【典例】如图,已知$AB:BC:CD=2:3:4$,$E,F$分别为$AB,CD$的中点,且$EF=15$.求线段$AD$的长.

[答案]解:设$AB=2x$,$BC=3x$,$CD=4x$.
因为$E,F$分别为$AB,CD$的中点,所以$BE=\frac{1}{2}AB=x$,$CF=\frac{1}{2}CD=2x$.
因为$EF=15$,所以$BE+BC+CF=15$,所以$x+3x+2x=15$,解得$x=\frac{5}{2}$,
所以$AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x=\frac{45}{2}$.

解：设$AB=2x$，$BC=3x$，$CD=4x$。
因为$E,F$分别为$AB,CD$的中点，
所以$BE=\frac{1}{2}AB=x$，$CF=\frac{1}{2}CD=2x$。
因为$EF=15$，且$EF=BE+BC+CF$，
所以$x+3x+2x=15$，
解得$x=\frac{5}{2}$。
所以$AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x=\frac{45}{2}$。
答：线段$AD$的长为$\frac{45}{2}$。

【分析】
遇到线段长度成比例的问题，我们可以先设每份长度为x，把各段线段用含x的式子表示；再结合E、F是中点的条件，根据线段中点的定义算出BE、CF的长度；观察图形可知EF由BE、BC、CF三段组成，已知EF=15，就能列出方程求出x的值；最后AD是AB、BC、CD三段的和，代入x的值即可算出AD的长度。
【解析】
设$AB=2x$，$BC=3x$，$CD=4x$。
因为$E,F$分别为$AB,CD$的中点，
所以$BE=\frac{1}{2}AB=x$，$CF=\frac{1}{2}CD=2x$。
因为$EF=15$，且$EF=BE+BC+CF$，
所以$x+3x+2x=15$，
解得$x=\frac{5}{2}$。
所以$AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x=9×\frac{5}{2}=\frac{45}{2}$。
【答案】
$\frac{45}{2}$
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义；比例的应用
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题核心是用设参数的方法把比例关系转化为代数式，结合线段和差关系与中点性质列方程求解，掌握该方法可解决大部分同类线段计算问题。
【难度系数】
0.7

【变式】如图，把一根细线绳对折成两条重合的线段AB，点P在线段AB上，且$AP:BP=2:3$。
(1)若细线绳的长度是100 cm，求线段AP的长；
(2)从点P处把细线绳剪断后展开，细线绳变成三段，若三段中最长的一段为60 cm，求原来细线绳的长。

解:(1)由题意,得 $AB=\frac{1}{2}×100=50$(cm).
因为 $AP:BP=2:3$,
所以 AP=20 cm.
(2)因为 $AP:BP=2:3$,
所以设 AP=2x cm,BP=3x cm.
当这根细线绳沿点 B 对折成线段 AB 时,剪断后的三段细线绳的长度分别为 2x cm,2x cm,6x cm,
所以 6x=60,解得 x=10,
所以原来细线绳的长为 2x+2x+6x=10x=100(cm).
当这根细线绳沿点 A 对折成线段 AB 时,剪断后的三段细线绳的长度分别为 4x cm,3x cm,3x cm,
所以 4x=60,解得 x=15,
所以原来细线绳的长为 4x+3x+3x=10x=150(cm).
综上所述,原来细线绳的长为 100 cm 或 150 cm.

