一、利用方程思想求线段的长
1. (2025成都模拟)如图，点C是线段AE的中点，点D在线段CE上，点B是线段AD的中点.

(1)若$AC=3$，$DE=2$，求$CD$的长；
(2)若$BC=3$，$CD:AD=1:4$，求$AC$的长.

1. 解:(1)因为点C是线段AE的中点,AC=3,
所以$AC=CE=\frac{1}{2}AE=3$,
所以$AE=6$.
因为$DE=2$,
所以$CD=CE-DE=1$.
(2)由于$CD:AD=1:4$,所以设$CD=x$,则$AD=4x$.
因为点B是线段AD的中点,
所以$AB=BD=2x$.
因为$BD-CD=BC$,即$2x-x=3$,
解得$x=3$,
即$CD=3=BC$,
所以$AB=BD=6$,
所以$AC=AB+BC=9$.

2. 如图，点C为线段AB上一点，点D为线段BC的中点。

(1)若$AB=7\ \mathrm{cm}$，$AC=2\ \mathrm{cm}$，则$BD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$；
(2)若$AB=8\ \mathrm{cm}$，$CD-AC=1\ \mathrm{cm}$，求线段AC的长度。

2. 解:(1) $\frac{5}{2}$
(2)因为点D为线段BC的中点,
所以$CD=BD$.
设$AC=x\ \mathrm{cm}$,则$CD=BD=(x+1)\mathrm{cm}$,
因为$AB=8\ \mathrm{cm}$,即$AC+CD+BD=8\ \mathrm{cm}$,
所以$x+(x+1)+(x+1)=8$,
解得$x=2$,
即$AC=2\ \mathrm{cm}$.

二、利用整体思想求线段的长
3. 如图，已知点C，D为线段AB上的两点，点M，N分别是AC，BD的中点。

(1)若AB=24，CD=10，求MN的长；
(2)若AB=a，CD=b，请用含a，b的式子表示出MN的长。

3. 解:(1)因为$AB=24$,$CD=10$,
所以$AC+DB=AB-CD=14$.
因为M,N分别为AC,BD的中点,
所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$DN=\frac{1}{2}BD$,
所以$MC+DN=\frac{1}{2}(AC+DB)=7$,
所以$MN=MC+DN+CD=17$.
(2)因为$AB=a$,$CD=b$,
所以$AC+DB=a-b$.
因为M,N分别为AC,BD的中点,
所以$MC+DN=\frac{1}{2}(AC+DB)=\frac{1}{2}(a-b)$,
所以$MN=MC+DN+CD=\frac{1}{2}(a-b)+b=\frac{1}{2}(a+b)$.

4.如图,点 C 在线段 AB 上,点 M,N 分别是AC,BC 的中点.

(1)若$AC=9\ \mathrm{cm}$,$CB=6\ \mathrm{cm}$,则线段 MN 的长为$\mathrm{cm}$;
(2)若$AC=a\ \mathrm{cm}$,$CB=b\ \mathrm{cm}$,则线段 MN 的长为$\mathrm{cm}$;
(3)若$AB=m\ \mathrm{cm}$,求线段 MN 的长度;
(4)若点 C 为线段 AB 上任意一点,且$AB=n\ \mathrm{cm}$,其他条件不变,你能猜想 MN 的长度吗? 并用一句简洁的话描述你发现的结论;
(5)若$MN=k\ \mathrm{cm}$,求线段 AB 的长;
(6)若将题中的“点 C 在线段 AB 上”改为“点 C 在线段 AB 的延长线上”,其他条件不变,(3)中的结论还成立吗? 请画出图形,写出你的结论,并说明理由.

4. 解:(1) $\frac{15}{2}$
(2) $\frac{a+b}{2}$
(3)因为点M,N分别是AC,BC的中点,
所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$CN=\frac{1}{2}BC$.
又因为$MN=MC+CN$,
所以$MN=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{m}{2}(\mathrm{cm})$.
(4)猜想:$MN=\frac{1}{2}AB=\frac{n}{2}(\mathrm{cm})$.
结论:若点C为线段AB上一点,且点M,N分别是AC,BC的中点,则$MN=\frac{1}{2}AB$.
(5)因为点M是AC的中点,所以$CM=\frac{1}{2}AC$.
因为点N是BC的中点,所以$CN=\frac{1}{2}BC$,
所以$MN=CM+CN=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB$.
所以$AB=2MN=2k(\mathrm{cm})$.
(6)成立,$MN=\frac{m}{2}\ \mathrm{cm}$.理由如下:
当点C在线段AB的延长线上时,如图.

因为点M,N分别是AC,BC的中点,
所以$MC=\frac{1}{2}AC$,$CN=\frac{1}{2}BC$.
又因为$MN=MC-CN$,
所以$MN=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{m}{2}(\mathrm{cm})$.