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19. 为绿化城市，某市绿化改造工程正如火如荼地进行. 某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵，对光明路的某标段道路进行绿化改造. 已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元.
(1)若购买两种树苗的总金额为85 000元，求购买甲、乙两种树苗各多少棵；
(2)若购买甲种树苗的金额不多于购买乙种树苗的金额，至多应购买甲种树苗多少棵？
(1)若购买两种树苗的总金额为85 000元，求购买甲、乙两种树苗各多少棵；
(2)若购买甲种树苗的金额不多于购买乙种树苗的金额，至多应购买甲种树苗多少棵？
答案
(1)设购买甲、乙两种树苗分别为x棵、y棵.
根据题意,得$\begin{cases}x + y = 400, \\200x + 300y = 85 000.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 350, \\y = 50.\end{cases}$
答:购买甲、乙两种树苗分别为350棵、50棵.
(2)设购买甲种树苗a棵,则购买乙种树苗(400 - a)棵. 根据题意,得200a ≤ 300(400 - a). 解得a ≤ 240.
答:至多应购买甲种树苗240棵.
根据题意,得$\begin{cases}x + y = 400, \\200x + 300y = 85 000.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 350, \\y = 50.\end{cases}$
答:购买甲、乙两种树苗分别为350棵、50棵.
(2)设购买甲种树苗a棵,则购买乙种树苗(400 - a)棵. 根据题意,得200a ≤ 300(400 - a). 解得a ≤ 240.
答:至多应购买甲种树苗240棵.
解析
【分析】
（1）第一问存在两个明确的等量关系：一是甲、乙两种树苗总数量为400棵，二是购买两种树苗的总金额为85000元，可设两个未知数列二元一次方程组求解。（2）第二问给出不等关系“购买甲种树苗的金额不多于购买乙种树苗的金额”，“不多于”对应符号“≤”，可设甲种树苗数量为未知数，用总数量表示乙种树苗数量，列一元一次不等式求解，最终取符合条件的最大值即可。
【解析】
(1)设购买甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 400 \\200x + 300y = 85 000\end{cases}$
将$y=400-x$代入第二个方程得：
$200x + 300(400 - x) = 85000$
解得$x=350$，则$y=400-350=50$。
(2)设购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗$(400 - a)$棵，
根据题意列不等式：
$200a ≤ 300(400 - a)$
展开移项得$200a+300a ≤ 120000$，即$500a ≤ 120000$
解得$a ≤ 240$，即a的最大值为240。
【答案】
(1)购买甲种树苗350棵，乙种树苗50棵；(2)至多应购买甲种树苗240棵。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是常见的实际应用类题型，重点考查从题干中提取数量关系的能力，解题关键是准确区分等量关系和不等关系，正确列出对应的方程组与不等式，计算难度低，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
（1）第一问存在两个明确的等量关系：一是甲、乙两种树苗总数量为400棵，二是购买两种树苗的总金额为85000元，可设两个未知数列二元一次方程组求解。（2）第二问给出不等关系“购买甲种树苗的金额不多于购买乙种树苗的金额”，“不多于”对应符号“≤”，可设甲种树苗数量为未知数，用总数量表示乙种树苗数量，列一元一次不等式求解，最终取符合条件的最大值即可。
【解析】
(1)设购买甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 400 \\200x + 300y = 85 000\end{cases}$
将$y=400-x$代入第二个方程得：
$200x + 300(400 - x) = 85000$
解得$x=350$，则$y=400-350=50$。
(2)设购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗$(400 - a)$棵，
根据题意列不等式：
$200a ≤ 300(400 - a)$
展开移项得$200a+300a ≤ 120000$，即$500a ≤ 120000$
解得$a ≤ 240$，即a的最大值为240。
【答案】
(1)购买甲种树苗350棵，乙种树苗50棵；(2)至多应购买甲种树苗240棵。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题是常见的实际应用类题型，重点考查从题干中提取数量关系的能力，解题关键是准确区分等量关系和不等关系，正确列出对应的方程组与不等式，计算难度低，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
20. 由多项式乘法:$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$.
示例:因式分解:$x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$.
(1)尝试:因式分解:$x^2+6x+8=(x+\_\_\_\_\_\_)·(x+\_\_\_\_\_\_)$;
(2)应用:请用上述方法解方程:$x^2-3x-4=0$.
示例:因式分解:$x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$.
(1)尝试:因式分解:$x^2+6x+8=(x+\_\_\_\_\_\_)·(x+\_\_\_\_\_\_)$;
(2)应用:请用上述方法解方程:$x^2-3x-4=0$.
答案
(1)2 4
(2)因为$x^2 - 3x - 4 = x^2 + (1 - 4)x + (-4) × 1 = (x - 4)(x + 1) = 0$,所以x - 4 = 0 或x + 1 = 0,即x = 4 或x = -1.
(2)因为$x^2 - 3x - 4 = x^2 + (1 - 4)x + (-4) × 1 = (x - 4)(x + 1) = 0$,所以x - 4 = 0 或x + 1 = 0,即x = 4 或x = -1.
解析
【分析】
解决这类问题的核心是掌握十字相乘法因式分解的规则：对于二次三项式$x^2+px+q$，要找到两个数$m$、$n$，使得$m+n=p$，$mn=q$，即可分解为$(x+m)(x+n)$。(1)问中只需找到乘积为8、和为6的两个数即可；(2)问先将方程左侧的二次三项式用十字相乘法因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”，转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 观察$x^2+6x+8$，常数项$8=2×4$，一次项系数$6=2+4$，因此$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$，两个空依次填2、4。
(2) 解方程$x^2-3x-4=0$：
第一步，对左侧因式分解：常数项$-4=1×(-4)$，一次项系数$-3=1+(-4)$，因此$x^2-3x-4=(x+1)(x-4)$，原方程转化为：
$(x+1)(x-4)=0$
第二步，根据乘积为0的性质，可得$x+1=0$或$x-4=0$，分别解得$x=-1$或$x=4$。
【答案】
(1) 2；4
(2) $x=4$或$x=-1$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是十字相乘法的基础应用题型，解题关键是准确拆分常数项，找到满足和为一次项系数、积为常数项的两个数，掌握因式分解法解方程的转化逻辑，实用性较强。
【难度系数】
0.8
解决这类问题的核心是掌握十字相乘法因式分解的规则：对于二次三项式$x^2+px+q$，要找到两个数$m$、$n$，使得$m+n=p$，$mn=q$，即可分解为$(x+m)(x+n)$。(1)问中只需找到乘积为8、和为6的两个数即可；(2)问先将方程左侧的二次三项式用十字相乘法因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”，转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 观察$x^2+6x+8$，常数项$8=2×4$，一次项系数$6=2+4$，因此$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$，两个空依次填2、4。
(2) 解方程$x^2-3x-4=0$：
第一步，对左侧因式分解：常数项$-4=1×(-4)$，一次项系数$-3=1+(-4)$，因此$x^2-3x-4=(x+1)(x-4)$，原方程转化为：
$(x+1)(x-4)=0$
第二步，根据乘积为0的性质，可得$x+1=0$或$x-4=0$，分别解得$x=-1$或$x=4$。
【答案】
(1) 2；4
(2) $x=4$或$x=-1$
【知识点】
十字相乘法因式分解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是十字相乘法的基础应用题型，解题关键是准确拆分常数项，找到满足和为一次项系数、积为常数项的两个数，掌握因式分解法解方程的转化逻辑，实用性较强。
【难度系数】
0.8
