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1.如图,在边长为1的正方形网格中有一个三角形ABC,其边长中是无理数的有(
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
C
)A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
答案
C
解析
【分析】
要判断三角形ABC的边长中无理数的条数，首先利用网格中每个小正方形边长为1的条件，结合勾股定理分别计算出三条边的长度，再根据无理数的定义判断各边是否为无理数，最后统计无理数的条数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算三边长度：
1. 计算AB的长度：AB对应的直角三角形两直角边长分别为1和5，因此$AB^2=1^2+5^2=26$，则$AB=\sqrt{26}$，$\sqrt{26}$是无理数；
2. 计算BC的长度：BC对应的直角三角形两直角边长分别为3和2，因此$BC^2=3^2+2^2=13$，则$BC=\sqrt{13}$，$\sqrt{13}$是无理数；
3. 计算AC的长度：AC对应的直角三角形两直角边长分别为4和3，因此$AC^2=4^2+3^2=25$，则$AC=\sqrt{25}=5$，5是有理数。
综上，边长为无理数的有2条，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；无理数的概念
【点评】
本题是网格类基础题，解题核心是熟练运用勾股定理计算网格中线段的长度，同时能准确区分有理数和无理数，掌握这两个知识点就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
要判断三角形ABC的边长中无理数的条数，首先利用网格中每个小正方形边长为1的条件，结合勾股定理分别计算出三条边的长度，再根据无理数的定义判断各边是否为无理数，最后统计无理数的条数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算三边长度：
1. 计算AB的长度：AB对应的直角三角形两直角边长分别为1和5，因此$AB^2=1^2+5^2=26$，则$AB=\sqrt{26}$，$\sqrt{26}$是无理数；
2. 计算BC的长度：BC对应的直角三角形两直角边长分别为3和2，因此$BC^2=3^2+2^2=13$，则$BC=\sqrt{13}$，$\sqrt{13}$是无理数；
3. 计算AC的长度：AC对应的直角三角形两直角边长分别为4和3，因此$AC^2=4^2+3^2=25$，则$AC=\sqrt{25}=5$，5是有理数。
综上，边长为无理数的有2条，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；无理数的概念
【点评】
本题是网格类基础题，解题核心是熟练运用勾股定理计算网格中线段的长度，同时能准确区分有理数和无理数，掌握这两个知识点就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
2.若$x^2=8$，则x
不是
分数，不是
整数，不是
有理数。（均填“是”或“不是”）答案
不是、不是、不是
解析
【分析】
解题时首先需要根据平方根的定义求出x的取值，再依次结合整数、分数、有理数的定义进行判断：第一步，先求解方程$x^2=8$得到x的具体形式；第二步，对照整数的定义判断x是否为整数；第三步，对照分数的定义（可表示为两个整数的比值，即有限小数或无限循环小数）判断x是否为分数；第四步，根据有理数是整数和分数的统称，判断x是否为有理数。
【解析】
解：由$x^2=8$，根据平方根的定义可得$x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$。
1. 整数的范围包括正整数、0、负整数，$2\sqrt{2}\approx2.828$，是无限不循环小数，不属于整数，因此x不是整数；
2. 分数是可以表示为两个整数的比值（分母不为0）的数，本质是有限小数或无限循环小数，$2\sqrt{2}$是无限不循环小数，无法表示为两个整数的比值，因此x不是分数；
3. 有理数是整数和分数的统称，x既不是整数也不是分数，因此x不是有理数。
【答案】
不是、不是、不是
【知识点】
平方根的运算，有理数的定义，无理数的识别
【点评】
本题主要考查实数的分类相关知识，解题的关键是先正确求出x的值，再结合各类数的定义逐一判断，要注意开方开不尽的数属于无理数，不要将无理数误判为分数。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要根据平方根的定义求出x的取值，再依次结合整数、分数、有理数的定义进行判断：第一步，先求解方程$x^2=8$得到x的具体形式；第二步，对照整数的定义判断x是否为整数；第三步，对照分数的定义（可表示为两个整数的比值，即有限小数或无限循环小数）判断x是否为分数；第四步，根据有理数是整数和分数的统称，判断x是否为有理数。
【解析】
解：由$x^2=8$，根据平方根的定义可得$x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$。
