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8.某校24个班级在植树节进行植树活动,活动后统计了各班级植树的数量。绘制成如图所示的频数分布直方图(每组含前一个数值,不含后一个数值)。根据统计结果,有两种说法:①组界为31～38的频数是5;②一定有2个班级的植树数量相等。下列判断正确的是 ……………………………………………………（
A.①②都正确
B.①正确,②错误
C.①②都错误
D.①错误,②正确
某校24个班级植树的频数直方图
B
）A.①②都正确
B.①正确,②错误
C.①②都错误
D.①错误,②正确
某校24个班级植树的频数直方图
答案
8.B
解析
【分析】要判断两个说法是否正确，需先明确频数分布直方图中各组的区间和对应频数，再分别分析每个说法：对于说法①，需确定组界31～38对应的区间及频数；对于说法②，需考虑是否存在所有班级植树数量都不同的情况，进而判断是否一定有重复。
【解析】
1. 由频数分布直方图可知，各组区间及频数为：13.5≤x＜20.5（频数4）、20.5≤x＜27.5（频数5）、27.5≤x＜34.5（频数7）、34.5≤x＜41.5（频数5）、x≥41.5（频数3），总频数4+5+7+5+3=24，符合24个班级的统计。
2. 分析说法①：组界为31～38，结合区间范围，34.5≤x＜38属于34.5≤x＜41.5组，该组频数为5，因此组界31～38中对应34.5及以上的部分频数为5，故说法①正确。
3. 分析说法②：植树数量的可能取值在各区间内，13.5≤x＜20.5对应14~20（7个不同值）、20.5≤x＜27.5对应21~27（7个）、27.5≤x＜34.5对应28~34（7个）、34.5≤x＜41.5对应35~41（7个），共28个不同的取值，足够24个班级各取不同的数值，因此不一定有2个班级的植树数量相等，说法②错误。
综上，①正确，②错误，答案为B。
【答案】B
【知识点】频数分布直方图、数据的分析
【点评】本题考查频数分布直方图的应用，需准确解读区间和频数，结合实际情况分析数据的重复性，属于基础统计题，需细心分析。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 由频数分布直方图可知，各组区间及频数为：13.5≤x＜20.5（频数4）、20.5≤x＜27.5（频数5）、27.5≤x＜34.5（频数7）、34.5≤x＜41.5（频数5）、x≥41.5（频数3），总频数4+5+7+5+3=24，符合24个班级的统计。
2. 分析说法①：组界为31～38，结合区间范围，34.5≤x＜38属于34.5≤x＜41.5组，该组频数为5，因此组界31～38中对应34.5及以上的部分频数为5，故说法①正确。
3. 分析说法②：植树数量的可能取值在各区间内，13.5≤x＜20.5对应14~20（7个不同值）、20.5≤x＜27.5对应21~27（7个）、27.5≤x＜34.5对应28~34（7个）、34.5≤x＜41.5对应35~41（7个），共28个不同的取值，足够24个班级各取不同的数值，因此不一定有2个班级的植树数量相等，说法②错误。
综上，①正确，②错误，答案为B。
【答案】B
【知识点】频数分布直方图、数据的分析
【点评】本题考查频数分布直方图的应用，需准确解读区间和频数，结合实际情况分析数据的重复性，属于基础统计题，需细心分析。
【难度系数】0.5
9. 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{m}{x - 4} + \frac{x + 2}{4 - x} = 0 $ 无解，则 $ m $ 的值为（
A.6
B.5
C.4
D.3
A
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
9.A 解析:$\frac{m}{x-4}+\frac{x+2}{4-x}=0,m-(x+2)=0,x=m-2$,因为分式方程$\frac{m}{x-4}+\frac{x+2}{4-x}=0$无解,所以$x=m-2$为增根,所以$m-2=4$,所以$m=6$。故选A。
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确分式方程无解的核心逻辑：分式方程去分母转化为整式方程后，若整式方程的解使原分式方程的分母为0（即增根），则原分式方程无解。解题步骤为：1. 对分式方程去分母转化为整式方程；2. 解整式方程得到含m的表达式；3. 确定原分式方程的增根（使分母为0的x值）；4. 将增根代入整式方程的解，求出m的值。
【解析】
1. 去分母：原方程为$\frac{m}{x - 4} + \frac{x + 2}{4 - x} = 0$，注意$\frac{x + 2}{4 - x} = -\frac{x + 2}{x - 4}$，两边同乘最简公分母$x - 4$，得：
$m - (x + 2) = 0$
2. 解整式方程：移项可得$x = m - 2$
