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1.(德清县)计算$(-3x^{3})^{2}$的结果正确的是 (
A.$-6x^{5}$
B.$9x^{6}$
C.$9x^{5}$
D.$-3x^{6}$
B
)A.$-6x^{5}$
B.$9x^{6}$
C.$9x^{5}$
D.$-3x^{6}$
答案
B
解析
【分析】本题考查幂的运算，解题思路是：根据积的乘方和幂的乘方的运算法则，分别计算系数与字母因式的乘方结果，再结合选项选出正确答案。需注意负数的平方为正数，避免符号错误，同时牢记幂运算的指数规则。
【解析】根据积的乘方法则：$(ab)^n = a^n b^n$，将$(-3x^3)^2$展开为$(-3)^2 × (x^3)^2$；再根据幂的乘方法则：$(a^m)^n = a^{mn}$，计算得：$9 × x^{3×2} = 9x^6$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】积的乘方、幂的乘方运算
【点评】本题是整式幂运算的基础题型，核心考查积的乘方与幂的乘方的运算法则，只要掌握法则并注意符号处理即可快速得出结果，是初中数学的常考基础题。
【难度系数】0.8
【解析】根据积的乘方法则：$(ab)^n = a^n b^n$，将$(-3x^3)^2$展开为$(-3)^2 × (x^3)^2$；再根据幂的乘方法则：$(a^m)^n = a^{mn}$，计算得：$9 × x^{3×2} = 9x^6$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】积的乘方、幂的乘方运算
【点评】本题是整式幂运算的基础题型，核心考查积的乘方与幂的乘方的运算法则，只要掌握法则并注意符号处理即可快速得出结果，是初中数学的常考基础题。
【难度系数】0.8
2.(温州市)定义一种新运算：$m△ n=m^n$，则$3△(-2)$的值是 (
A.$-9$
B.$\dfrac{1}{9}$
C.$\dfrac{1}{8}$
D.$-8$
B
)A.$-9$
B.$\dfrac{1}{9}$
C.$\dfrac{1}{8}$
D.$-8$
答案
B
解析
【分析】本题是新定义运算题型，解题时需先明确新运算的规则：题目定义$m△ n=m^n$，即“△”运算表示前一个数作为底数，后一个数作为指数的幂运算。接下来将所求式子中的数对应到新运算的$m$和$n$，再结合负整数指数幂的运算法则计算结果，最后匹配选项即可。
【解析】根据新运算的定义$m△ n=m^n$，可知$3△(-2)$中，$m=3$，$n=-2$，代入得：$3△(-2)=3^{-2}$。根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），因此$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】新定义运算、负整数指数幂
【点评】本题考查新定义运算与负整数指数幂的基础应用，难度较低，只要准确理解新运算规则并掌握负指数幂的计算方法，即可快速得出正确答案，属于基础得分题。
【难度系数】0.8
【解析】根据新运算的定义$m△ n=m^n$，可知$3△(-2)$中，$m=3$，$n=-2$，代入得：$3△(-2)=3^{-2}$。根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），因此$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】新定义运算、负整数指数幂
【点评】本题考查新定义运算与负整数指数幂的基础应用，难度较低，只要准确理解新运算规则并掌握负指数幂的计算方法，即可快速得出正确答案，属于基础得分题。
【难度系数】0.8
3.(宁波市鄞州区)下列计算中,结果正确的是 (
A.$a^{3}×a^{4}=a^{12}$
B.$a^{5}÷a=a^{5}$
C.$(ab^{2})^{3}=ab^{6}$
D.$(a^{3})^{2}=a^{6}$
D
)A.$a^{3}×a^{4}=a^{12}$
B.$a^{5}÷a=a^{5}$
C.$(ab^{2})^{3}=ab^{6}$
D.$(a^{3})^{2}=a^{6}$
答案
D
解析
【分析】本题考查幂的相关运算，需熟练掌握同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则，逐一分析每个选项，判断计算结果是否正确。
【解析】
选项A：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$，则$a^3 × a^4 = a^{3+4} = a^7 ≠ a^{12}$，A错误；
