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8.如图,若$△ ABC$的周长为20,则AB的长可能为 (
A.8
B.10
C.12
D.14
A
)A.8
B.10
C.12
D.14
答案
8.A
解析
【分析】
要判断AB的可能长度，需结合三角形三边关系推导AB的取值范围。首先根据三角形周长可得另外两边AC、BC的和与AB的关系，再利用“三角形任意两边之和大于第三边”列不等式，解出AB的取值范围后对比选项即可得到答案。
【解析】
解：已知△ABC的周长为20，因此：
$\mathit{AB}+\mathit{AC}+\mathit{BC}=20$，变形可得$\mathit{AC}+\mathit{BC}=20-\mathit{AB}$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，因此$\mathit{AC}+\mathit{BC}＞\mathit{AB}$。
将$\mathit{AC}+\mathit{BC}=20-\mathit{AB}$代入不等式得：
$20-\mathit{AB}＞\mathit{AB}$
移项、化简得：$2\mathit{AB}＜20$，即$\mathit{AB}＜10$。
同时AB为三角形边长，需满足$\mathit{AB}＞0$。
观察选项，只有8符合$\mathit{AB}＜10$的要求，10、12、14均不满足三边关系，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系，周长计算，不等式应用
【点评】
本题是三角形部分的基础常考题，核心考查三角形三边关系的灵活运用，解题的关键是利用周长将两边和用目标边表示，再结合三边关系列不等式求解，掌握该方法可快速解决同类边长取值问题。
【难度系数】
0.7
要判断AB的可能长度，需结合三角形三边关系推导AB的取值范围。首先根据三角形周长可得另外两边AC、BC的和与AB的关系，再利用“三角形任意两边之和大于第三边”列不等式，解出AB的取值范围后对比选项即可得到答案。
【解析】
解：已知△ABC的周长为20，因此：
$\mathit{AB}+\mathit{AC}+\mathit{BC}=20$，变形可得$\mathit{AC}+\mathit{BC}=20-\mathit{AB}$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，因此$\mathit{AC}+\mathit{BC}＞\mathit{AB}$。
将$\mathit{AC}+\mathit{BC}=20-\mathit{AB}$代入不等式得：
$20-\mathit{AB}＞\mathit{AB}$
移项、化简得：$2\mathit{AB}＜20$，即$\mathit{AB}＜10$。
同时AB为三角形边长，需满足$\mathit{AB}＞0$。
观察选项，只有8符合$\mathit{AB}＜10$的要求，10、12、14均不满足三边关系，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系，周长计算，不等式应用
【点评】
本题是三角形部分的基础常考题，核心考查三角形三边关系的灵活运用，解题的关键是利用周长将两边和用目标边表示，再结合三边关系列不等式求解，掌握该方法可快速解决同类边长取值问题。
【难度系数】
0.7
9. 下列不等式中,不含有 $ x = -1 $ 这个解的是 (
A.$ -2x -1 ≤ 3 $
B.$ 2x +1 ≤ -3 $
C.$ 2x -1 ≥ -3 $
D.$ -2x +1 ≥ 3 $
B
)A.$ -2x -1 ≤ 3 $
B.$ 2x +1 ≤ -3 $
C.$ 2x -1 ≥ -3 $
D.$ -2x +1 ≥ 3 $
答案
9.B
解析
【分析】
要判断哪个不等式不含有$ x=-1 $这个解，可采用两种思路：一是将$ x=-1 $分别代入每个选项的不等式，验证不等式是否成立，不成立的即为所求；二是分别求解每个不等式的解集，判断$ x=-1 $是否在解集内。本题用代入验证的方法更简便，不易出错。
【解析】
将$ x=-1 $逐一代入各选项验证：
选项A：左边$ =-2×(-1)-1=2-1=1 $，$ 1≤3 $，不等式成立，故$ x=-1 $是该不等式的解；
选项B：左边$ =2×(-1)+1=-2+1=-1 $，$ -1≤-3 $不成立，故$ x=-1 $不是该不等式的解；
选项C：左边$ =2×(-1)-1=-2-1=-3 $，$ -3≥-3 $，不等式成立，故$ x=-1 $是该不等式的解；
选项D：左边$ =-2×(-1)+1=2+1=3 $，$ 3≥3 $，不等式成立，故$ x=-1 $是该不等式的解。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.不等式的解 2.解的验证
【点评】
本题是基础题型，核心考查对不等式解的含义的理解，采用代入法直接验证目标值是否满足不等式，是解决这类问题的高效方法，能降低计算失误概率。
【难度系数】
0.8
要判断哪个不等式不含有$ x=-1 $这个解，可采用两种思路：一是将$ x=-1 $分别代入每个选项的不等式，验证不等式是否成立，不成立的即为所求；二是分别求解每个不等式的解集，判断$ x=-1 $是否在解集内。本题用代入验证的方法更简便，不易出错。
【解析】
将$ x=-1 $逐一代入各选项验证：
