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【典型例题2】如图，$∠ B=∠ C=90°$，$M$是$BC$的中点，$DM$平分$∠ ADC$，且$∠ ADC=110°$，则$∠ MAB=$（）
A.$30°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$60°$
【解析】如图，过点$M$作$MN⊥ AD$于点$N$.
因为$∠ B=∠ C=90°$，
所以$∠ B+∠ C=180°$，
所以$AB// CD$，
所以$∠ DAB=180°-∠ ADC=70°$.
因为$DM$平分$∠ ADC$，$MN⊥ AD$，$MC⊥ CD$，
所以$MN=MC$.
因为$M$是$BC$的中点，
所以$MC=MB$，
所以$MN=MB$.
又$MN⊥ AD$，$MB⊥ AB$，
所以$AM$平分$∠ DAB$，
所以$∠ MAB=\frac{1}{2}∠ DAB=35°$.
【答案】B
A.$30°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$60°$
【解析】如图，过点$M$作$MN⊥ AD$于点$N$.
因为$∠ B=∠ C=90°$，
所以$∠ B+∠ C=180°$，
所以$AB// CD$，
所以$∠ DAB=180°-∠ ADC=70°$.
因为$DM$平分$∠ ADC$，$MN⊥ AD$，$MC⊥ CD$，
所以$MN=MC$.
因为$M$是$BC$的中点，
所以$MC=MB$，
所以$MN=MB$.
又$MN⊥ AD$，$MB⊥ AB$，
所以$AM$平分$∠ DAB$，
所以$∠ MAB=\frac{1}{2}∠ DAB=35°$.
【答案】B
答案
B
解析
【分析】
要求∠MAB的度数，首先观察已知条件：∠B、∠C均为90°，可先判定AB与CD平行，利用平行线同旁内角互补求出∠DAB的度数；接下来若能证明AM是∠DAB的平分线，即可求出∠MAB的度数。根据角平分线的判定定理，需证明点M到AD和AB的距离相等：结合DM平分∠ADC，利用角平分线的性质可得点M到AD、CD的距离相等，再结合M是BC中点的条件，可推出点M到AD的距离等于到AB的距离，即可判定AM平分∠DAB，进而求出结果。
【解析】
过点$M$作$MN⊥ AD$于点$N$.
因为$∠ B=∠ C=90°$，
所以$∠ B+∠ C=180°$，
所以$AB// CD$，
所以$∠ DAB=180°-∠ ADC=180°-110°=70°$.
因为$DM$平分$∠ ADC$，$MN⊥ AD$，$MC⊥ CD$，
根据角平分线的性质，得$MN=MC$.
因为$M$是$BC$的中点，
所以$MC=MB$，
所以$MN=MB$.
又$MN⊥ AD$，$MB⊥ AB$，
根据角平分线的判定定理，得$AM$平分$∠ DAB$，
所以$∠ MAB=\frac{1}{2}∠ DAB=\frac{1}{2}×70°=35°$.
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质与判定；平行线的判定与性质；中点的定义
【点评】
本题是角平分线综合应用的典型题，解题关键是构造垂直于AD的辅助线，通过角平分线的性质、判定结合中点条件转化距离相等的关系，再结合平行线的性质求角度，能有效训练几何辅助线构造的逻辑思维。
【难度系数】
0.7
要求∠MAB的度数，首先观察已知条件：∠B、∠C均为90°，可先判定AB与CD平行，利用平行线同旁内角互补求出∠DAB的度数；接下来若能证明AM是∠DAB的平分线，即可求出∠MAB的度数。根据角平分线的判定定理，需证明点M到AD和AB的距离相等：结合DM平分∠ADC，利用角平分线的性质可得点M到AD、CD的距离相等，再结合M是BC中点的条件，可推出点M到AD的距离等于到AB的距离，即可判定AM平分∠DAB，进而求出结果。
【解析】
过点$M$作$MN⊥ AD$于点$N$.
