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20.(6分)教练记录下小北连续10次排球垫球和1000m跑的测试成绩,每项测试成绩满分均为15分,整理信息如下。
信息一:排球垫球测试成绩依次是15,14,13,15,14,8,7,15,14,13。
信息二:连续10次1000m跑测试成绩如图所示。
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求表示1000m跑成绩为14分的扇形的圆心角的度数。
(2)若从两项中选一项作为体育考试项目,你建议小北选择哪个项目?说明理由。
信息一:排球垫球测试成绩依次是15,14,13,15,14,8,7,15,14,13。
信息二:连续10次1000m跑测试成绩如图所示。
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求表示1000m跑成绩为14分的扇形的圆心角的度数。
(2)若从两项中选一项作为体育考试项目,你建议小北选择哪个项目?说明理由。
答案
20.(1)$360°×40\%=144°$。答:表示1000m跑成绩为14分的扇形的圆心角的度数为$144°$。
(2)由扇形统计图可知,小北的10次1000m跑测试成绩为11,12,13,13,13,14,14,14,14,15,所以众数为14,中位数为$\frac{13+14}{2}=13.5$,平均数为$\frac{11+12+13+13+13+14+14+14+14+15}{10}=13.3$;
小北排球垫球测试成绩从小到大依次是7,8,13,13,14,14,14,15,15,15,所以众数为14或15,中位数为$\frac{14+14}{2}=14$,平均数为$\frac{7+8+13+13+14+14+14+15+15+15}{10}=12.8$。因为小北排球垫球测试成绩的众数和中位数都高于小北的1000m跑测试成绩的众数和中位数,所以建议小北选排球垫球。
(2)由扇形统计图可知,小北的10次1000m跑测试成绩为11,12,13,13,13,14,14,14,14,15,所以众数为14,中位数为$\frac{13+14}{2}=13.5$,平均数为$\frac{11+12+13+13+13+14+14+14+14+15}{10}=13.3$;
小北排球垫球测试成绩从小到大依次是7,8,13,13,14,14,14,15,15,15,所以众数为14或15,中位数为$\frac{14+14}{2}=14$,平均数为$\frac{7+8+13+13+14+14+14+15+15+15}{10}=12.8$。因为小北排球垫球测试成绩的众数和中位数都高于小北的1000m跑测试成绩的众数和中位数,所以建议小北选排球垫球。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用扇形统计图中某部分的占比计算对应扇形的圆心角，圆心角公式为$360°×该部分百分比$；第(2)问需分别计算两个项目测试成绩的众数、中位数、平均数，通过比较统计量的大小，结合实际情况给出选择建议，需熟练掌握各类统计量的计算方法。
【解析】
(1) 扇形统计图中，整个圆的圆心角为$360°$，某部分扇形的圆心角等于$360°$乘以该部分所占的百分比。已知1000m跑成绩为14分的占比为$40\%$，因此其扇形圆心角的度数为：
$360°×40\% = 144°$。
(2) 先计算1000m跑的统计量：
将10次1000m跑成绩从小到大排序为：11,12,13,13,13,14,14,14,14,15。
众数：出现次数最多的数是14，故众数为14；
中位数：第5个和第6个数的平均数，即$\frac{13+14}{2}=13.5$；
平均数：$\frac{11+12+13×3+14×4+15}{10}=\frac{133}{10}=13.3$。
再计算排球垫球的统计量：
将10次排球垫球成绩从小到大排序为：7,8,13,13,14,14,14,15,15,15。
众数：出现次数最多的数是14和15，故众数为14或15；
中位数：第5个和第6个数的平均数，即$\frac{14+14}{2}=14$；
平均数：$\frac{7+8+13×2+14×3+15×3}{10}=\frac{128}{10}=12.8$。
比较两者统计量：排球垫球测试成绩的中位数（14）高于1000m跑测试成绩的中位数（13.5），众数也更优，因此建议选择排球垫球项目。
【答案】
(1) 表示1000m跑成绩为14分的扇形的圆心角的度数为$144°$；
(2) 建议小北选择排球垫球项目，理由：排球垫球测试成绩的中位数高于1000m跑测试成绩的中位数，众数也更优，因此建议选排球垫球。
【知识点】
扇形统计图、众数、中位数、平均数
【点评】
本题结合实际测试场景，考查扇形统计图的圆心角计算及统计量的应用，需掌握统计量的计算方法，并能根据统计结果做出合理决策，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需利用扇形统计图中某部分的占比计算对应扇形的圆心角，圆心角公式为$360°×该部分百分比$；第(2)问需分别计算两个项目测试成绩的众数、中位数、平均数，通过比较统计量的大小，结合实际情况给出选择建议，需熟练掌握各类统计量的计算方法。
【解析】
(1) 扇形统计图中，整个圆的圆心角为$360°$，某部分扇形的圆心角等于$360°$乘以该部分所占的百分比。已知1000m跑成绩为14分的占比为$40\%$，因此其扇形圆心角的度数为：
$360°×40\% = 144°$。
(2) 先计算1000m跑的统计量：
将10次1000m跑成绩从小到大排序为：11,12,13,13,13,14,14,14,14,15。
众数：出现次数最多的数是14，故众数为14；