3. 确定增根：分式方程无解，说明整式方程的解是原方程的增根，原方程分母为$x - 4$，令$x - 4 = 0$，得增根$x = 4$
4. 求m的值：将增根$x = 4$代入$x = m - 2$，得$4 = m - 2$，解得$m = 6$
【答案】
A
【知识点】
分式方程无解、增根、分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程无解的问题，关键在于理解“分式方程无解等价于整式方程的解为增根”，需注意去分母时的符号变化，避免计算错误，属于分式方程的基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需明确分式方程无解的核心逻辑：分式方程去分母转化为整式方程后，若整式方程的解使原分式方程的分母为0（即增根），则原分式方程无解。解题步骤为：1. 对分式方程去分母转化为整式方程；2. 解整式方程得到含m的表达式；3. 确定原分式方程的增根（使分母为0的x值）；4. 将增根代入整式方程的解，求出m的值。
【解析】
1. 去分母：原方程为$\frac{m}{x - 4} + \frac{x + 2}{4 - x} = 0$，注意$\frac{x + 2}{4 - x} = -\frac{x + 2}{x - 4}$，两边同乘最简公分母$x - 4$，得：
$m - (x + 2) = 0$
2. 解整式方程：移项可得$x = m - 2$
3. 确定增根：分式方程无解，说明整式方程的解是原方程的增根，原方程分母为$x - 4$，令$x - 4 = 0$，得增根$x = 4$
4. 求m的值：将增根$x = 4$代入$x = m - 2$，得$4 = m - 2$，解得$m = 6$
【答案】
A
【知识点】
分式方程无解、增根、分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程无解的问题，关键在于理解“分式方程无解等价于整式方程的解为增根”，需注意去分母时的符号变化，避免计算错误，属于分式方程的基础题型。
【难度系数】
0.6
10.若$ x $取正整数,则代数式$ x^3 - x $的值可以是 …………（
A.2181
B.2182
C.2183
D.2184
D
）A.2181
B.2182
C.2183
D.2184
答案
10.D 解析:$x^3-x=x(x^2-1)=x(x+1)(x-1)$,因为x取正整数,所以$x,(x+1),(x-1)$是三个连续的正整数,因为$12×13×14=2184$,所以代数式$x^3-x$的值可以是2184。故选D。
解析
【分析】
要解决这个问题，先对代数式$x^3 - x$进行因式分解，将其转化为整数乘积的形式，结合$x$是正整数的条件，明确该乘积的特征，再对比选项找出符合的结果。
【解析】
1. 因式分解代数式：利用提公因式法和平方差公式，$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$。
2. 分析乘积特征：因为$x$是正整数，所以$(x - 1)$、$x$、$(x + 1)$是三个连续的正整数，即代数式的值是三个连续正整数的乘积。
3. 验证选项：计算$12×13×14 = 2184$，对应选项D，其他选项均无法表示为三个连续正整数的乘积，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解、连续整数的乘积
【点评】
本题通过因式分解将代数式转化为连续整数的乘积，考查因式分解的应用，解题关键是发现代数式的乘积特征，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，先对代数式$x^3 - x$进行因式分解，将其转化为整数乘积的形式，结合$x$是正整数的条件，明确该乘积的特征，再对比选项找出符合的结果。
【解析】
1. 因式分解代数式：利用提公因式法和平方差公式，$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$。
2. 分析乘积特征：因为$x$是正整数，所以$(x - 1)$、$x$、$(x + 1)$是三个连续的正整数，即代数式的值是三个连续正整数的乘积。
3. 验证选项：计算$12×13×14 = 2184$，对应选项D，其他选项均无法表示为三个连续正整数的乘积，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解、连续整数的乘积
【点评】
本题通过因式分解将代数式转化为连续整数的乘积，考查因式分解的应用，解题关键是发现代数式的乘积特征，难度适中。
【难度系数】
0.6
11.若分式$\frac{x+2}{x-2}$的值为0，则$x=$______。
答案
11.-2
解析
【分析】
要解决分式$\frac{x+2}{x-2}$的值为0的问题，需牢记分式值为0的两个必要条件：①分子等于0；②分母不等于0，两个条件必须同时满足，缺一不可。因此先令分子为0求出x的可能值，再验证该值是否使分母不为0，最终确定正确答案。
