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例9 计算：
(1)(杭州市拱墅区)$[(2m+n)^2 - n(4m+n) + 6m] ÷ 2m$。
(2)(余姚市)$(2x+3)(2x-3) - 4x(x-1) + (x-2)^2$。
(1)(杭州市拱墅区)$[(2m+n)^2 - n(4m+n) + 6m] ÷ 2m$。
(2)(余姚市)$(2x+3)(2x-3) - 4x(x-1) + (x-2)^2$。
答案
(1)原式=$(4m^2+4mn+n^2-4mn-n^2+6m)÷2m=(4m^2+6m)÷2m=2m+3$。
(2)原式=$4x^2-9-4x^2+4x+x^2-4x+4=x^2-5$。
(2)原式=$4x^2-9-4x^2+4x+x^2-4x+4=x^2-5$。
解析
【分析】
对于整式混合运算，需遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的顺序。第(1)题先利用完全平方公式展开$(2m+n)^2$，再计算单项式乘多项式$n(4m+n)$，合并中括号内的同类项后进行整式除法；第(2)题先利用平方差公式计算$(2x+3)(2x-3)$，再计算单项式乘多项式$4x(x-1)$和完全平方公式$(x-2)^2$，去括号后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先化简中括号内的式子：
$\begin{aligned}&[(2m+n)^2 - n(4m+n) + 6m] \\=&(4m^2 + 4mn + n^2 - 4mn - n^2 + 6m) \\=&4m^2 + 6m\end{aligned}$
再进行整式除法：
$(4m^2 + 6m) ÷ 2m = 2m + 3$
(2) 分别计算各项：
$\begin{aligned}&(2x+3)(2x-3) - 4x(x-1) + (x-2)^2 \\=&(4x^2 - 9) - (4x^2 - 4x) + (x^2 - 4x + 4) \\=&4x^2 - 9 - 4x^2 + 4x + x^2 - 4x + 4 \\=&x^2 - 5\end{aligned}$
【答案】
(1) $2m + 3$；(2) $x^2 - 5$
【知识点】
整式的混合运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查整式的基础混合运算，核心是掌握整式乘法公式、合并同类项法则及整式除法，解题时需注意去括号的符号变化，是代数运算的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
对于整式混合运算，需遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的顺序。第(1)题先利用完全平方公式展开$(2m+n)^2$，再计算单项式乘多项式$n(4m+n)$，合并中括号内的同类项后进行整式除法；第(2)题先利用平方差公式计算$(2x+3)(2x-3)$，再计算单项式乘多项式$4x(x-1)$和完全平方公式$(x-2)^2$，去括号后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先化简中括号内的式子：
$\begin{aligned}&[(2m+n)^2 - n(4m+n) + 6m] \\=&(4m^2 + 4mn + n^2 - 4mn - n^2 + 6m) \\=&4m^2 + 6m\end{aligned}$
再进行整式除法：
$(4m^2 + 6m) ÷ 2m = 2m + 3$
(2) 分别计算各项：
$\begin{aligned}&(2x+3)(2x-3) - 4x(x-1) + (x-2)^2 \\=&(4x^2 - 9) - (4x^2 - 4x) + (x^2 - 4x + 4) \\=&4x^2 - 9 - 4x^2 + 4x + x^2 - 4x + 4 \\=&x^2 - 5\end{aligned}$
【答案】
(1) $2m + 3$；(2) $x^2 - 5$
【知识点】
整式的混合运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查整式的基础混合运算，核心是掌握整式乘法公式、合并同类项法则及整式除法，解题时需注意去括号的符号变化，是代数运算的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
例10 (德清县)先化简,再求值:$x(x-1)-(x-2)^2$,其中$x=-1$。
答案
原式=$x^2-x-x^2+4x-4=3x-4$。当$x=-1$时,原式=$-3-4=-7$。
解析
【分析】本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用单项式乘多项式法则展开$x(x-1)$，再根据完全平方公式展开$(x-2)^2$，接着去括号并合并同类项得到最简整式，最后将$x=-1$代入最简式计算出结果。
【解析】解：展开各项：
$x(x-1)=x^2 - x$，
$(x-2)^2=x^2 - 4x + 4$，
原式$=x^2 - x - (x^2 - 4x + 4)$
去括号得：$x^2 - x - x^2 + 4x - 4$
合并同类项得：$3x - 4$
当$x=-1$时，代入得：$3×(-1) - 4 = -7$
【答案】-7
【知识点】整式乘法、完全平方公式、合并同类项
【点评】本题考查整式化简求值的基础运算，关键在于正确运用整式运算法则与公式，注意去括号时的符号变化，合并同类项需准确，代入求值时计算仔细，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】解：展开各项：
$x(x-1)=x^2 - x$，
$(x-2)^2=x^2 - 4x + 4$，
原式$=x^2 - x - (x^2 - 4x + 4)$
