值在4和5之间。
【答案】B
【知识点】1.无理数的估算 2.算术平方根的性质
【点评】本题属于基础题型，解题核心是掌握“夹逼法”估算无理数大小的方法，熟记常见整数的平方值可以大幅提升解题速度。
【难度系数】0.9
【解析】先计算相邻整数的平方值：
∵ $4^2 = 16$，$5^2 = 25$，
又
∵ $16 ＜ 20 ＜ 25$，
根据算术平方根的性质：非负数的被开方数越大，对应的算术平方根也越大，
∴ $\sqrt{16} ＜ \sqrt{20} ＜ \sqrt{25}$，
即 $4 ＜ \sqrt{20} ＜ 5$，
因此$\sqrt{20}$的值在4和5之间。
【答案】B
【知识点】1.无理数的估算 2.算术平方根的性质
【点评】本题属于基础题型，解题核心是掌握“夹逼法”估算无理数大小的方法，熟记常见整数的平方值可以大幅提升解题速度。
【难度系数】0.9
5.已知实数$x,y$满足$\sqrt{x-2}+(y+1)^2=0$,则$x-y$等于（
A.3
B.$-3$
C.1
D.$-1$
A
）A.3
B.$-3$
C.1
D.$-1$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：我们学过的算术平方根、完全平方数都属于非负数（即取值大于等于0），当几个非负数相加和为0时，每一个非负数的取值都必须为0。本题中两个非负项的和为0，因此可以分别令两个项等于0，求出x、y的值，再代入计算x-y即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-2} ≥ 0$，$(y+1)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x-2}+(y+1)^2=0$
∴根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x-2=0 \\y+1=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$
将$x=2$，$y=-1$代入$x-y$得：
$x-y=2 - (-1)=2+1=3$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 算术平方根的非负性
3. 偶次方的非负性
【点评】
本题是基础常考题，核心考察非负数性质的应用，解题的关键是掌握常见非负数的类型，以及多个非负数和为0时每一项均为0的规律，计算时代入求值要注意符号的处理。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：我们学过的算术平方根、完全平方数都属于非负数（即取值大于等于0），当几个非负数相加和为0时，每一个非负数的取值都必须为0。本题中两个非负项的和为0，因此可以分别令两个项等于0，求出x、y的值，再代入计算x-y即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-2} ≥ 0$，$(y+1)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x-2}+(y+1)^2=0$
∴根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x-2=0 \\y+1=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$
将$x=2$，$y=-1$代入$x-y$得：
$x-y=2 - (-1)=2+1=3$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 算术平方根的非负性
3. 偶次方的非负性
【点评】
本题是基础常考题，核心考察非负数性质的应用，解题的关键是掌握常见非负数的类型，以及多个非负数和为0时每一项均为0的规律，计算时代入求值要注意符号的处理。
【难度系数】
0.8
6.若$\sqrt{51.11}\approx7.149$，$\sqrt{511.1}\approx22.608$，则$\sqrt{511100}$的值约为（
A.71.49
B.226.08
C.714.9
D.22260.8
C
）A.71.49
B.226.08
C.714.9
D.22260.8
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右移动2位，对应的算术平方根的小数点就向右移动1位。我们先观察待求的被开方数511100和已知的被开方数51.11的关系，数出两者的小数点移动位数，再根据规律计算待求的算术平方根即可。
【解析】
先将待求的被开方数变形：
$511100 = 51.11 × 10000$
根据算术平方根的运算性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{511100} = \sqrt{51.11 × 10000} = \sqrt{51.11} × \sqrt{10000}$
已知$\sqrt{51.11}\approx7.149$，且$\sqrt{10000}=100$，代入计算：
$\sqrt{511100}\approx7.149 × 100 = 714.9$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根性质，小数点移动规律