因为$∠ B=∠ C=90°$，
所以$∠ B+∠ C=180°$，
所以$AB// CD$，
所以$∠ DAB=180°-∠ ADC=180°-110°=70°$.
因为$DM$平分$∠ ADC$，$MN⊥ AD$，$MC⊥ CD$，
根据角平分线的性质，得$MN=MC$.
因为$M$是$BC$的中点，
所以$MC=MB$，
所以$MN=MB$.
又$MN⊥ AD$，$MB⊥ AB$，
根据角平分线的判定定理，得$AM$平分$∠ DAB$，
所以$∠ MAB=\frac{1}{2}∠ DAB=\frac{1}{2}×70°=35°$.
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质与判定；平行线的判定与性质；中点的定义
【点评】
本题是角平分线综合应用的典型题，解题关键是构造垂直于AD的辅助线，通过角平分线的性质、判定结合中点条件转化距离相等的关系，再结合平行线的性质求角度，能有效训练几何辅助线构造的逻辑思维。
【难度系数】
0.7
2. 如图,已知AO平分∠BAC,OD⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为D,E,且OD=OE.求证:CO平分∠ACB.
答案
2.【证明】如图,过点 $O$ 作 $OF ⊥ AC$ 于点 $F$. 因为 $AO$ 平分 $∠ BAC,OE ⊥ AB$,所以 $OF=OE$. 因为 $OD=OE$,所以 $OF=OD$. 因为 $OD ⊥ BC$,所以点 $O$ 在$∠ ACB$ 的平分线上,即 $CO$ 平分$∠ ACB$.
解析
【分析】
要证明CO平分∠ACB，可利用角平分线的判定定理，即证明点O到∠ACB两边AC、BC的距离相等。已知OD⊥BC，即OD是点O到BC的距离，因此先过点O作OF⊥AC，得到点O到AC的距离OF；再结合AO平分∠BAC、OE⊥AB的条件，根据角平分线的性质可得OF=OE，结合已知OD=OE可推出OF=OD，即可满足角平分线的判定条件，从而证得结论。
【解析】
证明：过点$O$作$OF ⊥ AC$于点$F$.
∵$AO$平分$∠ BAC$，$OE ⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质，可得$OF=OE$.
∵$OD=OE$，
∴等量代换得$OF=OD$.
∵$OD ⊥ BC$，$OF⊥AC$，
∴根据角平分线的判定定理，点$O$在$∠ ACB$的平分线上，即$CO$平分$∠ ACB$.
【答案】
证明：过点 $O$ 作 $OF ⊥ AC$ 于点 $F$. 因为 $AO$ 平分 $∠ BAC,OE ⊥ AB$,所以 $OF=OE$. 因为 $OD=OE$,所以 $OF=OD$. 因为 $OD ⊥ BC$,所以点 $O$ 在$∠ ACB$ 的平分线上,即 $CO$ 平分$∠ ACB$.
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于角平分线相关的基础应用题型，解题关键是正确作出辅助线构造点到角边的距离，灵活运用角平分线的性质和判定定理完成推导，能有效考查学生对两个定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明CO平分∠ACB，可利用角平分线的判定定理，即证明点O到∠ACB两边AC、BC的距离相等。已知OD⊥BC，即OD是点O到BC的距离，因此先过点O作OF⊥AC，得到点O到AC的距离OF；再结合AO平分∠BAC、OE⊥AB的条件，根据角平分线的性质可得OF=OE，结合已知OD=OE可推出OF=OD，即可满足角平分线的判定条件，从而证得结论。
【解析】
证明：过点$O$作$OF ⊥ AC$于点$F$.
∵$AO$平分$∠ BAC$，$OE ⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质，可得$OF=OE$.
∵$OD=OE$，
∴等量代换得$OF=OD$.
∵$OD ⊥ BC$，$OF⊥AC$，
∴根据角平分线的判定定理，点$O$在$∠ ACB$的平分线上，即$CO$平分$∠ ACB$.
