【学以致用3】如图，小明家到小颖家有三条路，若小明想尽快到达小颖家，则他应该选线路（填序号），用数学知识解释为。

② 两点之间，线段最短

【分析】
要选最快到达的线路，本质是选择小明家（A点）到小颖家（B点）之间最短的路线。首先观察三条线路的特征：①是上方的曲线，②是连接A、B两点的线段，③是下方的曲线。回忆学过的线段相关性质：两点之间的所有连线中，线段的长度是最短的，因此只要找出A、B之间的线段对应的线路即可。
【解析】
观察三条线路：
线路①、③均为连接A、B两点的曲线，线路②是直接连接A、B两点的线段。
根据“两点之间，线段最短”的数学原理，三条线路中线路②的长度最短，能最快到达，因此应该选线路②。
【答案】
②；两点之间，线段最短
【知识点】
两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活出行的实际场景考查线段的基本性质，属于基础题，将生活问题转化为数学中两点间路线长度比较的问题即可求解，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.9

【学以致用4】已知点B在线段AC上，AB=5，BC=3，则A，C两点之间的距离是（）

A.8
B.2
C.4
D.无法确定

A
解析：因为点B在线段AC上，所以AC=5+3=8。

【分析】
首先明确题目给出的已知条件：点B在线段AC上，AB=5，BC=3，要求A、C两点的距离。首先理解“点B在线段AC上”的含义，即点B位于A、C两点之间，不存在其他位置情况，此时线段AC的长度就等于AB和BC两段线段的长度之和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：因为点B在线段AC上，所以点B在A、C两点之间，线段AC的长度为AB与BC的长度和。
将AB=5，BC=3代入计算：
$AC=AB+BC=5+3=8$
因此A、C两点之间的距离是8，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.线段的和差计算
2.点与线段的位置关系
【点评】
本题属于线段和差的基础题型，解题关键是抓住“点B在线段AC上”这一限定条件，确定三点的位置关系后直接求和即可。要注意区分“点在线段上”和“点在直线上”的表述差异，后者需要分多种情况讨论。
【难度系数】
0.9

【学以致用5】如图，M是线段AC的中点，点B在线段AC上，且AB=4 cm，BC=2AB，求线段MC和线段BM的长。

解:因为 AB=4 cm,BC=2AB,
所以 BC=8 cm,
所以 AC=AB+BC=4+8=12(cm).
因为 M是线段AC的中点,
所以 MC=AM=$\frac{1}{2}$AC=6 cm,
所以 BM=AM-AB=6-4=2(cm).

【分析】
解题时先从已知条件出发：第一步，已知AB的长度，且BC是AB的2倍，先计算出BC的长度；第二步，线段AC由AB和BC两段组成，用求和公式算出AC的总长度；第三步，根据M是AC中点的性质，中点会将线段分成两段长度相等的线段，由此算出MC的长度；第四步，BM的长度可通过AM（与MC长度相等）减去AB的长度求出，也可以用BC减去MC计算，两种方法均可得到结果。
【解析】
因为AB=4 cm，BC=2AB，
所以BC=2×4=8 cm，
所以AC=AB+BC=4+8=12(cm)。
因为M是线段AC的中点，
所以MC=AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×12=6 cm，
所以BM=AM-AB=6-4=2(cm)。
【答案】
MC=6 cm，BM=2 cm
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段长度计算的基础题型，核心是结合已知条件逐步推导未知线段的长度，解题的关键是先求出总线段AC的长度，再利用线段中点的性质求解，只要掌握线段和差的计算方法和中点的概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.85

【学以致用6】如图，C，D为线段AB上的两点，$AC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}DB$，E是线段BD的中点，若$AB=10$，求CE的长度。

解:因为 $AC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}DB,AB=10$,
所以 AC=2,CD=BD=4.
因为 E是线段BD的中点,
所以 DE=BE=$\frac{1}{2}$BD=2,
所以 CE=CD+DE=4+2=6.

【分析】
解题时首先梳理已知的线段数量关系，由$AC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}DB$可推出CD和DB的长度都是AC的2倍；整条线段AB由AC、CD、DB三段拼接而成，结合AB总长为10，就能先算出AC、CD、DB的长度；再根据E是BD中点的条件，算出DE的长度，最后CE的长度等于CD与DE的和，即可求出结果。
【解析】
解：由$AC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}DB$可得：
$CD=2AC$，$DB=2AC$
因为线段AB的总长为$AB=AC+CD+DB$，代入得：
$AB=AC+2AC+2AC=5AC$
已知$AB=10$，所以$5AC=10$，解得$AC=2$
则$CD=2AC=4$，$DB=2AC=4$
又因为E是线段BD的中点，所以$DE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×4=2$
所以$CE=CD+DE=4+2=6$
【答案】
6
【知识点】
线段的和差运算；线段中点的性质；按比例求线段长度
【点评】
本题是线段计算的常见基础题型，核心是梳理清楚各线段之间的数量关系，先通过整体线段长度求出各分段的长度，再结合中点性质计算目标线段，解题时可以借助线段图标注已知量降低思考难度。
【难度系数】
0.7

【学以致用7】如图，已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，若$BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$，E为线段AB的中点，$EC=12\ \mathrm{cm}$，求线段AC的长度。

解:设 $BD=x$ cm.
因为 $BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,
所以 AB=4BD=4x cm,CD=3BD=3x cm.
因为 DC=DB+BC,所以 BC=3x-x=2x(cm).
因为 AC=AB+BC,所以 AC=4x+2x=6x(cm).
因为 E 为线段AB 的中点,
所以 BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×4x=2x$(cm).
因为 EC=BE+BC,所以 EC=2x+2x=4x(cm).
因为 EC=12 cm,所以 4x=12,解得 x=3,
所以 AC=6x=6×3=18(cm).

【分析】
本题给出了多组线段的比例关系，BD是两个比例式的公共关联线段，因此我们可以先设BD的长度为未知数x，根据比例关系把AB、CD都用含x的式子表示，再利用线段的和差关系求出BC的长度，结合E是AB中点的条件算出BE的长度，然后写出EC的表达式，根据已知EC=12cm列方程求出x的值，最后代入AC的表达式即可算出AC的长度。
【解析】
解:设 $BD=x$ cm.
因为 $BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,
所以 $AB=4BD=4x$ cm,$CD=3BD=3x$ cm.
因为 $DC=DB+BC$,所以 $BC=3x-x=2x$(cm).
因为 $AC=AB+BC$,所以 $AC=4x+2x=6x$(cm).
因为 E 为线段AB 的中点,
所以 $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4x=2x$(cm).
因为 $EC=BE+BC$,所以 $EC=2x+2x=4x$(cm).
因为 $EC=12$ cm,所以 $4x=12$,解得 $x=3$,
所以 $AC=6x=6×3=18$(cm).
【答案】
$\boldsymbol{18\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，方程法求线段长度
【点评】
本题是线段长度计算的典型题型，解题核心是找到关联多条线段的公共量作为未知数，将所有相关线段用同一未知数表示，再结合已知条件建立等量关系求解，这种设参数的思路在几何线段计算中十分常用。
【难度系数】
0.7