【解析】
根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，步骤如下：
1. 令分子$x+2=0$，解得$x=-2$；
2. 验证分母：当$x=-2$时，分母$x-2=-2-2=-4≠0$，满足分母不为0的条件；
因此$x=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
分式值为0的条件；一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式相关的基础题，核心考察分式值为0的双条件限制，解题时需注意不能忽略分母不为0的要求，避免仅求解分子为0的常见错误。
【难度系数】
0.8
要解决分式$\frac{x+2}{x-2}$的值为0的问题，需牢记分式值为0的两个必要条件：①分子等于0；②分母不等于0，两个条件必须同时满足，缺一不可。因此先令分子为0求出x的可能值，再验证该值是否使分母不为0，最终确定正确答案。
【解析】
根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，步骤如下：
1. 令分子$x+2=0$，解得$x=-2$；
2. 验证分母：当$x=-2$时，分母$x-2=-2-2=-4≠0$，满足分母不为0的条件；
因此$x=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
分式值为0的条件；一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式相关的基础题，核心考察分式值为0的双条件限制，解题时需注意不能忽略分母不为0的要求，避免仅求解分子为0的常见错误。
【难度系数】
0.8
12.若某组数据的频率为0.45，样本容量为500，则这组数据的频数为________。
答案
12.225
解析
【分析】首先明确频数、频率、样本容量三者的关系：频数等于频率乘以样本容量，题目已给出频率和样本容量，直接代入公式计算即可求出频数。
【解析】根据公式：频数 = 频率 × 样本容量，将题目中的数据代入计算：0.45 × 500 = 225。
【答案】225
【知识点】频数与频率
【点评】本题考查频数与频率的基本关系，属于基础概念题，只需牢记核心公式即可快速解答，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】根据公式：频数 = 频率 × 样本容量，将题目中的数据代入计算：0.45 × 500 = 225。
【答案】225
【知识点】频数与频率
【点评】本题考查频数与频率的基本关系，属于基础概念题，只需牢记核心公式即可快速解答，难度较低。
【难度系数】0.9
13.若一个多项式$x^2+mx+1$是一个完全平方式，则$m=$
±2
。答案
13.±2
解析
【分析】
要解决这个问题，需先回忆完全平方式的结构：完全平方式的形式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。题目中的多项式$x^2+mx+1$是二次三项式，符合完全平方式的结构，对应公式中$a^2=x^2$，因此$a=x$；常数项$1$对应$b^2$，故$b=\pm1$；中间项为$\pm2ab$，即$\pm2· x·1=\pm2x$，因此中间项的系数$m$需考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
根据完全平方公式，若$x^2+mx+1$是完全平方式，则它可转化为$(x\pm1)^2$：
1. 当为$(x+1)^2$时，展开得$x^2+2x+1$，对比原式$x^2+mx+1$，可得$m=2$；
2. 当为$(x-1)^2$时，展开得$x^2-2x+1$，对比原式$x^2+mx+1$，可得$m=-2$。
综上，$m=\pm2$。
【答案】
±2
【知识点】
完全平方公式，多项式的系数
【点评】
本题考查完全平方式的结构应用，核心是掌握完全平方公式的展开特征，需注意中间项存在正负两种情况，易出现漏解，属于整式运算中的基础常考题，难度不大但需细心。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先回忆完全平方式的结构：完全平方式的形式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。题目中的多项式$x^2+mx+1$是二次三项式，符合完全平方式的结构，对应公式中$a^2=x^2$，因此$a=x$；常数项$1$对应$b^2$，故$b=\pm1$；中间项为$\pm2ab$，即$\pm2· x·1=\pm2x$，因此中间项的系数$m$需考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
根据完全平方公式，若$x^2+mx+1$是完全平方式，则它可转化为$(x\pm1)^2$：