选项B：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$），则$a^5 ÷ a = a^{5-1} = a^4 ≠ a^5$，B错误；
选项C：根据积的乘方与幂的乘方法则，$(ab^2)^3 = a^3 · (b^2)^3 = a^3 b^{2×3} = a^3 b^6 ≠ ab^6$，C错误；
选项D：根据幂的乘方法则，$(a^3)^2 = a^{3×2} = a^6$，D正确。
【答案】D
【知识点】同底数幂的运算、幂的乘方与积的乘方
【点评】本题为基础幂运算题，核心考查幂的相关运算法则，只要牢记各法则的指数变化规则即可正确判断，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.8
【解析】
选项A：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$，则$a^3 × a^4 = a^{3+4} = a^7 ≠ a^{12}$，A错误；
选项B：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$），则$a^5 ÷ a = a^{5-1} = a^4 ≠ a^5$，B错误；
选项C：根据积的乘方与幂的乘方法则，$(ab^2)^3 = a^3 · (b^2)^3 = a^3 b^{2×3} = a^3 b^6 ≠ ab^6$，C错误；
选项D：根据幂的乘方法则，$(a^3)^2 = a^{3×2} = a^6$，D正确。
【答案】D
【知识点】同底数幂的运算、幂的乘方与积的乘方
【点评】本题为基础幂运算题，核心考查幂的相关运算法则，只要牢记各法则的指数变化规则即可正确判断，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.8
4.(龙泉市)若$a-b=10$，$ab=8$，则$a^2+b^2$等于 (
A.116
B.100
C.84
D.64
A
)A.116
B.100
C.84
D.64
答案
A
解析
【分析】这道题考查完全平方公式的应用，解题思路是利用完全平方公式的变形，将所求的$a^2 + b^2$转化为已知的$a - b$和$ab$的表达式，再代入数值计算。首先回忆完全平方公式：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，对其变形可得到$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$，这样就能用已知条件直接计算结果。
【解析】根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，变形可得：$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$。将$a - b = 10$，$ab = 8$代入式子，计算得：$10^2 + 2×8 = 100 + 16 = 116$。
【答案】A
【知识点】完全平方公式的应用
【点评】本题是代数求值的基础题，核心是完全平方公式的灵活变形，只要掌握公式的结构就能快速解题，属于易得分题。
【难度系数】0.8
【解析】根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，变形可得：$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$。将$a - b = 10$，$ab = 8$代入式子，计算得：$10^2 + 2×8 = 100 + 16 = 116$。
【答案】A
【知识点】完全平方公式的应用
【点评】本题是代数求值的基础题，核心是完全平方公式的灵活变形，只要掌握公式的结构就能快速解题，属于易得分题。
【难度系数】0.8
5.(余姚市)若$2^m=3,2^n=5$,则$2^{2m+3n}$的值为 (
A.21
B.90
C.134
D.1125
D
)A.21
B.90
C.134
D.1125
答案
D
解析
【分析】要计算$2^{2m+3n}$的值，需利用幂的运算公式对指数拆分变形。根据幂的乘方公式$a^{bc}=(a^b)^c$和同底数幂的乘法公式$a^{b+c}=a^b · a^c$，可将$2^{2m+3n}$转化为$(2^m)^2 · (2^n)^3$，再代入已知的$2^m=3$、$2^n=5$计算即可。
【解析】根据幂的乘方运算法则：$2^{2m}=(2^m)^2$，$2^{3n}=(2^n)^3$；再根据同底数幂的乘法运算法则：$2^{2m+3n}=2^{2m} · 2^{3n}$，因此：
