1.如图，已知$OA=OC$，$OB=OD$，$∠ AOC=∠ BOD$，求证：$△ AOB ≌ △ COD$.

【证明】因为$∠ AOC=∠ BOD$,
所以$∠ AOC-∠ AOD=∠ BOD-∠ AOD$,
即$∠ COD=∠ AOB$.
在$△ AOB$和$△ COD$中,$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠ AOB=∠ COD, \\ OB=OD, \end{cases}$
所以$△ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$.

【分析】
要证明△AOB≌△COD，首先结合已知条件和全等三角形判定定理思考：已知OA=OC、OB=OD两组对应边相等，若用“SAS”判定全等，还需证明两组边的夹角∠AOB与∠COD相等。已知∠AOC=∠BOD，根据等式的性质，两个相等的角同时减去公共角∠AOD，差仍相等，即可得到∠AOB=∠COD，满足SAS的判定条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
证明：因为$∠ AOC=∠ BOD$，
所以$∠ AOC-∠ AOD=∠ BOD-∠ AOD$，
即$∠ COD=∠ AOB$。
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases} OA=OC, \\ ∠ AOB=∠ COD, \\ OB=OD, \end{cases}$
所以$△ AOB≌△ COD(\mathrm{SAS})$。
【答案】
$△ AOB≌△ COD$
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 角的和差计算
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题，解题核心是通过等角的和差关系推导得到对应相等的夹角，需要注意使用“SAS”判定全等时，相等的角必须是两组对应边的夹角，避免误用判定条件。
【难度系数】
0.8

【典型例题2】在新修的花园小区中，有一条“Z”字形绿色长廊AB—BC—CD. 如图，
AB//CD，BE=CF，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修建凉亭E，M，F，其中M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，连接ME，MF，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度，这样做合适吗？请说明理由.
【解】这样做合适，理由如下：
因为AB//CD，所以∠B=∠C.
因为点M是BC的中点，
所以MB=MC.
在$△ MEB$与$△ MFC$中，$\begin{cases} BE=CF, \\ ∠B=∠C, \\ BM=CM, \end{cases}$
所以$△ MEB ≌ △ MFC(\mathrm{SAS})$，
所以$ME=MF$.
故要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度即可.
规律方法 在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 利用全等三角形解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学问题(证明线段或角相等)，证明这些线段或角所在的三角形全等.

解：这样做合适，理由如下：
因为$AB// CD$，所以$∠ B = ∠ C$。
因为点M是BC的中点，所以$MB = MC$。
在$△ MEB$与$△ MFC$中，
$\begin{cases}BE = CF, \\∠ B = ∠ C, \\BM = CM,\end{cases}$
所以$△ MEB ≌ △ MFC(\mathrm{SAS})$，
所以$ME = MF$。
故要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度即可。

【分析】
要判断测量ME的长度能否得到MF的长度，核心是证明ME=MF。首先观察两条线段所在的△MEB和△MFC，尝试证明两个三角形全等：根据AB//CD的平行关系，可得两直线平行内错角相等，即∠B=∠C；再结合M是BC中点可得BM=CM，题目已知BE=CF，三个条件刚好满足SAS全等判定的要求，证得两三角形全等后，对应边ME和MF相等，因此测量ME长度就能得到MF的长度。
【解析】
这样做合适，理由如下：
因为$AB// CD$，所以$∠ B = ∠ C$。
因为点M是BC的中点，所以$MB = MC$。
在$△ MEB$与$△ MFC$中，
$\begin{cases}BE = CF, \\∠ B = ∠ C, \\BM = CM,\end{cases}$
所以$△ MEB ≌ △ MFC(\mathrm{SAS})$，
所以$ME = MF$。
故要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度即可。
【答案】
这样做合适，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度即可。
【知识点】
平行线的性质；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量问题中的应用，解题关键是将实际测量需求转化为证明线段相等的数学问题，通过寻找条件证明对应三角形全等即可解决，体现了用数学知识解决实际问题的思路。
【难度系数】
0.8

2. 小华和小宇玩跷跷板的示意图如图所示，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当一方着地时，另一方上升到最高点。在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度$A'A$，$B'B$有何数量关系？为什么？

【解】两人上升的最大高度$A'A$,$B'B$相等.
理由如下:因为点O是$AB'$与$A'B$的中点,且$A'O=AO$,$B'O=BO$,所以$AO=BO$,$A'O=B'O$.
在$△ AOA'$与$△ BOB'$中,$\begin{cases} AO=BO, \\ ∠ AOA'=∠ BOB', \\ A'O=B'O, \end{cases}$
所以$△ AOA'≌△ BOB'(\mathrm{SAS})$,所以$A'A=B'B$.

【分析】
要判断两条线段$A'A$和$B'B$的数量关系，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先从题目条件入手，已知O是横板的中点，可得到两组相等的边；其次观察可得$∠ AOA'$和$∠ BOB'$是对顶角，天然相等；以上条件刚好满足“SAS”判定三角形全等的要求，证明三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得出两条高度的数量关系。
【解析】
解：两人上升的最大高度$A'A$、$B'B$相等，理由如下：
∵点O是$AB'$与$A'B$的中点，
∴$A'O=AO$，$B'O=BO$，
∴$AO=BO$，$A'O=B'O$。
在$△ AOA'$和$△ BOB'$中：
$\begin{cases} AO=BO \\ ∠AOA'=∠BOB'（对顶角相等） \\ A'O=B'O \end{cases}$
∴$△ AOA'≌△ BOB'(\mathrm{SAS})$，
∴$A'A=B'B$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$A'A=B'B$（或两人上升的最大高度相等）
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题结合生活中跷跷板的实际场景，考查三角形全等的判定及性质的应用，解题时需要从已知条件中挖掘出相等的边与角，将实际问题转化为几何全等问题求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7