选项A：左边$ =-2×(-1)-1=2-1=1 $，$ 1≤3 $，不等式成立，故$ x=-1 $是该不等式的解；
选项B：左边$ =2×(-1)+1=-2+1=-1 $，$ -1≤-3 $不成立，故$ x=-1 $不是该不等式的解；
选项C：左边$ =2×(-1)-1=-2-1=-3 $，$ -3≥-3 $，不等式成立，故$ x=-1 $是该不等式的解；
选项D：左边$ =-2×(-1)+1=2+1=3 $，$ 3≥3 $，不等式成立，故$ x=-1 $是该不等式的解。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.不等式的解 2.解的验证
【点评】
本题是基础题型，核心考查对不等式解的含义的理解，采用代入法直接验证目标值是否满足不等式，是解决这类问题的高效方法，能降低计算失误概率。
【难度系数】
0.8
10. 下列从左到右的变形属于因式分解的是 （
A.$x^2 - x - 1 = x(x - 1) - 1$
B.$a^2 - ab = a(a - b)$
C.$x^2 - 1 = x(x - \frac{1}{x})$
D.$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$
B
）A.$x^2 - x - 1 = x(x - 1) - 1$
B.$a^2 - ab = a(a - b)$
C.$x^2 - 1 = x(x - \frac{1}{x})$
D.$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$
答案
10.B
解析
【分析】
要判断变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需紧扣三个要点：①变形对象是多项式；②结果是几个整式的乘积形式；③变形前后恒等。我们可以用这三个标准逐一排查每个选项。
【解析】
我们结合因式分解的定义逐个分析选项：
1. 选项A：等号右侧为$x(x - 1) - 1$，包含减法运算，不是几个整式的乘积形式，不属于因式分解；
2. 选项B：左侧$a^2 - ab$是多项式，右侧$a(a - b)$是两个整式$a$和$a-b$的乘积，完全符合因式分解的定义，属于因式分解；
3. 选项C：等号右侧的$\frac{1}{x}$是分式，不属于整式，不符合因式分解的结果要求，不属于因式分解；
4. 选项D：左侧是两个整式的乘积，右侧是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不属于因式分解。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解的定义 2. 整式的概念 3. 整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，核心是对因式分解定义的掌握，解题时要牢牢抓住“多项式转化为几个整式乘积”这一核心特征，同时注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
要判断变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需紧扣三个要点：①变形对象是多项式；②结果是几个整式的乘积形式；③变形前后恒等。我们可以用这三个标准逐一排查每个选项。
【解析】
我们结合因式分解的定义逐个分析选项：
1. 选项A：等号右侧为$x(x - 1) - 1$，包含减法运算，不是几个整式的乘积形式，不属于因式分解；
2. 选项B：左侧$a^2 - ab$是多项式，右侧$a(a - b)$是两个整式$a$和$a-b$的乘积，完全符合因式分解的定义，属于因式分解；
3. 选项C：等号右侧的$\frac{1}{x}$是分式，不属于整式，不符合因式分解的结果要求，不属于因式分解；
4. 选项D：左侧是两个整式的乘积，右侧是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不属于因式分解。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解的定义 2. 整式的概念 3. 整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念考查题，核心是对因式分解定义的掌握，解题时要牢牢抓住“多项式转化为几个整式乘积”这一核心特征，同时注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
二、填空题
11.若$a^m =4,a^n =6$,则$a^{m+n} =$
11.若$a^m =4,a^n =6$,则$a^{m+n} =$
24
.答案
11.24
解析
【分析】
解题时先观察所求式子$a^{m+n}$的指数是两个指数相加的形式，回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^x· a^y=a^{x+y}$，该法则可以逆用，即$a^{x+y}=a^x· a^y$。已知$a^m$和$a^n$的数值，直接代入逆运算公式即可求出结果。
【解析】
根据同底数幂乘法法则的逆运算可得：
$a^{m+n}=a^m· a^n$
将$a^m=4$，$a^n=6$代入上式计算：
$a^{m+n}=4×6=24$
【答案】
24
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的运算逆用