$\begin{aligned}2^{2m+3n}&=(2^m)^2 · (2^n)^3\\&=3^2 × 5^3\\&=9 × 125\\&=1125\end{aligned}$
【答案】D
【知识点】幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】本题考查幂的运算公式的应用，核心是对幂的乘方和同底数幂乘法法则的逆用，属于初中数学幂运算的基础题型，只要熟练掌握公式即可快速求解，难度不大。
【难度系数】0.7
【解析】根据幂的乘方运算法则：$2^{2m}=(2^m)^2$，$2^{3n}=(2^n)^3$；再根据同底数幂的乘法运算法则：$2^{2m+3n}=2^{2m} · 2^{3n}$，因此：
$\begin{aligned}2^{2m+3n}&=(2^m)^2 · (2^n)^3\\&=3^2 × 5^3\\&=9 × 125\\&=1125\end{aligned}$
【答案】D
【知识点】幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】本题考查幂的运算公式的应用，核心是对幂的乘方和同底数幂乘法法则的逆用，属于初中数学幂运算的基础题型，只要熟练掌握公式即可快速求解，难度不大。
【难度系数】0.7
6.(金华市金东区)如果$(x+4)(x-5)=x^2+px+q$，那么$p,q$的值是 (
A.$p=1,q=20$
B.$p=1,q=-20$
C.$p=-1,q=20$
D.$p=-1,q=-20$
D
)A.$p=1,q=20$
B.$p=1,q=-20$
C.$p=-1,q=20$
D.$p=-1,q=-20$
答案
D
解析
【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路是：先利用多项式乘多项式法则展开等式左边的式子，合并同类项后，与等式右边的多项式进行对应系数比较，即可求出p、q的值，进而选出正确选项。
【解析】根据多项式乘多项式法则展开左边式子：
$(x+4)(x-5) = x·x + x·(-5) + 4·x + 4·(-5) = x^2 -5x +4x -20$
合并同类项得：$x^2 -x -20$
因为$(x+4)(x-5)=x^2+px+q$，所以对应多项式的系数相等：一次项系数$p=-1$，常数项$q=-20$，故答案为D。
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式，整式的系数对应
【点评】本题属于整式运算的基础题型，主要考查多项式乘多项式的法则，难度不大，只要熟练掌握运算法则并准确合并同类项，就能快速得出结果。
【难度系数】0.8
【解析】根据多项式乘多项式法则展开左边式子：
$(x+4)(x-5) = x·x + x·(-5) + 4·x + 4·(-5) = x^2 -5x +4x -20$
合并同类项得：$x^2 -x -20$
因为$(x+4)(x-5)=x^2+px+q$，所以对应多项式的系数相等：一次项系数$p=-1$，常数项$q=-20$，故答案为D。
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式，整式的系数对应
【点评】本题属于整式运算的基础题型，主要考查多项式乘多项式的法则，难度不大，只要熟练掌握运算法则并准确合并同类项，就能快速得出结果。
【难度系数】0.8
7.(绍兴市上虞区)如图1,将一个边长为$a$的正方形纸片剪去两个小长方形,得到一个“$S$”形图案,如图2,
再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形,如图3,则新长方形的周长可表示为 (
A.$4a-8b$
B.$2a-3b$
C.$2a-46$
D.$4a-10b$
再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形,如图3,则新长方形的周长可表示为 (
A
)A.$4a-8b$
B.$2a-3b$
C.$2a-46$
D.$4a-10b$
答案
A
解析
【分析】要解决这个问题，需先确定剪下的两个小长方形的长和宽，再明确拼接后新长方形的长和宽，最后利用长方形周长公式计算。观察图形可知，剪下的两个小长方形的长均为$(a - b)$，宽均为$(a - 3b)$，拼接后新长方形的长和宽可由此推导得出。
【解析】根据图形，剪下的小长方形的长为$(a - b)$，宽为$(a - 3b)$，拼成的新长方形的长为$(a - b)$，宽为$(a - 3b)$。根据长方形周长公式：周长$=2×($长$+$宽$)$，代入得：
周长$=2×[(a - b)+(a - 3b)]=2×(2a - 4b)=4a - 8b$。
【答案】A
【知识点】长方形周长计算、整式加减
