例4 （温州市）
(1)计算:$(4a^{2}b-8a^{2})÷(2a)^{2}$。
(2)化简:$(m-2)^{2}-m(m-2)$。

(1)原式=$(4a^{2}b-8a^{2})÷4a^{2}=b-2$。
(2)原式=$m^{2}-4m+4-m^{2}+2m=4-2m$。

【分析】
第(1)题，先计算除数的乘方，再利用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以该单项式，最后合并结果；第(2)题，先根据完全平方公式展开$(m-2)^2$，再计算单项式乘多项式$m(m-2)$，然后去括号、合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(2a)^2 = 4a^2$，
原式$=(4a^2b - 8a^2)÷4a^2$，
根据多项式除以单项式法则，每一项分别除以单项式：
$4a^2b÷4a^2 = b$，
$-8a^2÷4a^2 = -2$，
所以原式$=b - 2$。
(2) 根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，展开$(m-2)^2$得$m^2 -4m +4$，
计算单项式乘多项式：$m(m-2)=m^2 -2m$，
原式$=(m^2 -4m +4) - (m^2 -2m)$，
去括号得：$m^2 -4m +4 -m^2 +2m$，
合并同类项：$m^2 -m^2 =0$，$-4m +2m = -2m$，
所以原式$=4 -2m$。
【答案】
(1) $b - 2$；(2) $4 - 2m$
【知识点】
整式的除法、完全平方公式、合并同类项
【点评】
本题考查整式的基础运算，涉及乘方、多项式除以单项式、完全平方公式等知识点，属于初中代数核心基础题型，只要掌握相关运算法则即可正确解答，难度较低。
【难度系数】
0.8

例5 (金华市婺城区)已知$(x^2+px+8)(x^2-3x+q)$的展开式中不含$x^2,x^3$项,求$p,q$的值。

$(x^2+px+8)(x^2-3x+q)=x^4+(p-3)x^3+(8-3p+q)x^2+(pq-24)x+8q$,因为展开式中不含$x^2,x^3$项,
所以$\begin{cases} p-3=0, \\ 8-3p+q=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} p=3, \\ q=1。 \end{cases}$即求得p的值为3,q的值为1。

【分析】
要解决这个问题，首先利用多项式乘多项式的运算法则展开原式，再合并同类项找到$x^3$项和$x^2$项的系数；题目中“不含$x^2$、$x^3$项”意味着这两项的系数为0，据此列出关于$p$、$q$的方程组，解方程组即可求出$p$、$q$的值。
【解析】
根据多项式乘多项式的法则展开并合并同类项：
$\begin{aligned}&(x^2+px+8)(x^2-3x+q)\\=&x^4 - 3x^3 + qx^2 + px^3 - 3px^2 + pqx + 8x^2 - 24x + 8q\\=&x^4 + (p-3)x^3 + (8-3p+q)x^2 + (pq-24)x + 8q\end{aligned}$
因为展开式中不含$x^2$、$x^3$项，所以这两项的系数为0，可得方程组：
$\begin{cases}p-3=0 \\8-3p+q=0\end{cases}$
解第一个方程得$p=3$，将$p=3$代入第二个方程：$8-3×3+q=0$，解得$q=1$。
【答案】
$p=3$，$q=1$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；一元一次方程组
【点评】
本题是整式乘法的基础应用，核心是理解“多项式不含某一项则该项系数为0”的条件，通过展开、合并同类项建立方程求解，题型常规，难度适中。
【难度系数】
0.6

4.(诸暨市)下列计算中,错误的是
()

A.$(a^{2})^{3}÷a^{4}=a^{2}$
B.$(-\dfrac{5}{2}x^{2})·(-2x)=5x^{3}$
C.$(a-b)·(-a+b)=-a^{2}-b^{2}$
D.$(x-1)(x+3)=x^{2}+2x-3$

