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5. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳.当容器的容积$ V $(单位:$ m^3 $)变化时,气体的密度$ \rho $(单位:$ kg/m^3 $)随之变化.已知密度$ \rho $与容积$ V $是反比例函数关系,它的图象如图所示.
(1)写出密度$ \rho $关于容积$ V $的函数解析式.
(2)当$ V=4 $时,求二氧化碳的密度$ \rho $.
(3)当$ 2≤\rho≤6 $时,求$ V $的取值范围.
(1)写出密度$ \rho $关于容积$ V $的函数解析式.
(2)当$ V=4 $时,求二氧化碳的密度$ \rho $.
(3)当$ 2≤\rho≤6 $时,求$ V $的取值范围.
答案
5.【解】(1)设密度$\rho$关于容积$V$的函数解析式为$\rho=\frac{k}{V}(k≠0)$.
把$V=5,\rho=2$代入$\rho=\frac{k}{V}$,得$2=\frac{k}{5}$.
解得$k=10$.
因此,密度$\rho$关于容积$V$的函数解析式为$\rho=\frac{10}{V}$.
(2)当$V=4$时,$\rho=\frac{10}{4}=2.5$.
因此,当$V=4$时,二氧化碳的密度$\rho$为$2.5\ \mathrm{kg/m^3}$.
(3)观察题图,得当$\rho=2$时,$V=5$.
把$\rho=6$代入$\rho=\frac{10}{V}$,得$6=\frac{10}{V}$.
解得$V=\frac{5}{3}$.
因此,当$2≤\rho≤6$时,$V$的取值范围是$\frac{5}{3}≤V≤5$.
把$V=5,\rho=2$代入$\rho=\frac{k}{V}$,得$2=\frac{k}{5}$.
解得$k=10$.
因此,密度$\rho$关于容积$V$的函数解析式为$\rho=\frac{10}{V}$.
(2)当$V=4$时,$\rho=\frac{10}{4}=2.5$.
因此,当$V=4$时,二氧化碳的密度$\rho$为$2.5\ \mathrm{kg/m^3}$.
(3)观察题图,得当$\rho=2$时,$V=5$.
把$\rho=6$代入$\rho=\frac{10}{V}$,得$6=\frac{10}{V}$.
解得$V=\frac{5}{3}$.
因此,当$2≤\rho≤6$时,$V$的取值范围是$\frac{5}{3}≤V≤5$.
解析
【分析】
本题是反比例函数与物理密度知识结合的应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：题目明确ρ与V是反比例函数关系，先设反比例函数的一般形式$\rho=\frac{k}{V}(k≠0)$，再利用图象上已知点$P(5,2)$的坐标代入解析式，求出未知系数$k$，即可得到函数解析式，结合实际意义可知$V＞0$。
2. 第(2)问：将$V=4$直接代入第(1)问求出的函数解析式，计算即可得到对应的$\rho$值。
3. 第(3)问：该反比例函数$k＞0$，在$V＞0$时$\rho$随$V$的增大而减小，分别求出$\rho=2$和$\rho=6$对应的$V$值，即可得到对应$V$的取值范围。
【解析】
(1) 设密度$\rho$关于容积$V$的函数解析式为$\rho=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$。
把$V=5,\rho=2$代入$\rho=\frac{k}{V}$，得$2=\frac{k}{5}$，
解得$k=10$，
因此密度$\rho$关于容积$V$的函数解析式为$\rho=\frac{10}{V}(V＞0)$。
(2) 当$V=4$时，代入解析式得$\rho=\frac{10}{4}=2.5$，
即当$V=4$时，二氧化碳的密度$\rho$为$2.5\ \mathrm{kg/m^3}$。
(3) 由反比例函数性质可知，$k=10＞0$，当$V＞0$时，$\rho$随$V$的增大而减小，
当$\rho=2$时，由图象可知对应$V=5$；
当$\rho=6$时，把$\rho=6$代入$\rho=\frac{10}{V}$，得$6=\frac{10}{V}$，解得$V=\frac{5}{3}$，