【点评】本题通过图形剪拼考查整式运算与周长公式的应用，核心是确定新长方形的长和宽，需结合图形尺寸分析，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】根据图形，剪下的小长方形的长为$(a - b)$，宽为$(a - 3b)$，拼成的新长方形的长为$(a - b)$，宽为$(a - 3b)$。根据长方形周长公式：周长$=2×($长$+$宽$)$，代入得：
周长$=2×[(a - b)+(a - 3b)]=2×(2a - 4b)=4a - 8b$。
【答案】A
【知识点】长方形周长计算、整式加减
【点评】本题通过图形剪拼考查整式运算与周长公式的应用，核心是确定新长方形的长和宽，需结合图形尺寸分析，难度适中。
【难度系数】0.5
8.(余姚市)观察等式:9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,…,设n为正整数,下列等式中,符合上述规律的是 (
A.$(n+2)^2 - n^2 = 4n + 1$
B.$(n+1)^2 - (n-1)^2 = 4n$
C.$(n+2)^2 - n^2 = 4n + 4$
D.$(n+2)^2 - n^2 = 2(n+1)$
C
)A.$(n+2)^2 - n^2 = 4n + 1$
B.$(n+1)^2 - (n-1)^2 = 4n$
C.$(n+2)^2 - n^2 = 4n + 4$
D.$(n+2)^2 - n^2 = 2(n+1)$
答案
C
解析
【分析】首先观察给出的等式，明确每个等式的结构规律：等式左边是两个数的平方差，被减数的底数比减数的底数大2；等式右边的结果是公差为4的等差数列。我们用正整数n表示序号，推导一般式后对比选项即可得出答案。
【解析】将已知等式转化为含正整数k的形式：当k=1时，(1+2)² -1²=9-1=8；k=2时，(2+2)² -2²=16-4=12；k=3时，(3+2)² -3²=25-9=16；k=4时，(4+2)² -4²=36-16=20。由此可得第k个等式的一般形式为：(k+2)² -k²。展开计算该式：(k²+4k+4)-k²=4k+4。对比选项，选项C的式子为(n+2)² -n²=4n+4，与推导结果一致。
【答案】C
【知识点】找规律、整式的运算
【点评】本题通过观察等式归纳规律，再结合整式运算验证，考查学生的归纳推理能力和代数运算能力，是基础的规律探究题。
【难度系数】0.5
【解析】将已知等式转化为含正整数k的形式：当k=1时，(1+2)² -1²=9-1=8；k=2时，(2+2)² -2²=16-4=12；k=3时，(3+2)² -3²=25-9=16；k=4时，(4+2)² -4²=36-16=20。由此可得第k个等式的一般形式为：(k+2)² -k²。展开计算该式：(k²+4k+4)-k²=4k+4。对比选项，选项C的式子为(n+2)² -n²=4n+4，与推导结果一致。
【答案】C
【知识点】找规律、整式的运算
【点评】本题通过观察等式归纳规律，再结合整式运算验证，考查学生的归纳推理能力和代数运算能力，是基础的规律探究题。
【难度系数】0.5
9.(杭州市余杭区)有一个运算程序,当$a\bigoplus b=n$($n$为常数)时,得$(a+1)\bigoplus b=n+1$,$a\bigoplus (b+1)=n+2$,那么$(a+2)\bigoplus (b+1)$等于 (
A.$n+2$
B.$n+3$
C.$n+4$
D.$n+5$
C
)A.$n+2$
B.$n+3$
C.$n+4$
D.$n+5$
答案
C
【解析】因为$a\bigoplus b=n,(a+1)\bigoplus b=n+1,a\bigoplus(b+1)=n+2$,所以$a$每增加1,结果增加1;$b$每增加1,结果增加2。
所以$(a+2)\bigoplus(b+1)=n+1×2+2×1=n+4$。
【解析】因为$a\bigoplus b=n,(a+1)\bigoplus b=n+1,a\bigoplus(b+1)=n+2$,所以$a$每增加1,结果增加1;$b$每增加1,结果增加2。
所以$(a+2)\bigoplus(b+1)=n+1×2+2×1=n+4$。
解析
【分析】首先明确题目给出的新运算规则：当$a\bigoplus b=n$（$n$为常数）时，$a$每增加1，运算结果增加1；$b$每增加1，运算结果增加2。要求$(a+2)\bigoplus (b+1)$，可分步推导：先计算$a$增加2后的结果，再在此基础上计算$b$增加1后的结果，逐步代入规则即可得出答案。
【解析】已知$a\bigoplus b=n$，根据运算规则：
1. 当$a$增加1时，$(a+1)\bigoplus b = n +1$，则$a$增加2时，$(a+2)\bigoplus b = (n+1)+1 = n+2$；
