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三、解答题(本大题有8个小题,共46分)
17.(4分)计算:
(1)$(π-3)^0 + 3^{-2}$;
(2)$(a^4b^3 - ab^4)÷(ab^3)$。
17.(4分)计算:
(1)$(π-3)^0 + 3^{-2}$;
(2)$(a^4b^3 - ab^4)÷(ab^3)$。
答案
17.(1)原式$=1+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$。
(2)原式$=a^3 - b$。
(2)原式$=a^3 - b$。
解析
【分析】
本题考查幂的运算及多项式除以单项式的运算，解题思路如下：
(1) 计算$(π-3)^0 + 3^{-2}$时，先利用零指数幂性质（非零数的0次幂为1）计算$(π-3)^0$，再利用负整数指数幂性质（$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$a≠0$）计算$3^{-2}$，最后求和即可。
(2) 计算$(a^4b^3 - ab^4)÷(ab^3)$时，根据多项式除以单项式法则，将多项式的每一项分别除以单项式$ab^3$，再把所得商相减，分别计算两项的除法后合并结果。
【解析】
(1) 原式$=(π-3)^0 + 3^{-2}$
根据零指数幂性质：$(π-3)^0=1$；根据负整数指数幂性质：$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
所以原式$=1+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$
(2) 原式$=(a^4b^3)÷(ab^3) - (ab^4)÷(ab^3)$
计算第一项：$(a^4b^3)÷(ab^3)=a^{4-1}b^{3-3}=a^3$
计算第二项：$(ab^4)÷(ab^3)=a^{1-1}b^{4-3}=b$
所以原式$=a^3 - b$
【答案】
(1) $\frac{10}{9}$；(2) $a^3 - b$
【知识点】
零指数幂运算、负整数指数幂运算、多项式除以单项式
【点评】
本题为初中代数基础运算题，核心考查幂的运算性质与多项式除以单项式法则，属于代数入门级考点，只要掌握基本公式即可正确解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的运算及多项式除以单项式的运算，解题思路如下：
(1) 计算$(π-3)^0 + 3^{-2}$时，先利用零指数幂性质（非零数的0次幂为1）计算$(π-3)^0$，再利用负整数指数幂性质（$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$，$a≠0$）计算$3^{-2}$，最后求和即可。
(2) 计算$(a^4b^3 - ab^4)÷(ab^3)$时，根据多项式除以单项式法则，将多项式的每一项分别除以单项式$ab^3$，再把所得商相减，分别计算两项的除法后合并结果。
【解析】
(1) 原式$=(π-3)^0 + 3^{-2}$
根据零指数幂性质：$(π-3)^0=1$；根据负整数指数幂性质：$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
所以原式$=1+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$
(2) 原式$=(a^4b^3)÷(ab^3) - (ab^4)÷(ab^3)$
计算第一项：$(a^4b^3)÷(ab^3)=a^{4-1}b^{3-3}=a^3$
计算第二项：$(ab^4)÷(ab^3)=a^{1-1}b^{4-3}=b$
所以原式$=a^3 - b$
【答案】
(1) $\frac{10}{9}$；(2) $a^3 - b$
【知识点】
零指数幂运算、负整数指数幂运算、多项式除以单项式
【点评】
本题为初中代数基础运算题，核心考查幂的运算性质与多项式除以单项式法则，属于代数入门级考点，只要掌握基本公式即可正确解答，难度较低。
【难度系数】
0.8
18.(4分)(1)计算:$\dfrac{2a}{a^2 - 4} - \dfrac{1}{a - 2}$；
(2)因式分解:$2x^2 - 4x + 2$。
(2)因式分解:$2x^2 - 4x + 2$。
答案
18.(1)原式$=\frac{2a-a-2}{(a+2)(a-2)}=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}=\frac{1}{a+2}$。
(2)原式$=2(x^2-2x+1)=2(x-1)^2$。
(2)原式$=2(x^2-2x+1)=2(x-1)^2$。
解析
【分析】
本题包含分式减法和因式分解两个小题：
1. 第(1)题是分式的减法运算，需先对分母因式分解确定最简公分母，再通分、合并分子后约分得到结果；
2. 第(2)题是因式分解，需先提取公因式，再利用完全平方公式完成分解。
【解析】
(1) 原式$=\dfrac{2a}{(a+2)(a-2)} - \dfrac{1}{a-2}$
通分，最简公分母为$(a+2)(a-2)$，则：
$=\dfrac{2a}{(a+2)(a-2)} - \dfrac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
合并分子：
$=\dfrac{2a - (a+2)}{(a+2)(a-2)} = \dfrac{2a - a - 2}{(a+2)(a-2)} = \dfrac{a-2}{(a+2)(a-2)}$
约分后得：
$=\dfrac{1}{a+2}$
(2) 原式先提取公因式2：
$=2(x^2 - 2x + 1)$
再利用完全平方公式$x^2 - 2x +1=(x-1)^2$，得：
$=2(x-1)^2$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{a+2}$；(2) $2(x-1)^2$
【知识点】
分式的加减法，因式分解-提公因式法，因式分解-完全平方公式
【点评】
本题是基础运算题，考察分式运算的通分、约分规则，以及因式分解的基本方法（提公因式法、公式法），属于学生需熟练掌握的核心知识点。
【难度系数】
0.8
本题包含分式减法和因式分解两个小题：