因此当$2≤\rho≤6$时，$V$的取值范围是$\frac{5}{3}≤ V≤5$。
【答案】
(1) $\rho=\frac{10}{V}(V＞0)$
(2) $2.5\ \mathrm{kg/m^3}$
(3) $\frac{5}{3}≤ V≤5$
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式，反比例函数的性质
【点评】
本题结合物理密度知识考查反比例函数的实际应用，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式，再结合反比例函数的性质求解对应值和取值范围，需注意自变量的实际意义，符合跨学科命题的特点。
【难度系数】
0.8
本题是反比例函数与物理密度知识结合的应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：题目明确ρ与V是反比例函数关系，先设反比例函数的一般形式$\rho=\frac{k}{V}(k≠0)$，再利用图象上已知点$P(5,2)$的坐标代入解析式，求出未知系数$k$，即可得到函数解析式，结合实际意义可知$V＞0$。
2. 第(2)问：将$V=4$直接代入第(1)问求出的函数解析式，计算即可得到对应的$\rho$值。
3. 第(3)问：该反比例函数$k＞0$，在$V＞0$时$\rho$随$V$的增大而减小，分别求出$\rho=2$和$\rho=6$对应的$V$值，即可得到对应$V$的取值范围。
【解析】
(1) 设密度$\rho$关于容积$V$的函数解析式为$\rho=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$。
把$V=5,\rho=2$代入$\rho=\frac{k}{V}$，得$2=\frac{k}{5}$，
解得$k=10$，
因此密度$\rho$关于容积$V$的函数解析式为$\rho=\frac{10}{V}(V＞0)$。
(2) 当$V=4$时，代入解析式得$\rho=\frac{10}{4}=2.5$，
即当$V=4$时，二氧化碳的密度$\rho$为$2.5\ \mathrm{kg/m^3}$。
(3) 由反比例函数性质可知，$k=10＞0$，当$V＞0$时，$\rho$随$V$的增大而减小，
当$\rho=2$时，由图象可知对应$V=5$；
当$\rho=6$时，把$\rho=6$代入$\rho=\frac{10}{V}$，得$6=\frac{10}{V}$，解得$V=\frac{5}{3}$，
因此当$2≤\rho≤6$时，$V$的取值范围是$\frac{5}{3}≤ V≤5$。
【答案】
(1) $\rho=\frac{10}{V}(V＞0)$
(2) $2.5\ \mathrm{kg/m^3}$
(3) $\frac{5}{3}≤ V≤5$
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式，反比例函数的性质
【点评】
本题结合物理密度知识考查反比例函数的实际应用，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式，再结合反比例函数的性质求解对应值和取值范围，需注意自变量的实际意义，符合跨学科命题的特点。
【难度系数】
0.8
6.已知电阻器的电阻$R$(单位:$\Omega$)、功率$P$(单位:$\mathrm{W}$)与它两端的电压$U$(单位:$\mathrm{V}$)之间的关系为$P=\frac{U^2}{R}$.若某电阻器的电阻为$12\ \Omega$,功率为$1\ 200\ \mathrm{W}$,求该电阻器两端的电压.
答案
6.【解】根据题意,得$1\ 200=\frac{U^2}{12}$.
整理,得$U^2=14\ 400$.
$\because U＞0$,
$\therefore U=\sqrt{14\ 400}=120(\mathrm{V})$.
因此,该电阻器两端的电压为$120\ \mathrm{V}$.
整理,得$U^2=14\ 400$.
$\because U＞0$,
$\therefore U=\sqrt{14\ 400}=120(\mathrm{V})$.
因此,该电阻器两端的电压为$120\ \mathrm{V}$.