C

【分析】
本题是判断整式运算的正误，需根据幂的运算、单项式乘单项式、多项式乘多项式的运算法则，逐个计算选项中的式子，找出计算错误的选项。
【解析】
选项A：根据幂的乘方法则，$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6$；再根据同底数幂的除法法则，$a^6÷a^4=a^{6-4}=a^2$，计算正确。
选项B：单项式乘单项式，系数相乘、同底数幂分别相乘，$(-\frac{5}{2}x^2)·(-2x)=(-\frac{5}{2})×(-2)·x^{2+1}=5x^3$，计算正确。
选项C：先变形式子，$(a-b)·(-a+b)=(a-b)·[-(a-b)]=-(a-b)^2$；展开得$-(a^2-2ab+b^2)=-a^2+2ab-b^2$，与选项中的$-a^2-b^2$不符，计算错误。
选项D：多项式乘多项式，$(x-1)(x+3)=x·x +x·3 -1·x -1×3=x^2+3x-x-3=x^2+2x-3$，计算正确。
综上，错误的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
整式的运算、幂的乘方、多项式乘多项式
【点评】
本题考查整式的基本运算，核心是掌握幂的运算法则、单项式与多项式的乘法法则，通过逐个计算验证即可得出答案，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6

5.(杭州市萧山区)计算:
(1)$(-a)^{5}÷a^{2}+(2a)^{3}$。
(2)$(2x-1)^{2}+2x(1-2x)$。

(1)原式=$-a^{5}÷a^{2}+8a^{3}=-a^{3}+8a^{3}=7a^{3}$。
(2)原式=$4x^{2}-4x+1+2x-4x^{2}=-2x+1$。

【分析】
这是两道整式的混合运算题，解题思路如下：
1. 第(1)题：先分别计算乘方项，利用积的乘方法则算出$(-a)^5$和$(2a)^3$，再根据同底数幂的除法法则计算除法项，最后合并同类项得到结果；
2. 第(2)题：先利用完全平方公式展开$(2x-1)^2$，再展开单项式乘多项式项$2x(1-2x)$，最后合并同类项化简得到结果。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-a)^5 = -a^5$，$(2a)^3 = 8a^3$；再计算除法：$-a^5 ÷ a^2 = -a^{5-2} = -a^3$；最后合并同类项：$-a^3 + 8a^3 = 7a^3$，即原式结果为$7a^3$。
(2) 先利用完全平方公式展开：$(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$；再展开单项式乘多项式：$2x(1-2x) = 2x - 4x^2$；最后合并同类项：$4x^2 - 4x +1 +2x -4x^2 = (-4x +2x) + (4x^2 -4x^2) +1 = -2x +1$，即原式结果为$-2x +1$。
【答案】
(1)$7a^{3}$；(2)$-2x+1$
【知识点】
整式的混合运算、幂的运算、完全平方公式
【点评】
本题考查整式的基本运算，涉及幂的运算法则、完全平方公式及合并同类项，属于基础题型，解题时需注意符号处理和公式的正确应用，避免计算失误。
【难度系数】
0.8

6.(杭州市上城区)计算:
(1)$(2a+5b)(2a-5b)-(4a+b)^2$。
(2)$(4c^3d^2-6c^2d^2)÷(-3c^3d)$。

(1)原式=$4a^{2}-25b^{2}-16a^{2}-8ab-b^{2}$
$=-12a^{2}-8ab-26b^{2}$。
(2)原式=$-\dfrac{4}{3}d+\dfrac{2d}{c}$。

【分析】
第(1)题需先运用平方差公式展开(2a+5b)(2a-5b)，再运用完全平方公式展开(4a+b)²，最后合并同类项；第(2)题利用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加，计算时注意符号和同底数幂的运算规则。
【解析】
(1) 原式 = (2a)² - (5b)² - [(4a)² + 2·4a·b + b²] = 4a² -25b² -16a² -8ab -b² = -12a² -8ab -26b²；
(2) 原式$ = 4c³d²÷(-3c³d) -6c²d²÷(-3c³d) = -\dfrac{4}{3}d + \dfrac{2d}{c}$。
【答案】
(1) -12a² -8ab -26b²；$(2) -\dfrac{4}{3}d + \dfrac{2d}{c}$
【知识点】
整式的混合运算、平方差公式、多项式除以单项式
【点评】
本题考查整式的基础运算，涵盖平方差公式、完全平方公式及多项式除以单项式法则，要求学生熟练掌握公式和运算法则，注意运算中的符号处理，属于常规基础题。
【难度系数】
0.6