【点评】
本题属于算术平方根规律的常规应用题型，核心是准确找到已知和待求被开方数的小数点位移关系，掌握相关规律就能快速得出结果，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右移动2位，对应的算术平方根的小数点就向右移动1位。我们先观察待求的被开方数511100和已知的被开方数51.11的关系，数出两者的小数点移动位数，再根据规律计算待求的算术平方根即可。
【解析】
先将待求的被开方数变形：
$511100 = 51.11 × 10000$
根据算术平方根的运算性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{511100} = \sqrt{51.11 × 10000} = \sqrt{51.11} × \sqrt{10000}$
已知$\sqrt{51.11}\approx7.149$，且$\sqrt{10000}=100$，代入计算：
$\sqrt{511100}\approx7.149 × 100 = 714.9$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根性质，小数点移动规律
【点评】
本题属于算术平方根规律的常规应用题型，核心是准确找到已知和待求被开方数的小数点位移关系，掌握相关规律就能快速得出结果，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
二、填空题
7. 144 的平方根是
7. 144 的平方根是
±12
，$\sqrt{\dfrac{100}{49}}$ 的算术平方根是 $\sqrt{\dfrac{10}{7}}$
。答案
7.$\pm 12$ $\sqrt{\dfrac{10}{7}}$
解析
【分析】
解题分两步思考：①求144的平方根：根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数，只需找到平方后等于144的数即可。②求$\sqrt{\dfrac{100}{49}}$的算术平方根：先根据算术平方根的定义算出$\sqrt{\dfrac{100}{49}}$的化简结果，再对这个结果求它的正的平方根（即算术平方根），注意不要直接对$\dfrac{100}{49}$求算术平方根，避免跳步出错。
【解析】
1. 计算144的平方根：
因为$(\pm12)^2=144$，结合正数的平方根有两个、互为相反数的性质，可得144的平方根是$\pm12$。
2. 计算$\sqrt{\dfrac{100}{49}}$的算术平方根：
先化简$\sqrt{\dfrac{100}{49}}$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{\dfrac{100}{49}}=\dfrac{10}{7}$；
再求$\dfrac{10}{7}$的算术平方根，算术平方根为非负数，因此$\dfrac{10}{7}$的算术平方根是$\sqrt{\dfrac{10}{7}}$。
【答案】
$\pm 12$；$\sqrt{\dfrac{10}{7}}$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心需要区分平方根和算术平方根的差异，易错点有两处：一是求正数平方根时漏写负的结果，二是第二个空未先化简原式直接计算，误得$\dfrac{10}{7}$，解题时需注意审题，紧扣概念做题。
【难度系数】
0.7
解题分两步思考：①求144的平方根：根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数，只需找到平方后等于144的数即可。②求$\sqrt{\dfrac{100}{49}}$的算术平方根：先根据算术平方根的定义算出$\sqrt{\dfrac{100}{49}}$的化简结果，再对这个结果求它的正的平方根（即算术平方根），注意不要直接对$\dfrac{100}{49}$求算术平方根，避免跳步出错。
【解析】
1. 计算144的平方根：
因为$(\pm12)^2=144$，结合正数的平方根有两个、互为相反数的性质，可得144的平方根是$\pm12$。
2. 计算$\sqrt{\dfrac{100}{49}}$的算术平方根：
先化简$\sqrt{\dfrac{100}{49}}$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{\dfrac{100}{49}}=\dfrac{10}{7}$；
再求$\dfrac{10}{7}$的算术平方根，算术平方根为非负数，因此$\dfrac{10}{7}$的算术平方根是$\sqrt{\dfrac{10}{7}}$。
【答案】
$\pm 12$；$\sqrt{\dfrac{10}{7}}$
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心需要区分平方根和算术平方根的差异，易错点有两处：一是求正数平方根时漏写负的结果，二是第二个空未先化简原式直接计算，误得$\dfrac{10}{7}$，解题时需注意审题，紧扣概念做题。
【难度系数】
0.7
8.若$\sqrt{20n}$是整数，则正整数$n$的最小值为