解析
【分析】
题目已明确给出功率、电压、电阻的关系式$P=\frac{U^2}{R}$，解题时首先将已知的电阻和功率数值代入关系式，得到关于电压$U$的方程，再求解方程，结合电压为正数的实际意义，取正的算术平方根即可得到最终结果。
【解析】
解：将$R=12\ \Omega$，$P=1200\ \mathrm{W}$代入公式$P=\frac{U^2}{R}$，得：
$1200=\frac{U^2}{12}$
等式两边同时乘12，整理得$U^2=14400$
$\because$ 电压U为正数，即$U＞0$
$\therefore U=\sqrt{14400}=120(\mathrm{V})$
【答案】
该电阻器两端的电压为$120\ \mathrm{V}$。
【知识点】
公式代入求值；算术平方根计算；实际问题解方程
【点评】
本题结合物理电学公式考查基础计算能力，解题时需注意结合实际意义取舍方程的解，避免出现不符合实际的错误结果。
【难度系数】
0.9
题目已明确给出功率、电压、电阻的关系式$P=\frac{U^2}{R}$，解题时首先将已知的电阻和功率数值代入关系式，得到关于电压$U$的方程，再求解方程，结合电压为正数的实际意义，取正的算术平方根即可得到最终结果。
【解析】
解：将$R=12\ \Omega$，$P=1200\ \mathrm{W}$代入公式$P=\frac{U^2}{R}$，得：
$1200=\frac{U^2}{12}$
等式两边同时乘12，整理得$U^2=14400$
$\because$ 电压U为正数，即$U＞0$
$\therefore U=\sqrt{14400}=120(\mathrm{V})$
【答案】
该电阻器两端的电压为$120\ \mathrm{V}$。
【知识点】
公式代入求值；算术平方根计算；实际问题解方程
【点评】
本题结合物理电学公式考查基础计算能力，解题时需注意结合实际意义取舍方程的解，避免出现不符合实际的错误结果。
【难度系数】
0.9
7.某用电器的电阻$R$(单位:$kΩ$)随温度$t$(单位:$℃$)变化的大致图象如图所示.通电后,当该用电器的温度由$10℃$上升到$30℃$时,电阻$R$与温度$t$近似成反比例函数关系,且当该用电器的温度达到$30℃$时,电阻下降到最小值,随后电阻随温度的升高而增大,此时将电阻$R$与温度$t$之间的函数关系近似看成一次函数,其函数解析式为$R=\frac{4}{15}t -6(t≥30)$.
(1)当$10≤t＜30$时,求$R$关于$t$的函数解析式.
(2)该用电器在使用过程中,若电阻$R$不超过$5kΩ$,求温度$t$的取值范围.
(1)当$10≤t＜30$时,求$R$关于$t$的函数解析式.
(2)该用电器在使用过程中,若电阻$R$不超过$5kΩ$,求温度$t$的取值范围.
答案
7.【解】(1)当$10≤t＜30$时,设$R$关于$t$的函数解析式为$R=\frac{k}{t}(k≠0)$.
把$t=10,R=6$代入$R=\frac{k}{t}$,得$6=\frac{k}{10}$.
解得$k=60$.
因此,当$10≤t＜30$时,$R$关于$t$的函数解析式为$R=\frac{60}{t}$.
(2)把$R=5$代入$R=\frac{60}{t}$,得$5=\frac{60}{t}$.解得$t=12$.
把$R=5$代入$R=\frac{4}{15}t-6$,得$5=\frac{4}{15}t-6$.解得$t=\frac{165}{4}$.
因此,温度$t$的取值范围是$12≤t≤\frac{165}{4}$.
把$t=10,R=6$代入$R=\frac{k}{t}$,得$6=\frac{k}{10}$.
解得$k=60$.
因此,当$10≤t＜30$时,$R$关于$t$的函数解析式为$R=\frac{60}{t}$.
(2)把$R=5$代入$R=\frac{60}{t}$,得$5=\frac{60}{t}$.解得$t=12$.
把$R=5$代入$R=\frac{4}{15}t-6$,得$5=\frac{4}{15}t-6$.解得$t=\frac{165}{4}$.
因此,温度$t$的取值范围是$12≤t≤\frac{165}{4}$.