【分析】
(1) 细线绳对折后得到的线段AB长度是原绳长的一半，先计算出AB的长度，再根据AP和BP的比例关系，按比例分配即可求出AP的长度。
(2) 对折方向存在两种情况：沿点B对折或沿点A对折，需分类讨论求解。先按比例设AP、BP的长度为含未知数的表达式，分别找出两种对折情况下剪断后最长线段对应的表达式，令其等于60cm求出未知数，再计算原绳总长度即可。
【解析】
(1) 因为细线绳对折成线段AB，所以AB的长度为细线绳总长的一半。
已知细线绳长度是100cm，因此$AB=\frac{1}{2}×100=50$（cm）。
又因为$AP:BP=2:3$，将AB平均分为$2+3=5$份，AP占2份，
所以$AP=50×\frac{2}{2+3}=20$（cm）。
(2) 设$AP=2x$cm，$BP=3x$cm，分两种情况讨论：
① 若细线绳沿点B对折成线段AB：
剪断展开后三段长度分别为$2x$cm、$2x$cm、$3x×2=6x$cm，最长段为6x cm。
由题意得$6x=60$，解得$x=10$，
原绳总长为$2x+2x+6x=10x=10×10=100$（cm）。
② 若细线绳沿点A对折成线段AB：
剪断展开后三段长度分别为$2x×2=4x$cm、$3x$cm、$3x$cm，最长段为4x cm。
由题意得$4x=60$，解得$x=15$，
原绳总长为$4x+3x+3x=10x=10×15=150$（cm）。
综上，原来细线绳的长为100cm或150cm。
【答案】
(1) $\boxed{20\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boxed{100\ \mathrm{cm}}$或$\boxed{150\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段和差计算、按比例分配、分类讨论
【点评】
本题结合折叠场景考查线段的比例计算，解题的关键是考虑到两种折叠方向，避免漏解，通过设未知数按比例表示线段长度可以简化计算过程。
【难度系数】
0.6

1.如图，点M在线段AB上，则下列条件不能确定M是AB的中点的是 （）


A.$BM=\frac{1}{2}AB$
B.$AM+BM=AB$
C.$AM=BM$
D.$AB=2AM$

1. B

【分析】
要判断哪个条件不能确定M是AB的中点，首先明确线段中点的定义：在线段上，能把线段分成两条相等线段的点就是线段的中点。解题时先确认M已经在线段AB上，再逐个分析每个选项的条件是否能推出AM和BM相等，能推出就可以确定是中点，反之就不能。
【解析】
首先回忆线段中点的判定规则：点M在线段AB上，若满足AM=BM，或AM=$\frac{1}{2}$AB，或BM=$\frac{1}{2}$AB，或AB=2AM，或AB=2BM，则M是AB的中点。
对各选项逐一分析：
选项A：已知BM=$\frac{1}{2}$AB，且M在线段AB上，可得AM=AB-BM=$\frac{1}{2}$AB，即AM=BM，能确定M是AB中点，不符合题意。
选项B：只要点M在线段AB上，无论M在AB上的哪个位置，都满足AM+BM=AB，因此该条件无法确定M是AB中点，符合题意。
选项C：AM=BM是线段中点的定义，直接可以确定M是AB中点，不符合题意。
选项D：已知AB=2AM，可得AM=$\frac{1}{2}$AB，又M在线段AB上，因此BM=AB-AM=$\frac{1}{2}$AB，即AM=BM，能确定M是AB中点，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.线段中点的定义 2.线段的和差关系
【点评】
本题是线段中点判定的基础易错题，解题时要注意区分线段中点的判定条件和线段和的基本性质，只要点在线段上就天然满足两段线段长度和等于总线段长，该条件不能用来判定中点。
【难度系数】
0.7

2.线段a，b如图1所示，则图2中线段AB表示的是（）


A.$a - b$
B.$a + b$
C.$a - 2b$
D.$2a - b$

2. D [解析] 由题图可得，$AB=AC-BC=a+a-b=2a-b$。

【分析】
解题时先观察图2的线段组成：首先明确线段AC是由两条长度为a的线段拼接得到，再找到已知长度为b的线段BC。我们要求的AB是AC去掉BC之后剩下的部分，所以用AC的总长度减去BC的长度，就能得到AB对应的表达式。
【解析】
观察图2可知：
线段AC的长度 = $a+a=2a$，
线段BC的长度 = $b$，
根据线段的和差关系可得：$AB=AC-BC$，
代入长度计算得$AB=2a-b$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.线段的和差计算
2.代数式表示线段长度
【点评】
本题属于线段和差的基础应用题，解题关键是准确识别图中各线段的包含关系，结合已知线段长度列式即可，只要掌握线段加减的基本逻辑就能顺利解答。
【难度系数】
0.85