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂乘法法则的灵活应用，熟练掌握幂的相关运算法则及其逆用就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先观察所求式子$a^{m+n}$的指数是两个指数相加的形式，回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^x· a^y=a^{x+y}$，该法则可以逆用，即$a^{x+y}=a^x· a^y$。已知$a^m$和$a^n$的数值，直接代入逆运算公式即可求出结果。
【解析】
根据同底数幂乘法法则的逆运算可得：
$a^{m+n}=a^m· a^n$
将$a^m=4$，$a^n=6$代入上式计算：
$a^{m+n}=4×6=24$
【答案】
24
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的运算逆用
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂乘法法则的灵活应用，熟练掌握幂的相关运算法则及其逆用就能快速解题。
【难度系数】
0.9
12.如图,将三角板与直尺贴在一起,使三角板的直角顶点$C(∠ ACB=90°)$在直尺的一边上,若$∠ 1=25°$,则$∠ 2$等于
65
°。答案
12.65
解析
【分析】
解题思路：首先明确直尺的对边互相平行，三角板的直角∠ACB=90°。第一步，根据直角的定义，∠1和它右侧相邻的角相加为90°，先计算出这个相邻角的度数；第二步，根据平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，可知这个相邻角和∠2大小相等，代入数值即可算出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 直尺的两边互相平行，∠ACB=90°，
∴ ∠1与它右侧相邻的角之和为90°，
该相邻角的度数为：$90° - ∠ 1 = 90° - 25° = 65°$，
根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ 2 =$该相邻角$=65°$。
【答案】
65
【知识点】
平行线的性质，直角的定义，角度运算
【点评】
本题是常见的三角板与直尺组合的角度计算题，考查的都是基础知识点，难度较低，熟练掌握平行线的性质和直角的特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先明确直尺的对边互相平行，三角板的直角∠ACB=90°。第一步，根据直角的定义，∠1和它右侧相邻的角相加为90°，先计算出这个相邻角的度数；第二步，根据平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，可知这个相邻角和∠2大小相等，代入数值即可算出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 直尺的两边互相平行，∠ACB=90°，
∴ ∠1与它右侧相邻的角之和为90°，
该相邻角的度数为：$90° - ∠ 1 = 90° - 25° = 65°$，
根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ 2 =$该相邻角$=65°$。
【答案】
65
【知识点】
平行线的性质，直角的定义，角度运算
【点评】
本题是常见的三角板与直尺组合的角度计算题，考查的都是基础知识点，难度较低，熟练掌握平行线的性质和直角的特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13. 已知三角形的三边长分别是3,x,9,则化简$|x-5|+|x-13|=$
8
.答案
13.8
解析
【分析】
解题分两步走：第一步先利用三角形三边关系确定x的取值范围，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可求出x的取值区间；第二步根据绝对值的性质，判断绝对值内代数式的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到结果。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系求x的取值范围
已知三角形三边长为3、x、9，可得：
$9 - 3 ＜ x ＜ 9 + 3$
即 $6 ＜ x ＜ 12$
第二步：判断绝对值内式子的正负，去绝对值化简
因为$x ＞ 6$，所以$x ＞ 5$，即$x - 5 ＞ 0$，因此$|x - 5| = x - 5$
因为$x ＜ 12$，所以$x ＜ 13$，即$x - 13 ＜ 0$，因此$|x - 13| = -(x - 13) = 13 - x$
第三步：合并计算
$|x - 5| + |x - 13| = (x - 5) + (13 - x) = x - 5 + 13 - x = 8$
【答案】
8
【知识点】
三角形三边关系、绝对值化简、整式加减
【点评】
本题是基础综合题，将三角形三边关系和绝对值化简的知识点结合考查，解题的核心是先准确求出x的取值范围，再根据绝对值的性质正确去符号计算，避免因记错三边范围或绝对值规则出错。
【难度系数】
0.7