1. 整数的范围包括正整数、0、负整数，$2\sqrt{2}\approx2.828$，是无限不循环小数，不属于整数，因此x不是整数；
2. 分数是可以表示为两个整数的比值（分母不为0）的数，本质是有限小数或无限循环小数，$2\sqrt{2}$是无限不循环小数，无法表示为两个整数的比值，因此x不是分数；
3. 有理数是整数和分数的统称，x既不是整数也不是分数，因此x不是有理数。
【答案】
不是、不是、不是
【知识点】
平方根的运算，有理数的定义，无理数的识别
【点评】
本题主要考查实数的分类相关知识，解题的关键是先正确求出x的值，再结合各类数的定义逐一判断，要注意开方开不尽的数属于无理数，不要将无理数误判为分数。
【难度系数】
0.8
3.面积为3的正方形的边长
不是
有理数；面积为4的正方形的边长是
有理数。(均填“是”或“不是”)答案
不是、是
解析
【分析】
解题首先要明确正方形面积与边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此边长是面积的算术平方根；再结合有理数的定义（整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数），分别计算两个正方形的边长并判断是否为有理数即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式可得$a^2 = S$（$S$为正方形面积，边长$a＞0$）。
1. 当面积$S=3$时，$a^2=3$，因此$a=\sqrt{3}$。$\sqrt{3}$是无限不循环小数，属于无理数，因此不是有理数。
2. 当面积$S=4$时，$a^2=4$，因此$a=\sqrt{4}=2$。2是整数，整数属于有理数，因此是有理数。
【答案】
不是；是
【知识点】
算术平方根的计算；有理数的概念；正方形面积公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，将几何的正方形面积计算和代数的数系分类知识结合，解题关键是正确计算算术平方根，明确有理数和无理数的判定标准。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确正方形面积与边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此边长是面积的算术平方根；再结合有理数的定义（整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数），分别计算两个正方形的边长并判断是否为有理数即可。
【解析】
设正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式可得$a^2 = S$（$S$为正方形面积，边长$a＞0$）。
1. 当面积$S=3$时，$a^2=3$，因此$a=\sqrt{3}$。$\sqrt{3}$是无限不循环小数，属于无理数，因此不是有理数。
2. 当面积$S=4$时，$a^2=4$，因此$a=\sqrt{4}=2$。2是整数，整数属于有理数，因此是有理数。
【答案】
不是；是
【知识点】
算术平方根的计算；有理数的概念；正方形面积公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，将几何的正方形面积计算和代数的数系分类知识结合，解题关键是正确计算算术平方根，明确有理数和无理数的判定标准。
【难度系数】
0.9
4.如图,在$5×5$的正方形网格中有一个以格点为顶点的正方形ABCD,网格中每个小正方形的边长均为1。
(1)求正方形ABCD的面积。
(2)试判断正方形ABCD的边长是不是有理数。
(1)求正方形ABCD的面积。
(2)试判断正方形ABCD的边长是不是有理数。
答案
(1)$S_{正方形ABCD}=5×5-4×\frac{1}{2}×1×4=25-8=17$。
(2)正方形ABCD的边长不是有理数。
(2)正方形ABCD的边长不是有理数。
解析
【分析】
(1) 网格中斜放的正方形直接求边长计算面积较繁琐，可采用割补法求解：先计算包含正方形ABCD的大正方形的面积，再减去周围4个多余的全等直角三角形的面积，即可得到正方形ABCD的面积。首先确定大正方形是边长为5的正方形，面积可直接求出；再观察周围4个直角三角形的直角边分别为1和4，算出单个三角形面积后乘4得到总面积，最后作差即可。
(2) 要判断边长是否为有理数，先根据正方形面积公式，由已求出的面积得到边长是面积的算术平方根，再结合有理数的定义（整数和分数统称有理数），判断该算术平方根是否属于有理数即可。
【解析】
(1) 运用割补法计算：
包含正方形ABCD的大正方形边长为5，面积为$5×5=25$
正方形ABCD周围的4个直角三角形全等，每个三角形的两条直角边分别为1和4，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×1×4=2$
4个三角形的总面积为$4×2=8$
因此$S_{正方形ABCD}=25-8=17$
(2) 设正方形ABCD的边长为$a$，根据正方形面积公式可得$a^2=17$，解得$a=\sqrt{17}$
有理数是整数和分数的统称，$\sqrt{17}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，因此正方形ABCD的边长不是有理数。