去括号得：$x^2 - x - x^2 + 4x - 4$
合并同类项得：$3x - 4$
当$x=-1$时，代入得：$3×(-1) - 4 = -7$
【答案】-7
【知识点】整式乘法、完全平方公式、合并同类项
【点评】本题考查整式化简求值的基础运算，关键在于正确运用整式运算法则与公式，注意去括号时的符号变化，合并同类项需准确，代入求值时计算仔细，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】0.8
10.(杭州市西湖区)若代数式$x^2+4x+3$可以表示为$(x-1)^2+a(x-1)+b$的形式，则$a+b=$
14
。答案
14
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用多项式恒等的性质：两个多项式相等时，对应同类项的系数相等。首先将右边的式子展开并合并同类项，再与左边的代数式对比，求出a、b的值，最后计算a+b。
【解析】
1. 展开右边的代数式：
$\begin{aligned}(x-1)^2 + a(x-1) + b&=x^2 -2x +1 +ax -a +b\\&=x^2 + (a-2)x + (1 -a +b)\end{aligned}$
2. 对比左右两边代数式的同类项系数：
左边为$x^2 +4x +3$，因此：
$x$的系数：$a -2 =4$，解得$a=6$；
常数项：$1 -a +b=3$，将$a=6$代入得$1 -6 +b=3$，解得$b=8$；
3. 计算$a+b$：$a+b=6+8=14$。
【答案】
14
【知识点】
多项式恒等、代数式展开
【点评】
本题考查多项式恒等变形的基本应用，通过展开对应系数求解参数，是初中代数的基础题型，需掌握同类项系数相等的性质。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用多项式恒等的性质：两个多项式相等时，对应同类项的系数相等。首先将右边的式子展开并合并同类项，再与左边的代数式对比，求出a、b的值，最后计算a+b。
【解析】
1. 展开右边的代数式：
$\begin{aligned}(x-1)^2 + a(x-1) + b&=x^2 -2x +1 +ax -a +b\\&=x^2 + (a-2)x + (1 -a +b)\end{aligned}$
2. 对比左右两边代数式的同类项系数：
左边为$x^2 +4x +3$，因此：
$x$的系数：$a -2 =4$，解得$a=6$；
常数项：$1 -a +b=3$，将$a=6$代入得$1 -6 +b=3$，解得$b=8$；
3. 计算$a+b$：$a+b=6+8=14$。
【答案】
14
【知识点】
多项式恒等、代数式展开
【点评】
本题考查多项式恒等变形的基本应用，通过展开对应系数求解参数，是初中代数的基础题型，需掌握同类项系数相等的性质。
【难度系数】
0.6
11.(杭州市上城区)有A,B两个长方体,它们的体积相等,长方体A的宽为a,长比宽多3,高比宽的2倍少2,长方体B的高为$a-1$,则长方体B的底面积为
2a(a+3)
(用含a的代数式表示)。答案
2a(a+3)
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是利用“两个长方体体积相等”的条件，先求出长方体A的体积，再根据长方体体积公式（体积=底面积×高），用A的体积除以长方体B的高，即可得到B的底面积。具体步骤为：1. 先根据A的宽表示出A的长和高；2. 计算A的体积；3. 利用体积相等，用A的体积除以B的高，化简后得到B的底面积。
【解析】
1. 确定长方体A的长、高：
已知A的宽为$a$，长比宽多3，则长为$a+3$；高比宽的2倍少2，则高为$2a-2$。
2. 计算长方体A的体积：
长方体体积=长×宽×高，所以A的体积为：
$V_A = a × (a+3) × (2a-2)$
3. 求长方体B的底面积：
因为A、B体积相等，即$V_B = V_A$，且B的高为$a-1$，又因为长方体底面积=体积÷高，所以B的底面积为：
$S_B = V_B ÷ (a-1) = [a(a+3)(2a-2)] ÷ (a-1)$
对式子化简：$2a-2 = 2(a-1)$，代入得：
$S_B = [a(a+3) × 2(a-1)] ÷ (a-1) = 2a(a+3)$
【答案】
$2a(a+3)$
【知识点】
长方体体积公式、整式的乘除运算、代数式化简
【点评】
本题结合长方体体积公式考查代数式的化简，关键在于利用体积相等建立关系，化简时注意对多项式因式分解后约分，属于基础题型，需掌握整式运算的基本方法。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，核心是利用“两个长方体体积相等”的条件，先求出长方体A的体积，再根据长方体体积公式（体积=底面积×高），用A的体积除以长方体B的高，即可得到B的底面积。具体步骤为：1. 先根据A的宽表示出A的长和高；2. 计算A的体积；3. 利用体积相等，用A的体积除以B的高，化简后得到B的底面积。
【解析】
1. 确定长方体A的长、高：
已知A的宽为$a$，长比宽多3，则长为$a+3$；高比宽的2倍少2，则高为$2a-2$。
2. 计算长方体A的体积：
长方体体积=长×宽×高，所以A的体积为：
$V_A = a × (a+3) × (2a-2)$
3. 求长方体B的底面积：
因为A、B体积相等，即$V_B = V_A$，且B的高为$a-1$，又因为长方体底面积=体积÷高，所以B的底面积为：
$S_B = V_B ÷ (a-1) = [a(a+3)(2a-2)] ÷ (a-1)$
对式子化简：$2a-2 = 2(a-1)$，代入得：
$S_B = [a(a+3) × 2(a-1)] ÷ (a-1) = 2a(a+3)$
【答案】
$2a(a+3)$
【知识点】
长方体体积公式、整式的乘除运算、代数式化简
【点评】
本题结合长方体体积公式考查代数式的化简，关键在于利用体积相等建立关系，化简时注意对多项式因式分解后约分，属于基础题型，需掌握整式运算的基本方法。
【难度系数】
0.5
