例6 (杭州市上城区)下列各式中,能运用平方差公式进行计算的是 ()

A.$(3x+5y)(5y-3x)$
B.$(m-n)(n-m)$
C.$(p+q)(-p-q)$
D.$(2a+3b)(3a-2b)$

A

【分析】要运用平方差公式计算，需满足两个二项式相乘，且存在一组相同项、一组互为相反数的项。我们逐一分析各选项：
选项A：可变形为$(5y+3x)(5y-3x)$，相同项为$5y$，互为相反数的项为$3x$和$-3x$，符合平方差公式结构；
选项B：原式可化为$-(m-n)^2$，两项完全相同，不符合平方差公式；
选项C：原式可化为$-(p+q)^2$，两项完全相同，不符合平方差公式；
选项D：两个因式中无相同项和互为相反数的项，不符合平方差公式。
【解析】平方差公式的结构为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，核心是“一组相同项，一组相反项”。
选项A：$(3x+5y)(5y-3x)=(5y+3x)(5y-3x)$，满足公式结构，可运用平方差公式；
选项B：$(m-n)(n-m)=-(m-n)^2$，两项完全相同，属于完全平方公式形式，不符合；
选项C：$(p+q)(-p-q)=-(p+q)^2$，两项完全相同，属于完全平方公式形式，不符合；
选项D：$(2a+3b)(3a-2b)$中无相同项和相反项，无法用平方差公式。
综上，答案为A。
【答案】A
【知识点】平方差公式
【点评】本题考查平方差公式的结构识别，是整式乘法的基础题型，需牢记公式特征，区分平方差与完全平方公式的差异。
【难度系数】0.7

例7 (德清县)已知$(2018+m)(2016+m)=n$，则代数式$(2018+m)^2+(2016+m)^2$的值为 ()

A.$2$
B.$2n$
C.$2n+2$
D.$2n+4$

D 【解析】因为$(2018+m)(2016+m)=n$,
所以$(2018+m)^2+(2016+m)^2=[(2018+m)-(2016+m)]^2+2(2018+m)(2016+m)=4+2n$。

【分析】这道题需利用完全平方公式的变形求解，无需直接计算$m$的值，可通过换元法简化运算。设$a = 2018 + m$，$b = 2016 + m$，先求出$a - b$的值，再结合已知$ab = n$，利用公式$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$即可得到目标代数式的值。
【解析】设$a = 2018 + m$，$b = 2016 + m$，
则$a - b = (2018 + m) - (2016 + m) = 2$，
已知$ab = n$，
根据完全平方公式的变形：$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$，
代入得：$(2018 + m)^2 + (2016 + m)^2 = 2^2 + 2n = 4 + 2n$，
因此答案选D。
【答案】D
【知识点】完全平方公式、代数式求值
【点评】本题通过换元法结合完全平方公式的变形，将所求代数式与已知条件关联，避免了复杂计算，考查了公式的灵活运用能力，是代数基础题型。
【难度系数】0.6

例8 (庆元县)如图,图1由长方形①和长方形②组成,图1通过移动长方形②得到图2。
(1)$S_甲=$,$S_乙=$。(用含$a,b$的代数式分别表示)
(2)利用(1)的结果,说明$a^2,b^2,(a+b)(a-b)$的等量关系。
(3)现有一块如图3所示的长方形纸片,请通过将其分割,再对分割的各部分进行移动,组成新的图形,画出图形,利用图形说明$(a+b)^2,(a-b)^2,ab$三者之间的等量关系。

(1)$(a+b)(a-b)$ $a^2-b^2$
(2)因为$S_甲=S_乙$,所以$a^2,b^2,(a+b)(a-b)$的等量关系为$(a+b)·(a-b)=a^2-b^2$。
(3)如图1,将长方形分成四个长为a、宽为b的小长方形,再拼成如图2所示的正方形。


根据图2可得$S_{大正方形}=(a+b)^2$,$S_{大正方形}=(a-b)^2+4ab$,
所以$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$。

【分析】
本题是利用几何图形面积推导代数公式的题目，解题思路如下：
(1) 分别计算图1和图2的面积：图1是两个长方形拼接，可看作长为$(a+b)$、宽为$(a-b)$的长方形，面积用长×宽计算；图2是边长为$a$的正方形减去边长为$b$的正方形，面积用大正方形面积减小正方形面积计算。
(2) 图1和图2由相同的两个长方形组成，面积相等，由此推导平方差公式。
(3) 将图3的长方形分割为4个相同小长方形，拼接成大正方形，利用大正方形面积等于中间小正方形面积加4个小长方形面积，推导完全平方公式的变形关系。
【解析】
(1) 计算图1面积$S_甲$：
图1整体为长$(a+b)$、宽$(a-b)$的长方形，根据长方形面积公式，$S_甲=(a+b)(a-b)$；
计算图2面积$S_乙$：
图2为边长$a$的正方形减去边长$b$的正方形，根据正方形面积公式，$S_乙=a^2 - b^2$。
(2) 因图1和图2面积相等，故$S_甲=S_乙$，即$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
(3) 分割拼接：将图3（长$2a$、宽$2b$）分成4个长$a$、宽$b$的小长方形，拼成边长$(a+b)$的大正方形（如图2）。
大正方形面积为$(a+b)^2$，同时等于中间边长$(a-b)$的小正方形面积加4个小长方形面积，即$(a-b)^2 + 4ab$，故$(a+b)^2=(a-b)^2 + 4ab$。
【答案】
(1)$(a+b)(a-b)$；$a^2 - b^2$
(2)$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
(3)如图，将长方形分成四个长为$a$、宽为$b$的小长方形，再拼成如图2所示的正方形，根据图形可得$(a+b)^2=(a-b)^2 + 4ab$。