【答案】
证明：过点 $O$ 作 $OF ⊥ AC$ 于点 $F$. 因为 $AO$ 平分 $∠ BAC,OE ⊥ AB$,所以 $OF=OE$. 因为 $OD=OE$,所以 $OF=OD$. 因为 $OD ⊥ BC$,所以点 $O$ 在$∠ ACB$ 的平分线上,即 $CO$ 平分$∠ ACB$.
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于角平分线相关的基础应用题型，解题关键是正确作出辅助线构造点到角边的距离，灵活运用角平分线的性质和判定定理完成推导，能有效考查学生对两个定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
1.一块三角形的草坪示意图如图所示，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（
A.$△ ABC$ 三条中线的交点处
B.$△ ABC$ 三条高所在直线的交点处
C.$△ ABC$ 三条角平分线的交点处
D.以上都不对
（第1题图）
（第2题图）
C
）A.$△ ABC$ 三条中线的交点处
B.$△ ABC$ 三条高所在直线的交点处
C.$△ ABC$ 三条角平分线的交点处
D.以上都不对
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.C
解析
【分析】
首先明确题目核心要求：找到△ABC内部到三条边距离都相等的点。我们结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，若一个点同时在三角形三个内角的角平分线上，它到三条边的距离就都相等。解题时要注意区分三角形中线、高、角平分线交点的不同性质，避免概念混淆。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：三角形三条中线的交点是重心，重心性质为到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足到三条边距离相等，不符合要求；
2. 选项B：三角形三条高所在直线的交点是垂心，无到三边距离相等的性质，不符合要求；
3. 选项C：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形三条角平分线的交点（内心）同时在三个内角的角平分线上，因此该点到三角形三条边的距离都相等，符合题意。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形三线交点特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确区分三角形不同三线交点对应的性质，牢记角平分线交点的特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
首先明确题目核心要求：找到△ABC内部到三条边距离都相等的点。我们结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，若一个点同时在三角形三个内角的角平分线上，它到三条边的距离就都相等。解题时要注意区分三角形中线、高、角平分线交点的不同性质，避免概念混淆。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：三角形三条中线的交点是重心，重心性质为到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足到三条边距离相等，不符合要求；
2. 选项B：三角形三条高所在直线的交点是垂心，无到三边距离相等的性质，不符合要求；
3. 选项C：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形三条角平分线的交点（内心）同时在三个内角的角平分线上，因此该点到三角形三条边的距离都相等，符合题意。
综上选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形三线交点特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是准确区分三角形不同三线交点对应的性质，牢记角平分线交点的特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.如图,点O在直角三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC=30°,OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,若OM=ON,则∠ABO的度数为
15°
.答案
2.15°
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：OM⊥AB、ON⊥BC且OM=ON，回忆角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，可推出OB是∠ABC的角平分线，再结合已知∠ABC=30°，根据角平分线将角分成两个相等的角，即可求出∠ABO的度数。
【解析】
解：
∵OM⊥AB，ON⊥BC，且OM=ON，
∴点O在∠ABC的角平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），即OB平分∠ABC，
∴∠ABO = $\frac{1}{2}$∠ABC，
又
∵∠ABC=30°，
∴∠ABO = $\frac{1}{2}×30°=15°$。
【答案】
15°
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线判定定理的直接应用，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理，结合已知角度进行简单计算即可得到结果。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察已知条件：OM⊥AB、ON⊥BC且OM=ON，回忆角平分线的判定定理“角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，可推出OB是∠ABC的角平分线，再结合已知∠ABC=30°，根据角平分线将角分成两个相等的角，即可求出∠ABO的度数。
【解析】
解：
∵OM⊥AB，ON⊥BC，且OM=ON，
∴点O在∠ABC的角平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），即OB平分∠ABC，
∴∠ABO = $\frac{1}{2}$∠ABC，
又
∵∠ABC=30°，
∴∠ABO = $\frac{1}{2}×30°=15°$。
【答案】
15°
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线判定定理的直接应用，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理，结合已知角度进行简单计算即可得到结果。
【难度系数】
0.85