2. 再让$b$增加1，可得$(a+2)\bigoplus (b+1) = (n+2)+2 = n+4$。
【答案】C
【知识点】新定义运算、代数式求值
【点评】本题为新定义运算题，核心是理解运算中变量$a$、$b$的变化对结果的影响，通过分步推导即可快速求解，重点考查对新规则的理解与应用能力。
【难度系数】0.6
【解析】已知$a\bigoplus b=n$，根据运算规则：
1. 当$a$增加1时，$(a+1)\bigoplus b = n +1$，则$a$增加2时，$(a+2)\bigoplus b = (n+1)+1 = n+2$；
2. 再让$b$增加1，可得$(a+2)\bigoplus (b+1) = (n+2)+2 = n+4$。
【答案】C
【知识点】新定义运算、代数式求值
【点评】本题为新定义运算题，核心是理解运算中变量$a$、$b$的变化对结果的影响，通过分步推导即可快速求解，重点考查对新规则的理解与应用能力。
【难度系数】0.6
10.(杭州市拱墅区)我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘(今浙江杭州)人,如图所示为他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”,此图揭示了$(a+b)^n$($n$为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律。由此规律可解决问题:假如今天是星期三,再过7天还是星期三,那么再过$8^7$天是 (
A.星期二
B.星期三
C.星期四
D.星期五
C
)A.星期二
B.星期三
C.星期四
D.星期五
答案
C
【解析】$8^7=(1+7)^7=1^7+7×1^6×7+21×1^5×7^2+35×1^4×7^3+35×1^3×7^4+21×1^2×7^5+7×1×7^6+7^7=7n+1$,
所以再过$8^7$天是星期四。
【解析】$8^7=(1+7)^7=1^7+7×1^6×7+21×1^5×7^2+35×1^4×7^3+35×1^3×7^4+21×1^2×7^5+7×1×7^6+7^7=7n+1$,
所以再过$8^7$天是星期四。
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用“一周7天”的周期规律，核心是计算8⁷除以7的余数，余数对应星期的偏移量。首先将8转化为1+7，结合杨辉三角对应的二项式展开规律，分析展开式中各项能否被7整除，确定余数后，再结合初始的星期三推算最终星期几。
【解析】
一周有7天，星期几的周期为7，因此只需计算8⁷除以7的余数，即可确定再过8⁷天是星期几。
将8改写为1+7，根据二项式定理（对应杨辉三角的系数规律），展开(1+7)⁷：
(1+7)⁷ = C₇⁰·1⁷·7⁰ + C₇¹·1⁶·7¹ + C₇²·1⁵·7² + … + C₇⁷·7⁷
观察展开式，从第二项开始，每一项都含有因数7，均为7的倍数，可表示为7n（n为整数）；仅第一项C₇⁰·1⁷·7⁰=1，因此：
8⁷ = (1+7)⁷ = 7n + 1
即8⁷除以7的余数为1。
今天是星期三，再过1天是星期四，故再过8⁷天是星期四。
【答案】
C
【知识点】
二项式定理、余数的应用
【点评】
本题结合杨辉三角的二项式展开规律，利用周期的余数性质解决实际日期推算问题，关键是将底数转化为“1+7”的形式简化余数计算，体现了数学知识在生活中的应用。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用“一周7天”的周期规律，核心是计算8⁷除以7的余数，余数对应星期的偏移量。首先将8转化为1+7，结合杨辉三角对应的二项式展开规律，分析展开式中各项能否被7整除，确定余数后，再结合初始的星期三推算最终星期几。
【解析】
一周有7天，星期几的周期为7，因此只需计算8⁷除以7的余数，即可确定再过8⁷天是星期几。
将8改写为1+7，根据二项式定理（对应杨辉三角的系数规律），展开(1+7)⁷：
(1+7)⁷ = C₇⁰·1⁷·7⁰ + C₇¹·1⁶·7¹ + C₇²·1⁵·7² + … + C₇⁷·7⁷
观察展开式，从第二项开始，每一项都含有因数7，均为7的倍数，可表示为7n（n为整数）；仅第一项C₇⁰·1⁷·7⁰=1，因此：
8⁷ = (1+7)⁷ = 7n + 1
即8⁷除以7的余数为1。
今天是星期三，再过1天是星期四，故再过8⁷天是星期四。
【答案】
C
【知识点】
二项式定理、余数的应用
【点评】
本题结合杨辉三角的二项式展开规律，利用周期的余数性质解决实际日期推算问题，关键是将底数转化为“1+7”的形式简化余数计算，体现了数学知识在生活中的应用。
【难度系数】
0.5