【答案】
(1) $\boxed{17}$
(2) 正方形ABCD的边长不是有理数。
【知识点】
割补法求面积、有理数的定义、正方形面积公式
【点评】
本题属于实数章节的基础题，重点考查网格中不规则图形的面积计算技巧，以及有理数和无理数的区分。割补法是解决网格类面积问题的常用方法，同时需要准确掌握有理数的概念，能正确判断开方结果的属性。
【难度系数】
0.8
(1) 网格中斜放的正方形直接求边长计算面积较繁琐，可采用割补法求解：先计算包含正方形ABCD的大正方形的面积，再减去周围4个多余的全等直角三角形的面积，即可得到正方形ABCD的面积。首先确定大正方形是边长为5的正方形，面积可直接求出；再观察周围4个直角三角形的直角边分别为1和4，算出单个三角形面积后乘4得到总面积，最后作差即可。
(2) 要判断边长是否为有理数，先根据正方形面积公式，由已求出的面积得到边长是面积的算术平方根，再结合有理数的定义（整数和分数统称有理数），判断该算术平方根是否属于有理数即可。
【解析】
(1) 运用割补法计算：
包含正方形ABCD的大正方形边长为5，面积为$5×5=25$
正方形ABCD周围的4个直角三角形全等，每个三角形的两条直角边分别为1和4，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×1×4=2$
4个三角形的总面积为$4×2=8$
因此$S_{正方形ABCD}=25-8=17$
(2) 设正方形ABCD的边长为$a$，根据正方形面积公式可得$a^2=17$，解得$a=\sqrt{17}$
有理数是整数和分数的统称，$\sqrt{17}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，因此正方形ABCD的边长不是有理数。
【答案】
(1) $\boxed{17}$
(2) 正方形ABCD的边长不是有理数。
【知识点】
割补法求面积、有理数的定义、正方形面积公式
【点评】
本题属于实数章节的基础题，重点考查网格中不规则图形的面积计算技巧，以及有理数和无理数的区分。割补法是解决网格类面积问题的常用方法，同时需要准确掌握有理数的概念，能正确判断开方结果的属性。
【难度系数】
0.8
5. 提升题 将两个边长为2的小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形。大正方形的边长x是有理数吗？说说你的理由。
答案
解:不是有理数。理由如下：
因为将两个边长为2的小正方形剪拼成一个大正方形，
所以大正方形的面积是$\frac{1}{2}×2^2×4=8$,即$x^2=8$。
因为x既不是整数，也不是分数，所以x不是有理数。
因为将两个边长为2的小正方形剪拼成一个大正方形，
所以大正方形的面积是$\frac{1}{2}×2^2×4=8$,即$x^2=8$。
因为x既不是整数，也不是分数，所以x不是有理数。
解析
【分析】
解决这道题可按三步思考：第一步抓住剪拼问题的核心特点——剪拼前后图形的总面积不变，所以大正方形的面积等于两个边长为2的小正方形的面积之和；第二步结合正方形面积公式“面积=边长²”，建立大正方形边长x和面积的关系式；第三步根据有理数的定义（有理数是整数和分数的统称），判断x是否属于有理数的范畴，即可得到结论。
【解析】
解：x不是有理数，理由如下：
因为将两个边长为2的小正方形剪拼成一个大正方形，剪拼前后总面积不变，
所以大正方形的面积为$\frac{1}{2}×2^2×4=8$，即$x^2=8$。
由于$2^2=4$，$3^2=9$，因此x介于2和3之间，不是整数；同时分数的平方仍为分数，不可能等于整数8，因此x也不是分数。
综上，x不是有理数。
【答案】
x不是有理数。理由：大正方形的面积是$\frac{1}{2}×2^2×4=8$，即$x^2=8$，因为x既不是整数，也不是分数，所以x不是有理数。
【知识点】
有理数的定义、正方形面积计算、剪拼面积守恒
【点评】
本题侧重考查对有理数概念的应用和剪拼问题规律的掌握，解题关键是利用面积不变建立边长的等量关系，能帮助学生更好地区分有理数和无理数的差异。
【难度系数】
0.7
解决这道题可按三步思考：第一步抓住剪拼问题的核心特点——剪拼前后图形的总面积不变，所以大正方形的面积等于两个边长为2的小正方形的面积之和；第二步结合正方形面积公式“面积=边长²”，建立大正方形边长x和面积的关系式；第三步根据有理数的定义（有理数是整数和分数的统称），判断x是否属于有理数的范畴，即可得到结论。
【解析】
解：x不是有理数，理由如下：
因为将两个边长为2的小正方形剪拼成一个大正方形，剪拼前后总面积不变，
所以大正方形的面积为$\frac{1}{2}×2^2×4=8$，即$x^2=8$。
由于$2^2=4$，$3^2=9$，因此x介于2和3之间，不是整数；同时分数的平方仍为分数，不可能等于整数8，因此x也不是分数。
综上，x不是有理数。
【答案】
x不是有理数。理由：大正方形的面积是$\frac{1}{2}×2^2×4=8$，即$x^2=8$，因为x既不是整数，也不是分数，所以x不是有理数。
【知识点】
有理数的定义、正方形面积计算、剪拼面积守恒
【点评】
本题侧重考查对有理数概念的应用和剪拼问题规律的掌握，解题关键是利用面积不变建立边长的等量关系，能帮助学生更好地区分有理数和无理数的差异。
【难度系数】
0.7