解题分两步走：第一步先利用三角形三边关系确定x的取值范围，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可求出x的取值区间；第二步根据绝对值的性质，判断绝对值内代数式的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到结果。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系求x的取值范围
已知三角形三边长为3、x、9，可得：
$9 - 3 ＜ x ＜ 9 + 3$
即 $6 ＜ x ＜ 12$
第二步：判断绝对值内式子的正负，去绝对值化简
因为$x ＞ 6$，所以$x ＞ 5$，即$x - 5 ＞ 0$，因此$|x - 5| = x - 5$
因为$x ＜ 12$，所以$x ＜ 13$，即$x - 13 ＜ 0$，因此$|x - 13| = -(x - 13) = 13 - x$
第三步：合并计算
$|x - 5| + |x - 13| = (x - 5) + (13 - x) = x - 5 + 13 - x = 8$
【答案】
8
【知识点】
三角形三边关系、绝对值化简、整式加减
【点评】
本题是基础综合题，将三角形三边关系和绝对值化简的知识点结合考查，解题的核心是先准确求出x的取值范围，再根据绝对值的性质正确去符号计算，避免因记错三边范围或绝对值规则出错。
【难度系数】
0.7
14. 规定一种新运算“△”，其规则是：$a△b=2a−b$. 已知关于$x$的不等式$x△k≥1$的解集在数轴上表示如图，则$k$的值是
-3
. 答案
14.-3
解析
【分析】
解题时首先理解新运算“△”的规则，先将不等式中的$x△k$按照规则转化为常规的代数式，得到关于$x$的一元一次不等式，解出不等式的解集后，和数轴表示的解集对比，令两个解集的边界值相等，即可求出$k$的值。
【解析】
首先根据新运算规则$a△b=2a-b$，可得：
$x△k=2x - k$
因此不等式$x△k≥1$可转化为：
$2x - k ≥1$
解这个不等式：
移项得$2x ≥ 1 + k$
两边同时除以2，得$x ≥ \frac{1 + k}{2}$
观察数轴可知，该不等式的解集为$x ≥ -1$
因此可得等式：$\frac{1 + k}{2} = -1$
解这个方程：
两边同乘2得$1 + k = -2$
移项得$k = -2 - 1 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
新定义运算，一元一次不等式的解法，数轴表示不等式解集
【点评】
本题将新定义运算与不等式知识结合，解题核心是准确理解新运算规则，将新运算转化为常规代数形式，再结合解集的对应关系求解，侧重考察基础知识的迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先理解新运算“△”的规则，先将不等式中的$x△k$按照规则转化为常规的代数式，得到关于$x$的一元一次不等式，解出不等式的解集后，和数轴表示的解集对比，令两个解集的边界值相等，即可求出$k$的值。
【解析】
首先根据新运算规则$a△b=2a-b$，可得：
$x△k=2x - k$
因此不等式$x△k≥1$可转化为：
$2x - k ≥1$
解这个不等式：
移项得$2x ≥ 1 + k$
两边同时除以2，得$x ≥ \frac{1 + k}{2}$
观察数轴可知，该不等式的解集为$x ≥ -1$
因此可得等式：$\frac{1 + k}{2} = -1$
解这个方程：
两边同乘2得$1 + k = -2$
移项得$k = -2 - 1 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
新定义运算，一元一次不等式的解法，数轴表示不等式解集
【点评】
本题将新定义运算与不等式知识结合，解题核心是准确理解新运算规则，将新运算转化为常规代数形式，再结合解集的对应关系求解，侧重考察基础知识的迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
15. 解方程组或不等式组：
(1) $\begin{cases}x + 2y = 10, \\2x - 3y = 6;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + 1 ＞ 3, \\2 + x ≥ 2(x - 1).\end{cases}$
15. 解方程组或不等式组：
(1) $\begin{cases}x + 2y = 10, \\2x - 3y = 6;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + 1 ＞ 3, \\2 + x ≥ 2(x - 1).\end{cases}$
答案
(1) $\begin{cases}x + 2y = 10,① \\2x - 3y = 6.②\end{cases}$ ①×2 - ②,得7y = 14，y = 2. 将y = 2代入①,得x + 2 × 2 = 10,x = 6. 所以,该方程组的解为$\begin{cases}x = 6, \\y = 2.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + 1 ＞ 3,① \\2 + x ≥ 2(x - 1).②\end{cases}$ 解不等式①,得x ＞ 2;解不等式②,得x ≤ 4. 所以,该不等式组的解集为2 ＜ x ≤ 4.