【知识点】
平方差公式、完全平方公式、数形结合思想
【点评】
本题通过几何面积关系推导代数公式，体现数形结合思想，帮助理解公式几何意义，是代数与几何结合的基础题型，考查公式的理解与应用能力。
【难度系数】
0.5

7.(金华市婺城区)要使等式$(x-y)^2+M=(x+y)^2$成立,整式$M$应是 ()

A.$2xy$
B.$4xy$
C.$-4xy$
D.$-2xy$

B

【分析】要确定整式M，可根据等式的性质将等式变形为M等于右边的$(x+y)^2$减去左边的$(x-y)^2$，再利用完全平方公式展开两个平方项，通过整式加减化简即可求出M，最后匹配选项得出答案。
【解析】由等式$(x-y)^2 + M=(x+y)^2$，可得$M=(x+y)^2-(x-y)^2$。根据完全平方公式$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，展开得：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，代入计算：$M=(x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2=4xy$。
【答案】B
【知识点】完全平方公式、整式的加减
【点评】本题考查完全平方公式的基础应用，核心是通过等式变形求出M，再利用公式展开化简，属于初中代数基础题型，需熟练掌握完全平方公式的结构。
【难度系数】0.8

8.(余姚市)已知$a-b=4,ab=3$,则$a^2 -ab +b^2$的值为。

19

【分析】
要计算代数式$a^2 -ab +b^2$的值，已知$a-b$和$ab$的数值，可利用完全平方公式对所求代数式变形，将其转化为含$(a-b)^2$和$ab$的形式，再代入已知条件计算结果。
【解析】
解：根据完全平方公式$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，可得：
$a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$
则$a^2 -ab +b^2 = (a^2 + b^2) - ab = [(a-b)^2 + 2ab] - ab = (a-b)^2 + ab$
将$a-b=4$，$ab=3$代入上式：
原式$=4^2 + 3 = 16 + 3 = 19$
【答案】
19
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的应用，核心是将所求代数式变形为与已知条件相关的形式，属于基础的代数式求值问题，解题思路清晰，计算简单。
【难度系数】
0.7

9.(杭州市)用四块完全相同的小长方形拼成一个“回”字形正方形。
(1)用不同的代数式表示图中阴影部分的面积,你能得到怎样的等式? 试用乘法公式说明这个等式成立。
(2)利用(1)中的结论计算:$a+b=2,ab=\dfrac{3}{4}$,求$a-b$。
(3)根据(1)中的结论,直接写出$x+\dfrac{1}{x}$和$x-\dfrac{1}{x}$之间的关系;若$x^2-3x+1=0$,则分别求出$x+\dfrac{1}{x}$和$(x-\dfrac{1}{x})^2$的值。

(1)阴影部分的面积为4ab或$(a+b)^2-(a-b)^2$,得到等式$4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$,说明:$(a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab$。
(2)$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=2^2-4×\dfrac{3}{4}=4-3=1$,所以$a-b=±1$。
(3)根据(1)中的结论,可得$(x-\dfrac{1}{x})^2=(x+\dfrac{1}{x})^2-4$。
因为$x^2-3x+1=0$,方程两边都除以x,得$x-3+\dfrac{1}{x}=0$,
所以$x+\dfrac{1}{x}=3$。所以$(x-\dfrac{1}{x})^2=(x+\dfrac{1}{x})^2-4=3^2-4=5$。

【分析】
第(1)问：阴影部分面积可通过两种方式计算，一是4个小长方形的面积和，二是大正方形面积减去中间空白小正方形的面积，由此得到等式，再用完全平方公式展开验证；第(2)问：利用(1)的结论，将$(a-b)^2$转化为$(a+b)^2-4ab$，代入已知值计算，注意平方根有正负；第(3)问：类比(1)的结论得到$x+\frac{1}{x}$与$x-\frac{1}{x}$的平方关系，再对$x^2-3x+1=0$变形求出$x+\frac{1}{x}$，进而计算目标值。
【解析】
(1) 方法1：阴影部分由4个小长方形组成，每个面积为$ab$，故阴影面积为$4ab$；
方法2：大正方形边长为$(a+b)$，面积为$(a+b)^2$，中间空白正方形边长为$(a-b)$，面积为$(a-b)^2$，故阴影面积为$(a+b)^2-(a-b)^2$；
因此等式为$4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$；
验证：右边$=(a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=4ab$，与左边相等，等式成立。
(2) 由(1)得$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，代入$a+b=2$，$ab=\frac{3}{4}$，得：
$(a-b)^2=2^2-4×\frac{3}{4}=4-3=1$，故$a-b=±1$。
(3) 类比(1)的结论，得$(x-\frac{1}{x})^2=(x+\frac{1}{x})^2-4$；
对$x^2-3x+1=0$，因$x≠0$，两边除以$x$得$x-3+\frac{1}{x}=0$，即$x+\frac{1}{x}=3$；
代入得$(x-\frac{1}{x})^2=3^2-4=5$。
【答案】
(1) $4ab=(a+b)^2-(a-b)^2$，验证成立；
(2) $a-b=±1$；
(3) $(x-\frac{1}{x})^2=(x+\frac{1}{x})^2-4$，$x+\frac{1}{x}=3$，$(x-\frac{1}{x})^2=5$。
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、分式的基本性质
【点评】
本题结合几何图形考查代数公式的应用，体现数形结合思想，要求熟练掌握完全平方公式的变形，同时具备代数运算和方程变形能力，第(3)问中对等式$x^2-3x+1=0$两边除以$x$的处理是关键，需注意隐含条件$x≠0$。
【难度系数】
0.6