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16. 把下列各式分解因式：
(1) $15b(2a - b)^2 + 25(b - 2a)^2$；
(2) $4q(1 - p)^3 + 2(p - 1)^2$。
(1) $15b(2a - b)^2 + 25(b - 2a)^2$；
(2) $4q(1 - p)^3 + 2(p - 1)^2$。
答案
(1) 原式=$15b(2a - b)^2 + 25(2a - b)^2 = 5(2a - b)^2(3b + 5)$.
(2) 原式=$4q(1 - p)^3 + 2(1 - p)^2 = 2(1 - p)^2(2q - 2pq + 1)$.
(2) 原式=$4q(1 - p)^3 + 2(1 - p)^2 = 2(1 - p)^2(2q - 2pq + 1)$.
解析
【分析】
这两道题均采用提公因式法分解因式，解题思路如下：①先统一相同因式的形式：因为互为相反数的偶次幂相等，因此$(2a-b)^2=(b-2a)^2$、$(p-1)^2=(1-p)^2$，可先把底数不同的偶次幂转化为同底数的形式；②找出两项的公因式：公因式由系数的最大公约数和相同因式的最低次幂组成；③提取公因式后，对剩余的部分进行化简，最终写成几个整式乘积的形式即可。
【解析】
(1) 利用偶次幂的性质变形：$(b-2a)^2=(2a-b)^2$，
原式$=15b(2a - b)^2 + 25(2a - b)^2$，
提取公因式$5(2a-b)^2$得：
$=5(2a - b)^2(3b + 5)$；
(2) 利用偶次幂的性质变形：$(p-1)^2=(1-p)^2$，
原式$=4q(1 - p)^3 + 2(1 - p)^2$，
提取公因式$2(1-p)^2$得：
$=2(1-p)^2[2q(1-p)+1]$，
化简括号内的式子：
$=2(1 - p)^2(2q - 2pq + 1)$。
【答案】
(1) $5(2a - b)^2(3b + 5)$
(2) $2(1 - p)^2(2q - 2pq + 1)$
【知识点】
提公因式法分解因式；偶次幂的符号性质
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题的核心是先处理底数互为相反数的偶次幂，统一因式形式后准确找出公因式，提取公因式后要注意对剩余部分化简，保证最终结果是最简的整式乘积形式。
【难度系数】
0.8
这两道题均采用提公因式法分解因式，解题思路如下：①先统一相同因式的形式：因为互为相反数的偶次幂相等，因此$(2a-b)^2=(b-2a)^2$、$(p-1)^2=(1-p)^2$，可先把底数不同的偶次幂转化为同底数的形式；②找出两项的公因式：公因式由系数的最大公约数和相同因式的最低次幂组成；③提取公因式后，对剩余的部分进行化简，最终写成几个整式乘积的形式即可。
【解析】
(1) 利用偶次幂的性质变形：$(b-2a)^2=(2a-b)^2$，
原式$=15b(2a - b)^2 + 25(2a - b)^2$，
提取公因式$5(2a-b)^2$得：
$=5(2a - b)^2(3b + 5)$；
(2) 利用偶次幂的性质变形：$(p-1)^2=(1-p)^2$，
原式$=4q(1 - p)^3 + 2(1 - p)^2$，
提取公因式$2(1-p)^2$得：
$=2(1-p)^2[2q(1-p)+1]$，
化简括号内的式子：
$=2(1 - p)^2(2q - 2pq + 1)$。
【答案】
(1) $5(2a - b)^2(3b + 5)$
(2) $2(1 - p)^2(2q - 2pq + 1)$
【知识点】
提公因式法分解因式；偶次幂的符号性质
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题的核心是先处理底数互为相反数的偶次幂，统一因式形式后准确找出公因式，提取公因式后要注意对剩余部分化简，保证最终结果是最简的整式乘积形式。
【难度系数】
0.8
17. 如图所示,已知∠B = ∠C,AD//BC,试说明:AD平分∠CAE. 
答案
解:
∵ AD // BC,
∴ ∠B = ∠EAD, ∠C = ∠DAC.
又
∵ ∠B = ∠C,
∴ ∠EAD = ∠DAC.
∴ AD 平分∠CAE.
∵ AD // BC,
∴ ∠B = ∠EAD, ∠C = ∠DAC.
又
∵ ∠B = ∠C,
∴ ∠EAD = ∠DAC.
∴ AD 平分∠CAE.
