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一、选择题
1. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式. 下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是()
A.
B.
C.
D.
1. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式. 下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是()
A.
B.
C.
D.
答案
D
2. 在实数 $ 0.1011011101111··· $，$ 3.14 $，$ \dfrac{3}{5} $，$ 3.333··· $，$ -π $ 中，无理数有()
A.$ 2 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 4 $ 个
D.$ 5 $ 个
A.$ 2 $ 个
B.$ 3 $ 个
C.$ 4 $ 个
D.$ 5 $ 个
答案
A
解析
本题可根据无理数和有理数的定义来判断所给实数中无理数的个数。
明确无理数和有理数的定义：
无理数，也称为无限不循环小数；有理数是整数（正整数、$0$、负整数）和分数的统称，即有理数包括有限小数和无限循环小数。
依次分析所给实数：
$0.1011011101111···$：该数是无限不循环小数，所以是无理数。
$3.14$：是有限小数，属于有理数。
$\frac{3}{5}=0.6$，是分数，属于有理数。
$3.333···$：是无限循环小数，属于有理数。
$-π$：$π$是一个无限不循环小数，所以$-π$也是无限不循环小数，是无理数。
综上，无理数有$0.1011011101111···$，$ -π$，共$2$个。
明确无理数和有理数的定义：
无理数，也称为无限不循环小数；有理数是整数（正整数、$0$、负整数）和分数的统称，即有理数包括有限小数和无限循环小数。
依次分析所给实数：
$0.1011011101111···$：该数是无限不循环小数，所以是无理数。
$3.14$：是有限小数，属于有理数。
$\frac{3}{5}=0.6$，是分数，属于有理数。
$3.333···$：是无限循环小数，属于有理数。
$-π$：$π$是一个无限不循环小数，所以$-π$也是无限不循环小数，是无理数。
综上，无理数有$0.1011011101111···$，$ -π$，共$2$个。
3. 下列图形中，$ ∠ 1 $ 与 $ ∠ 2 $ 不是同位角的是()
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
B
解析
4. 如图所示，三角形 $ DEF $ 可以看作是三角形 $ ABC $ 沿直线 $ BC $ 平移得到的. 如果 $ AB = 9 $，$ DG = 5 $，那么线段 $ GE $ 的长是()
A.$ 2.5 $
B.$ 4 $
C.$ 4.5 $
D.$ 5 $
A.$ 2.5 $
B.$ 4 $
C.$ 4.5 $
D.$ 5 $
答案
B
解析
三角形 $DEF$ 是由三角形 $ABC$ 沿直线 $BC$ 平移得到的，说明两个三角形全等，且 $DE = AB = 9$。
已知 $DG = 5$，那么 $GE = DE - DG = 9 - 5 = 4$。
已知 $DG = 5$，那么 $GE = DE - DG = 9 - 5 = 4$。
5. 如图所示，在直角三角形 $ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ AC = 6 $，$ BC = 8 $，$ AB = 10 $. $ P $ 为 $ AB $ 所在直线上一动点，连接 $ PC $，则线段 $ PC $ 的最小值是()
A.$ 5 $
B.$ 4.8 $
C.$ 4.5 $
D.$ 4 $
A.$ 5 $
B.$ 4.8 $
C.$ 4.5 $
D.$ 4 $
答案
B
解析
在直角三角形中，点到直线的垂线段最短。过点C作AB的垂线，垂足为P，此时PC最小。根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· PC$，即$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× PC$，解得$PC=4.8$。
6. 提升题 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 $ A(1,1) $，$ B(-1,1) $，$ C(-1,-2) $，$ D(1,-2) $，动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发，以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形 $ ABCD $ 的边做环绕运动；另一动点 $ Q $ 从点 $ C $ 出发，以每秒 $ 3 $ 个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形 $ CBAD $ 的边做环绕运动. 当 $ P $，$ Q $ 两点第 $ 2024 $ 次相遇时，相遇点的坐标是()
A.$ (-1,-1) $
B.$ (-1,1) $
C.$ (-2,2) $
D.$ (1,1) $
A.$ (-1,-1) $
B.$ (-1,1) $
C.$ (-2,2) $
D.$ (1,1) $
答案
A
解析
首先确定四边形ABCD的形状和周长。由A(1,1)、B(-1,1)、C(-1,-2)、D(1,-2)可得：AB=2，BC=3，CD=2，DA=3，周长为10。
P从A出发逆时针运动，速度2单位/秒，周期为10÷2=5秒；Q从C出发顺时针运动，速度3单位/秒，周期为10÷3秒。
P、Q相对速度为2+3=5单位/秒，初始距离5单位，第一次相遇时间t=5÷5=1秒，位置B(-1,1)。
之后每共同运动10单位（周长）相遇一次，时间间隔10÷5=2秒。
相遇位置周期为5次：1次(-1,1)，2次(0,-2)，3次(1,1)，4次(-1,-1)，5次(1,-1)，之后循环。
2024÷5=404余4，第2024次为周期中第4次，位置(-1,-1)。
P从A出发逆时针运动，速度2单位/秒，周期为10÷2=5秒；Q从C出发顺时针运动，速度3单位/秒，周期为10÷3秒。
P、Q相对速度为2+3=5单位/秒，初始距离5单位，第一次相遇时间t=5÷5=1秒，位置B(-1,1)。
之后每共同运动10单位（周长）相遇一次，时间间隔10÷5=2秒。
相遇位置周期为5次：1次(-1,1)，2次(0,-2)，3次(1,1)，4次(-1,-1)，5次(1,-1)，之后循环。
2024÷5=404余4，第2024次为周期中第4次，位置(-1,-1)。
7. 若点 $ P(2,-3) $，则点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离是.
答案
3
8. 定义新运算“☆”：若 $ a☆b = \sqrt{ab + 1} $，则 $ 8☆(7☆5) = $.
答案
解：
1. 计算 $7☆5$：
$7☆5 = \sqrt{7 × 5 + 1} = \sqrt{35 + 1} = \sqrt{36} = 6$
2. 计算 $8☆(7☆5) = 8☆6$：
$8☆6 = \sqrt{8 × 6 + 1} = \sqrt{48 + 1} = \sqrt{49} = 7$
答案：7
1. 计算 $7☆5$：
$7☆5 = \sqrt{7 × 5 + 1} = \sqrt{35 + 1} = \sqrt{36} = 6$
2. 计算 $8☆(7☆5) = 8☆6$：
$8☆6 = \sqrt{8 × 6 + 1} = \sqrt{48 + 1} = \sqrt{49} = 7$
答案：7
解析