5
。答案
8.5
解析
【分析】
要使$\sqrt{20n}$是整数，可先将二次根式化简，把根号内能够开得尽方的因数先提取出来，剩余部分必须是完全平方数才能让整个二次根式的计算结果为整数，结合这个特征即可推导出最小的正整数$n$。
【解析】
第一步，先化简二次根式：
$\sqrt{20n}=\sqrt{4×5n}=\sqrt{4}×\sqrt{5n}=2\sqrt{5n}$
第二步，根据$\sqrt{20n}$是整数，可知$2\sqrt{5n}$是整数，即$\sqrt{5n}$必须是整数，因此$5n$是完全平方数。
第三步，求最小正整数$n$：5是质数，要让$5n$是完全平方数，最小的$n$为5，此时$5n=25=5^2$，满足完全平方数的要求。
【答案】
5
【知识点】
二次根式化简，完全平方数性质
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，解题核心是先拆分根号内的完全平方因数完成化简，再结合结果为整数的条件推导参数最小值，熟练掌握二次根式的化简规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要使$\sqrt{20n}$是整数，可先将二次根式化简，把根号内能够开得尽方的因数先提取出来，剩余部分必须是完全平方数才能让整个二次根式的计算结果为整数，结合这个特征即可推导出最小的正整数$n$。
【解析】
第一步，先化简二次根式：
$\sqrt{20n}=\sqrt{4×5n}=\sqrt{4}×\sqrt{5n}=2\sqrt{5n}$
第二步，根据$\sqrt{20n}$是整数，可知$2\sqrt{5n}$是整数，即$\sqrt{5n}$必须是整数，因此$5n$是完全平方数。
第三步，求最小正整数$n$：5是质数，要让$5n$是完全平方数，最小的$n$为5，此时$5n=25=5^2$，满足完全平方数的要求。
【答案】
5
【知识点】
二次根式化简，完全平方数性质
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，解题核心是先拆分根号内的完全平方因数完成化简，再结合结果为整数的条件推导参数最小值，熟练掌握二次根式的化简规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.如图,小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上,小正方形的面积为1,大正方形的面积为5,则图中阴影部分的面积为
$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
.答案
9.$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先根据正方形面积与边长的关系，分别求出大、小正方形的边长；再观察阴影部分的图形特征：两个阴影三角形的高都等于小正方形的边长，两个三角形的底的和恰好等于大正方形边长减去小正方形的边长；最后利用三角形面积公式，将两个三角形面积合并计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵小正方形的面积为1，
∴小正方形的边长为$\sqrt{1}=1$，
∵大正方形的面积为5，
∴大正方形的边长为$\sqrt{5}$。
观察阴影部分可知，两个阴影三角形的高均等于小正方形的边长1，两个三角形的底的和为$\sqrt{5}-1$。
根据三角形面积公式，阴影部分总面积为：
$S=\frac{1}{2}×底之和×高=\frac{1}{2}×(\sqrt{5}-1)×1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
正方形的面积，三角形面积计算，算术平方根
【点评】
本题解题的关键是观察出两个阴影三角形的底之和与高的长度，采用整体计算的方法简化运算，避免分别求解单个三角形面积的繁琐，考察了几何图形观察能力和整体运算思想。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据正方形面积与边长的关系，分别求出大、小正方形的边长；再观察阴影部分的图形特征：两个阴影三角形的高都等于小正方形的边长，两个三角形的底的和恰好等于大正方形边长减去小正方形的边长；最后利用三角形面积公式，将两个三角形面积合并计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵小正方形的面积为1，
∴小正方形的边长为$\sqrt{1}=1$，
∵大正方形的面积为5，
∴大正方形的边长为$\sqrt{5}$。
观察阴影部分可知，两个阴影三角形的高均等于小正方形的边长1，两个三角形的底的和为$\sqrt{5}-1$。
根据三角形面积公式，阴影部分总面积为：
$S=\frac{1}{2}×底之和×高=\frac{1}{2}×(\sqrt{5}-1)×1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
正方形的面积，三角形面积计算，算术平方根
【点评】
本题解题的关键是观察出两个阴影三角形的底之和与高的长度，采用整体计算的方法简化运算，避免分别求解单个三角形面积的繁琐，考察了几何图形观察能力和整体运算思想。
【难度系数】
0.6