(2) $\begin{cases}x + 1 ＞ 3,① \\2 + x ≥ 2(x - 1).②\end{cases}$ 解不等式①,得x ＞ 2;解不等式②,得x ≤ 4. 所以,该不等式组的解集为2 ＜ x ≤ 4.
解析
【分析】
(1) 求解二元一次方程组可采用加减消元法：观察两个方程中x的系数，将第一个方程两边乘2后，两个方程的x系数相同，两式相减即可消去x，先求出y的值，再将y代入原方程就能求出x的值。
(2) 求解一元一次不等式组的思路是：先分别解出每个不等式的解集，再找两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases}x + 2y = 10,① \\2x - 3y = 6.②\end{cases}$
①×2得：$2x + 4y = 20$ ③，用③-②得：$(2x+4y)-(2x-3y)=20-6$，化简得$7y=14$，解得$y=2$。
将$y=2$代入①得：$x + 2×2 = 10$，解得$x=6$。
(2) 给不等式组标号：$\begin{cases}x + 1 ＞ 3,① \\2 + x ≥ 2(x - 1).②\end{cases}$
解不等式①：移项得$x＞3-1$，即$x＞2$。
解不等式②：去括号得$2+x≥2x-2$，移项合并同类项得$-x≥-4$，两边同时除以-1，不等号方向改变，得$x≤4$。
取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集。
【答案】
(1) $\begin{cases}x = 6, \\y = 2.\end{cases}$
(2) $2 ＜ x ≤ 4$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是基础运算类题目，考查代数基本运算能力，解题时要注意消元时系数计算准确，解不等式遇系数化为负时要改变不等号方向，熟练掌握运算法则即可顺利求解，是常规基础考点。
【难度系数】
0.85
(1) 求解二元一次方程组可采用加减消元法：观察两个方程中x的系数，将第一个方程两边乘2后，两个方程的x系数相同，两式相减即可消去x，先求出y的值，再将y代入原方程就能求出x的值。
(2) 求解一元一次不等式组的思路是：先分别解出每个不等式的解集，再找两个解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases}x + 2y = 10,① \\2x - 3y = 6.②\end{cases}$
①×2得：$2x + 4y = 20$ ③，用③-②得：$(2x+4y)-(2x-3y)=20-6$，化简得$7y=14$，解得$y=2$。
将$y=2$代入①得：$x + 2×2 = 10$，解得$x=6$。
(2) 给不等式组标号：$\begin{cases}x + 1 ＞ 3,① \\2 + x ≥ 2(x - 1).②\end{cases}$
解不等式①：移项得$x＞3-1$，即$x＞2$。
解不等式②：去括号得$2+x≥2x-2$，移项合并同类项得$-x≥-4$，两边同时除以-1，不等号方向改变，得$x≤4$。
取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集。
【答案】
(1) $\begin{cases}x = 6, \\y = 2.\end{cases}$
(2) $2 ＜ x ≤ 4$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是基础运算类题目，考查代数基本运算能力，解题时要注意消元时系数计算准确，解不等式遇系数化为负时要改变不等号方向，熟练掌握运算法则即可顺利求解，是常规基础考点。
【难度系数】
0.85