解析
【分析】
(1) 题目明确10≤t＜30时R与t成反比例函数关系，我们可先设反比例函数的一般形式$R=\frac{k}{t}(k≠0)$，再从图像中提取该区间内的已知点$t=10,R=6$代入解析式，求出未知系数k即可得到对应函数解析式。
(2) 求电阻$R≤5\mathrm{kΩ}$时t的取值范围，需结合分段函数的特点分两段讨论：①在10≤t＜30区间，将R=5代入反比例函数求出对应t值，结合该区间R随t增大而减小的性质，得到该区间满足条件的t范围；②在t≥30区间，将R=5代入一次函数求出对应t值，结合该区间R随t增大而增大的性质，得到该区间满足条件的t范围，最后合并两个区间的结果即可。
【解析】
(1) 当$10≤t＜30$时，设$R$关于$t$的函数解析式为$R=\frac{k}{t}(k≠0)$。
把$t=10,R=6$代入$R=\frac{k}{t}$，得$6=\frac{k}{10}$，解得$k=60$。
因此当$10≤t＜30$时，$R$关于$t$的函数解析式为$R=\frac{60}{t}$。
(2) ①当$10≤t＜30$时，把$R=5$代入$R=\frac{60}{t}$，得$5=\frac{60}{t}$，解得$t=12$。
该区间内R随t增大而减小，故$R≤5$时$t≥12$，即该区间满足条件的范围为$12≤t＜30$。
②当$t≥30$时，把$R=5$代入$R=\frac{4}{15}t -6$，得$5=\frac{4}{15}t-6$，解得$t=\frac{165}{4}$。
该区间内R随t增大而增大，故$R≤5$时$t≤\frac{165}{4}$，即该区间满足条件的范围为$30≤t≤\frac{165}{4}$。
合并两个区间的结果，可得温度t的取值范围。
【答案】
(1) $R=\dfrac{60}{t}\ (10≤ t＜30)$
(2) $12≤ t≤ \dfrac{165}{4}$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 一次函数应用
3. 分段函数求解
【点评】
本题结合电阻随温度变化的实际情境考查分段函数的应用，解题时需要根据不同区间的函数类型分类讨论，注意自变量的取值边界，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确10≤t＜30时R与t成反比例函数关系，我们可先设反比例函数的一般形式$R=\frac{k}{t}(k≠0)$，再从图像中提取该区间内的已知点$t=10,R=6$代入解析式，求出未知系数k即可得到对应函数解析式。
(2) 求电阻$R≤5\mathrm{kΩ}$时t的取值范围，需结合分段函数的特点分两段讨论：①在10≤t＜30区间，将R=5代入反比例函数求出对应t值，结合该区间R随t增大而减小的性质，得到该区间满足条件的t范围；②在t≥30区间，将R=5代入一次函数求出对应t值，结合该区间R随t增大而增大的性质，得到该区间满足条件的t范围，最后合并两个区间的结果即可。
【解析】
(1) 当$10≤t＜30$时，设$R$关于$t$的函数解析式为$R=\frac{k}{t}(k≠0)$。
把$t=10,R=6$代入$R=\frac{k}{t}$，得$6=\frac{k}{10}$，解得$k=60$。
因此当$10≤t＜30$时，$R$关于$t$的函数解析式为$R=\frac{60}{t}$。
(2) ①当$10≤t＜30$时，把$R=5$代入$R=\frac{60}{t}$，得$5=\frac{60}{t}$，解得$t=12$。
该区间内R随t增大而减小，故$R≤5$时$t≥12$，即该区间满足条件的范围为$12≤t＜30$。
②当$t≥30$时，把$R=5$代入$R=\frac{4}{15}t -6$，得$5=\frac{4}{15}t-6$，解得$t=\frac{165}{4}$。
该区间内R随t增大而增大，故$R≤5$时$t≤\frac{165}{4}$，即该区间满足条件的范围为$30≤t≤\frac{165}{4}$。
合并两个区间的结果，可得温度t的取值范围。
【答案】
(1) $R=\dfrac{60}{t}\ (10≤ t＜30)$
(2) $12≤ t≤ \dfrac{165}{4}$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 一次函数应用
3. 分段函数求解
【点评】
本题结合电阻随温度变化的实际情境考查分段函数的应用，解题时需要根据不同区间的函数类型分类讨论，注意自变量的取值边界，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.7