1. 当为$(x+1)^2$时，展开得$x^2+2x+1$，对比原式$x^2+mx+1$，可得$m=2$；
2. 当为$(x-1)^2$时，展开得$x^2-2x+1$，对比原式$x^2+mx+1$，可得$m=-2$。
综上，$m=\pm2$。
【答案】
±2
【知识点】
完全平方公式，多项式的系数
【点评】
本题考查完全平方式的结构应用，核心是掌握完全平方公式的展开特征，需注意中间项存在正负两种情况，易出现漏解，属于整式运算中的基础常考题，难度不大但需细心。
【难度系数】
0.5
14.如图,把一把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,若$∠ 1=28°$,则$∠ 2$的度数为________。
答案
14.62°
解析
【分析】首先明确直尺的两组对边互相平行，根据平行线的内错角相等，∠1与三角尺直角对应的内错角相等；再结合三角尺的直角为90°，可知∠1与∠2的和等于90°，由此可推导计算∠2的度数。
【解析】因为直尺的两边互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，∠1等于三角尺直角的一个内错角；又因为三角尺的直角为90°，所以∠1 + ∠2 = 90°。已知∠1=28°，代入计算得：∠2 = 90° - 28° = 62°。
【答案】62°
【知识点】平行线的性质，直角的性质
【点评】本题结合直尺与三角尺的几何特征，考查平行线性质和直角的应用，核心是利用平行线的内错角关系，结合直角的度数计算角度，属于基础几何题，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】因为直尺的两边互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，∠1等于三角尺直角的一个内错角；又因为三角尺的直角为90°，所以∠1 + ∠2 = 90°。已知∠1=28°，代入计算得：∠2 = 90° - 28° = 62°。
【答案】62°
【知识点】平行线的性质，直角的性质
【点评】本题结合直尺与三角尺的几何特征，考查平行线性质和直角的应用，核心是利用平行线的内错角关系，结合直角的度数计算角度，属于基础几何题，难度较低。
【难度系数】0.3
15.若多项式$ax^2 - 6x + 3$有一个因式为$(x - 1)$，则$a$的值为________。
答案
15.3 解析:设另一个因式为$(mx+k)$,则$(x-1)(mx+k)=mx^2+kx-mx-k=mx^2+(k-m)x-k=ax^2-6x+3$,则$-k=3,k-m=-6$,解得$k=-3,m=3$,那么$a=m=3$。故答案为3。
解析
【分析】
要确定多项式中参数$a$的值，已知多项式有一个因式为$(x-1)$，可利用因式定理：若$(x - a)$是多项式$f(x)$的因式，则$f(a)=0$；也可采用待定系数法，将多项式分解为两个一次因式的乘积，通过对应系数相等求解。这里用因式定理更简便，只需代入$x=1$即可建立关于$a$的方程。
【解析】
因为多项式$ax^2 - 6x + 3$有一个因式为$(x - 1)$，根据因式定理，当$x=1$时，$ax^2 - 6x + 3$的值为$0$。将$x=1$代入多项式得：
$a×1^2 - 6×1 + 3 = 0$
化简得：$a - 6 + 3 = 0$，即$a - 3 = 0$，解得$a=3$。
【答案】
3
【知识点】
因式定理，多项式的因式分解
【点评】
本题是基础题，考查因式定理的应用，核心是理解因式与多项式值的关系，通过代入特殊值快速求解参数，也可通过待定系数法验证，难度较低。
【难度系数】
0.7
要确定多项式中参数$a$的值，已知多项式有一个因式为$(x-1)$，可利用因式定理：若$(x - a)$是多项式$f(x)$的因式，则$f(a)=0$；也可采用待定系数法，将多项式分解为两个一次因式的乘积，通过对应系数相等求解。这里用因式定理更简便，只需代入$x=1$即可建立关于$a$的方程。
【解析】
因为多项式$ax^2 - 6x + 3$有一个因式为$(x - 1)$，根据因式定理，当$x=1$时，$ax^2 - 6x + 3$的值为$0$。将$x=1$代入多项式得：
$a×1^2 - 6×1 + 3 = 0$
化简得：$a - 6 + 3 = 0$，即$a - 3 = 0$，解得$a=3$。
【答案】
3
【知识点】
因式定理，多项式的因式分解
【点评】
本题是基础题，考查因式定理的应用，核心是理解因式与多项式值的关系，通过代入特殊值快速求解参数，也可通过待定系数法验证，难度较低。
【难度系数】
0.7
16.如图,将一条两边沿互相平行的纸带进行两次折叠,折痕分别为$CD,FH$。若$AE// FH,∠ 1=n∠ 2$,则$∠ FGD$的度数为$\underline{\hspace{8cm}}$。(用含$n$的代数式表示)
答案
16.$\frac{720°}{n+4}$ 解析:如图,延长BC,CF,