解析
【分析】
要说明AD平分∠CAE，核心是证明∠EAD=∠DAC。首先结合已知条件AD//BC，根据平行线的性质可得同位角∠EAD=∠B、内错角∠DAC=∠C；再结合题目给出的∠B=∠C的条件，通过等量代换即可得到∠EAD=∠DAC，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD // BC，
∴ ∠B = ∠EAD（两直线平行，同位角相等），∠C = ∠DAC（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠B = ∠C，
∴ ∠EAD = ∠DAC（等量代换）。
∴ AD 平分∠CAE（角平分线的定义）。
【答案】
AD平分∠CAE
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查平行线性质与角平分线判定的综合应用，解题关键是准确识别平行线所形成的同位角、内错角，结合已知的角的等量关系推导即可，熟练掌握基础几何性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
要说明AD平分∠CAE，核心是证明∠EAD=∠DAC。首先结合已知条件AD//BC，根据平行线的性质可得同位角∠EAD=∠B、内错角∠DAC=∠C；再结合题目给出的∠B=∠C的条件，通过等量代换即可得到∠EAD=∠DAC，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD // BC，
∴ ∠B = ∠EAD（两直线平行，同位角相等），∠C = ∠DAC（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠B = ∠C，
∴ ∠EAD = ∠DAC（等量代换）。
∴ AD 平分∠CAE（角平分线的定义）。
【答案】
AD平分∠CAE
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查平行线性质与角平分线判定的综合应用，解题关键是准确识别平行线所形成的同位角、内错角，结合已知的角的等量关系推导即可，熟练掌握基础几何性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
18.如图所示,某市有一块长为$(3a+b)\mathrm{m}$,宽为$(2a+b)\mathrm{m}$的长方形地,规划部门计划对阴影部分进行绿化,中间将修建一座雕像,则绿化的面积是多少平方米?并求出当$a=3,b=2$时的绿化面积.
答案
解:阴影部分的面积为$(3a + b)(2a + b) - (a + b)^2 = 6a^2 + 5ab + b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = (5a^2 + 3ab)\mathrm{m}^2$.
当$a=3,b=2$时,原式=$5 × 3^2 + 3 × 3 × 2 = 45 + 18 = 63(\mathrm{m}^2)$.
当$a=3,b=2$时,原式=$5 × 3^2 + 3 × 3 × 2 = 45 + 18 = 63(\mathrm{m}^2)$.
解析
【分析】
要求阴影部分的绿化面积，观察图形可知阴影为不规则图形，可采用“整体减空白”的割补法求解：第一步先计算整个长方形地块的面积，第二步计算中间空白雕像区域的面积，第三步用长方形面积减去空白面积得到绿化面积的代数式，最后将a=3、b=2代入化简后的代数式算出具体数值即可。
【解析】
解：首先计算大长方形的面积：
长方形面积=长×宽=$(3a+b)(2a+b)$
展开得：$(3a+b)(2a+b)=6a^2+3ab+2ab+b^2=6a^2+5ab+b^2$
再计算中间空白区域的面积：
观察图形得空白区域为边长是$(a+b)$的正方形，面积=$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
因此阴影部分绿化面积=大长方形面积-空白面积：
$\begin{aligned}&(3a+b)(2a+b) - (a+b)^2\\=&6a^2+5ab+b^2 - (a^2+2ab+b^2)\\=&6a^2+5ab+b^2 -a^2 -2ab -b^2\\=&5a^2+3ab\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
接下来代入$a=3$，$b=2$计算：
将$a=3$，$b=2$代入$5a^2+3ab$得：
$5×3^2 + 3×3×2 =5×9 +18=45+18=63(\mathrm{m}^2)$
【答案】
绿化面积是$(5a^2+3ab)\mathrm{m}^2$；当$a=3,b=2$时，绿化面积为$63\mathrm{m}^2$。
【知识点】
整式乘法运算；代数式化简求值；割补法求面积
【点评】
本题结合实际场景考查了不规则图形面积的计算方法，同时融合了整式乘法运算和代数式代入求值的知识点，解题关键是正确识别图形各部分的边长，计算时注意去括号的符号变化，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的绿化面积，观察图形可知阴影为不规则图形，可采用“整体减空白”的割补法求解：第一步先计算整个长方形地块的面积，第二步计算中间空白雕像区域的面积，第三步用长方形面积减去空白面积得到绿化面积的代数式，最后将a=3、b=2代入化简后的代数式算出具体数值即可。
【解析】
解：首先计算大长方形的面积：
长方形面积=长×宽=$(3a+b)(2a+b)$
展开得：$(3a+b)(2a+b)=6a^2+3ab+2ab+b^2=6a^2+5ab+b^2$
再计算中间空白区域的面积：
观察图形得空白区域为边长是$(a+b)$的正方形，面积=$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
因此阴影部分绿化面积=大长方形面积-空白面积：
$\begin{aligned}&(3a+b)(2a+b) - (a+b)^2\\=&6a^2+5ab+b^2 - (a^2+2ab+b^2)\\=&6a^2+5ab+b^2 -a^2 -2ab -b^2\\=&5a^2+3ab\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
接下来代入$a=3$，$b=2$计算：
将$a=3$，$b=2$代入$5a^2+3ab$得：
$5×3^2 + 3×3×2 =5×9 +18=45+18=63(\mathrm{m}^2)$
【答案】
绿化面积是$(5a^2+3ab)\mathrm{m}^2$；当$a=3,b=2$时，绿化面积为$63\mathrm{m}^2$。
【知识点】
整式乘法运算；代数式化简求值；割补法求面积
【点评】
本题结合实际场景考查了不规则图形面积的计算方法，同时融合了整式乘法运算和代数式代入求值的知识点，解题关键是正确识别图形各部分的边长，计算时注意去括号的符号变化，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