中位数：第5个和第6个数的平均数，即$\frac{13+14}{2}=13.5$；
平均数：$\frac{11+12+13×3+14×4+15}{10}=\frac{133}{10}=13.3$。
再计算排球垫球的统计量：
将10次排球垫球成绩从小到大排序为：7,8,13,13,14,14,14,15,15,15。
众数：出现次数最多的数是14和15，故众数为14或15；
中位数：第5个和第6个数的平均数，即$\frac{14+14}{2}=14$；
平均数：$\frac{7+8+13×2+14×3+15×3}{10}=\frac{128}{10}=12.8$。
比较两者统计量：排球垫球测试成绩的中位数（14）高于1000m跑测试成绩的中位数（13.5），众数也更优，因此建议选择排球垫球项目。
【答案】
(1) 表示1000m跑成绩为14分的扇形的圆心角的度数为$144°$；
(2) 建议小北选择排球垫球项目，理由：排球垫球测试成绩的中位数高于1000m跑测试成绩的中位数，众数也更优，因此建议选排球垫球。
【知识点】
扇形统计图、众数、中位数、平均数
【点评】
本题结合实际测试场景，考查扇形统计图的圆心角计算及统计量的应用，需掌握统计量的计算方法，并能根据统计结果做出合理决策，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.6
21.(6 分)如图,在三角形 ABC 中,D,E,F 分别是三边上的点,
$DE // BC$,且 DF 平分$∠ BDE$。已知$∠ A=50°$,$∠ B=80°$。
(1)求$∠ ADE$的度数。
(2)判断 DF 与 AC 是否平行,并说明理由。
$DE // BC$,且 DF 平分$∠ BDE$。已知$∠ A=50°$,$∠ B=80°$。
(1)求$∠ ADE$的度数。
(2)判断 DF 与 AC 是否平行,并说明理由。
答案
21.(1)因为$DE// BC,∠B=80°$,所以$∠ADE=∠B=80°$。
(2)$DF// AC$。理由如下:因为$DE// BC,∠B=80°$,所以$∠BDE=180°-∠B=180°-80°=100°$。因为DF平分$∠BDE$,所以$∠BDF=\frac{1}{2}∠BDE=\frac{1}{2}×100°=50°$。因为$∠A=50°$,所以$∠BDF=∠A$,所以$DF// AC$。
(2)$DF// AC$。理由如下:因为$DE// BC,∠B=80°$,所以$∠BDE=180°-∠B=180°-80°=100°$。因为DF平分$∠BDE$,所以$∠BDF=\frac{1}{2}∠BDE=\frac{1}{2}×100°=50°$。因为$∠A=50°$,所以$∠BDF=∠A$,所以$DF// AC$。
解析
【分析】
第(1)问，已知DE//BC，根据平行线的同位角相等性质，∠ADE与∠B是同位角，可直接得出∠ADE的度数；第(2)问，先利用平行线同旁内角互补求出∠BDE，再结合角平分线定义算出∠BDF，通过比较∠BDF与∠A的度数，依据平行线的判定定理判断DF与AC是否平行。
【解析】
(1) 因为DE//BC，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠ADE = ∠B。已知∠B = 80°，因此∠ADE = 80°。
(2) DF与AC平行，理由如下：
因为DE//BC，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠BDE + ∠B = 180°，则∠BDE = 180° - ∠B = 180° - 80° = 100°。
又因为DF平分∠BDE，根据角平分线的定义，∠BDF = $\frac{1}{2}$∠BDE = $\frac{1}{2}$×100° = 50°。
已知∠A = 50°，所以∠BDF = ∠A，根据“同位角相等，两直线平行”，可得DF//AC。
【答案】
(1) ∠ADE = 80°；(2) DF与AC平行，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质、角平分线定义、平行线的判定
【点评】
本题考查平行线的性质与判定、角平分线的应用，属于基础几何题，解题关键是熟练运用平行线的相关定理，步骤清晰易理解。
【难度系数】
0.7
第(1)问，已知DE//BC，根据平行线的同位角相等性质，∠ADE与∠B是同位角，可直接得出∠ADE的度数；第(2)问，先利用平行线同旁内角互补求出∠BDE，再结合角平分线定义算出∠BDF，通过比较∠BDF与∠A的度数，依据平行线的判定定理判断DF与AC是否平行。
【解析】
(1) 因为DE//BC，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠ADE = ∠B。已知∠B = 80°，因此∠ADE = 80°。
(2) DF与AC平行，理由如下：
因为DE//BC，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠BDE + ∠B = 180°，则∠BDE = 180° - ∠B = 180° - 80° = 100°。
又因为DF平分∠BDE，根据角平分线的定义，∠BDF = $\frac{1}{2}$∠BDE = $\frac{1}{2}$×100° = 50°。
已知∠A = 50°，所以∠BDF = ∠A，根据“同位角相等，两直线平行”，可得DF//AC。
【答案】
(1) ∠ADE = 80°；(2) DF与AC平行，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质、角平分线定义、平行线的判定
【点评】
本题考查平行线的性质与判定、角平分线的应用，属于基础几何题，解题关键是熟练运用平行线的相关定理，步骤清晰易理解。
【难度系数】
0.7