1. 第(1)题是分式的减法运算，需先对分母因式分解确定最简公分母，再通分、合并分子后约分得到结果；
2. 第(2)题是因式分解，需先提取公因式，再利用完全平方公式完成分解。
【解析】
(1) 原式$=\dfrac{2a}{(a+2)(a-2)} - \dfrac{1}{a-2}$
通分，最简公分母为$(a+2)(a-2)$，则：
$=\dfrac{2a}{(a+2)(a-2)} - \dfrac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
合并分子：
$=\dfrac{2a - (a+2)}{(a+2)(a-2)} = \dfrac{2a - a - 2}{(a+2)(a-2)} = \dfrac{a-2}{(a+2)(a-2)}$
约分后得：
$=\dfrac{1}{a+2}$
(2) 原式先提取公因式2：
$=2(x^2 - 2x + 1)$
再利用完全平方公式$x^2 - 2x +1=(x-1)^2$，得：
$=2(x-1)^2$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{a+2}$；(2) $2(x-1)^2$
【知识点】
分式的加减法，因式分解-提公因式法，因式分解-完全平方公式
【点评】
本题是基础运算题，考察分式运算的通分、约分规则，以及因式分解的基本方法（提公因式法、公式法），属于学生需熟练掌握的核心知识点。
【难度系数】
0.8
19.(4分)解方程(组)：
(1) $\begin{cases} 2x + y = 9, \\ x - y = 3; \end{cases}$
(2) $\dfrac{x}{x - 1} - 2 = \dfrac{1}{1 - x}$。
(1) $\begin{cases} 2x + y = 9, \\ x - y = 3; \end{cases}$
(2) $\dfrac{x}{x - 1} - 2 = \dfrac{1}{1 - x}$。
答案
19.(1)$\begin{cases} 2x+y=9 \ \ ①, \\ x-y=3 \ \ ②, \end{cases}$①+②,得$3x=12$,解得$x=4$,把$x=4$代入②,得$4-y=3$,解得$y=1$,所以方程组的解为$\begin{cases} x=4, \\ y=1。 \end{cases}$
(2)$\frac{x}{x-1}-2=\frac{1}{1-x}$,方程两边同时乘$(x-1)$,得$x-2(x-1)=-1$,去括号,得$x-2x+2=-1$,解得$x=3$,检验:把$x=3$代入$x-1≠0$,所以分式方程的解为$x=3$。
(2)$\frac{x}{x-1}-2=\frac{1}{1-x}$,方程两边同时乘$(x-1)$,得$x-2(x-1)=-1$,去括号,得$x-2x+2=-1$,解得$x=3$,检验:把$x=3$代入$x-1≠0$,所以分式方程的解为$x=3$。
解析
【分析】
第(1)问是二元一次方程组，观察两个方程中y的系数互为相反数，适合用加减消元法，将两方程相加消去y求出x，再代入方程求y；第(2)问是分式方程，先将分母统一为(x-1)，确定最简公分母，转化为整式方程求解后，必须检验解是否使分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases} 2x + y = 9 \ \ ① \\ x - y = 3 \ \ ② \end{cases}$，①+②得：$3x = 12$，解得$x = 4$。把$x = 4$代入②式，得$4 - y = 3$，解得$y = 1$。所以方程组的解为$\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}$。
(2) 对于分式方程$\dfrac{x}{x - 1} - 2 = \dfrac{1}{1 - x}$，先将右边变形为$-\dfrac{1}{x - 1}$，方程两边同时乘$(x - 1)$（$x≠1$），得$x - 2(x - 1) = -1$。去括号得：$x - 2x + 2 = -1$，合并同类项得：$-x + 2 = -1$，移项得：$-x = -3$，解得$x = 3$。检验：把$x = 3$代入$x - 1 = 2 ≠ 0$，所以分式方程的解为$x = 3$。
【答案】
19.(1)$\begin{cases} x=4, \\ y=1。 \end{cases}$(2)$x=3$。
【知识点】
二元一次方程组的解法；分式方程的解法
【点评】
本题考查二元一次方程组和分式方程的基础解法，属于常规题型，解题时需注意分式方程必须检验，加减消元法是解二元一次方程组的常用方法，步骤清晰即可完成。
【难度系数】
0.6
第(1)问是二元一次方程组，观察两个方程中y的系数互为相反数，适合用加减消元法，将两方程相加消去y求出x，再代入方程求y；第(2)问是分式方程，先将分母统一为(x-1)，确定最简公分母，转化为整式方程求解后，必须检验解是否使分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases} 2x + y = 9 \ \ ① \\ x - y = 3 \ \ ② \end{cases}$，①+②得：$3x = 12$，解得$x = 4$。把$x = 4$代入②式，得$4 - y = 3$，解得$y = 1$。所以方程组的解为$\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}$。
(2) 对于分式方程$\dfrac{x}{x - 1} - 2 = \dfrac{1}{1 - x}$，先将右边变形为$-\dfrac{1}{x - 1}$，方程两边同时乘$(x - 1)$（$x≠1$），得$x - 2(x - 1) = -1$。去括号得：$x - 2x + 2 = -1$，合并同类项得：$-x + 2 = -1$，移项得：$-x = -3$，解得$x = 3$。检验：把$x = 3$代入$x - 1 = 2 ≠ 0$，所以分式方程的解为$x = 3$。
【答案】
19.(1)$\begin{cases} x=4, \\ y=1。 \end{cases}$(2)$x=3$。
【知识点】
二元一次方程组的解法；分式方程的解法
【点评】
本题考查二元一次方程组和分式方程的基础解法，属于常规题型，解题时需注意分式方程必须检验，加减消元法是解二元一次方程组的常用方法，步骤清晰即可完成。
【难度系数】
0.6