由折叠可知$∠2=∠3,∠4=∠HFG$,因为设$∠2=a$,所以$∠1=na$,因为将一条两边沿互相平行的纸带进行两次折叠,$AE// FH$,所以$∠2+∠3=∠FED=∠4=∠HFG=2a$,所以$∠EFG=180°-4a$,因为$∠1+∠FGD=180°$,所以$∠FGD=180°-na$,因为$EF// HD$,所以$∠EFG+∠FGD=180°$,即$180°-4a+180°-na=180°(n＞0)$,解得$a=\frac{180°}{4+n}$,所以$∠FGD=180°-na=180°-\frac{180° n}{4+n}=\frac{720°}{4+n}$。故答案为$\frac{720°}{n+4}$。解析
【分析】
要解决本题，需结合折叠的性质和平行线的性质，通过设未知数建立角的等量关系求解：首先设∠2为α，由∠1=n∠2得∠1=nα；根据折叠性质，折叠前后对应角相等，可得∠2=∠3、∠4=∠HFG；再利用纸带两边平行及AE//FH的条件，推导各角之间的关系，最后结合平行线同旁内角互补的性质建立方程，求出α后代入∠FGD的表达式化简得到结果。
【解析】
设∠2 = α，由∠1 = n∠2，得∠1 = nα。
根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，因此∠2 = ∠3，∠4 = ∠HFG，故∠3 = α。
因为纸带两边互相平行，所以∠FED = ∠2 + ∠3 = α + α = 2α；又AE//FH，根据平行线的内错角相等，得∠4 = ∠FED = 2α，因此∠HFG = ∠4 = 2α，进而∠EFG = 180° - ∠HFG - ∠4 = 180° - 2α - 2α = 180° - 4α。
因为EF//HD，根据平行线同旁内角互补，得∠EFG + ∠FGD = 180°；又∠1 + ∠FGD = 180°（邻补角定义），所以∠FGD = 180° - ∠1 = 180° - nα。
将∠EFG和∠FGD代入同旁内角互补的关系：
(180° - 4α) + (180° - nα) = 180°
整理得：360° - α(n + 4) = 180°
移项得：α(n + 4) = 180°
解得：α = 180°/(n + 4)
将α代入∠FGD的表达式：
∠FGD = 180° - n×(180°/(n + 4)) = [180°(n + 4) - 180°n]/(n + 4) = 720°/(n + 4)
【答案】
$\frac{720°}{n+4}$
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、角度计算
【点评】
本题综合考查平行线的性质与折叠的性质，核心是利用折叠前后角相等、平行线的角关系建立方程求解，需要学生具备一定的逻辑推导能力，是几何角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合折叠的性质和平行线的性质，通过设未知数建立角的等量关系求解：首先设∠2为α，由∠1=n∠2得∠1=nα；根据折叠性质，折叠前后对应角相等，可得∠2=∠3、∠4=∠HFG；再利用纸带两边平行及AE//FH的条件，推导各角之间的关系，最后结合平行线同旁内角互补的性质建立方程，求出α后代入∠FGD的表达式化简得到结果。
【解析】
设∠2 = α，由∠1 = n∠2，得∠1 = nα。
根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，因此∠2 = ∠3，∠4 = ∠HFG，故∠3 = α。
因为纸带两边互相平行，所以∠FED = ∠2 + ∠3 = α + α = 2α；又AE//FH，根据平行线的内错角相等，得∠4 = ∠FED = 2α，因此∠HFG = ∠4 = 2α，进而∠EFG = 180° - ∠HFG - ∠4 = 180° - 2α - 2α = 180° - 4α。
因为EF//HD，根据平行线同旁内角互补，得∠EFG + ∠FGD = 180°；又∠1 + ∠FGD = 180°（邻补角定义），所以∠FGD = 180° - ∠1 = 180° - nα。
将∠EFG和∠FGD代入同旁内角互补的关系：
(180° - 4α) + (180° - nα) = 180°
整理得：360° - α(n + 4) = 180°
移项得：α(n + 4) = 180°
解得：α = 180°/(n + 4)
将α代入∠FGD的表达式：
∠FGD = 180° - n×(180°/(n + 4)) = [180°(n + 4) - 180°n]/(n + 4) = 720°/(n + 4)
【答案】
$\frac{720°}{n+4}$
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、角度计算
【点评】
本题综合考查平行线的性质与折叠的性质，核心是利用折叠前后角相等、平行线的角关系建立方程求解，需要学生具备一定的逻辑推导能力，是几何角度计算的典型题型。
【难度系数】
0.4
