基础知识·预习
问题1 按照证明命题的步骤，证明结论“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”。
问题2 通过本节的学习，你对角的平分线有了哪些新的认识？

问题1 证明：
已知：点P是∠AOB内部一点，$PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，垂足分别为D、E，且$PD=PE$。
求证：点P在∠AOB的平分线上。
连接OP。
∵ $PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，
∴ $∠ PDO=∠ PEO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ PDO$和$\mathrm{Rt}△ PEO$中，
$\begin{cases}OP=OP \\PD=PE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ PDO ≌ \mathrm{Rt}△ PEO$（HL）。
∴ $∠ POD=∠ POE$，即OP是∠AOB的平分线。
因此角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
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问题2 解：
1. 得到了角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，它和角平分线的性质定理是互逆命题：性质由点在角平分线上推出点到两边距离相等，判定由点到角两边距离相等推出点在角平分线上；
2. 角平分线可以看作是角的内部，到角两边距离相等的所有点的集合；
3. 新增了证明角相等、点在角平分线上的方法：无需直接计算角的度数，只需证明点到角两边的垂线段长度相等，就可以判定点在角平分线上，进而得到对应角相等。

【分析】
问题1解答思路：要证明文字表述的几何命题，首先需将文字内容转化为几何符号语言，先明确已知条件（角内部的点到两边距离相等）和求证结论（该点在角的平分线上），再通过连接角的顶点和该点构造两个直角三角形，结合已知的垂线段相等、公共边相等的条件，用HL定理证明两个直角三角形全等，进而得到对应角相等，即可证明该点在角平分线上。
问题2解答思路：结合此前学习的角平分线性质定理，和本次推导的判定定理，从二者的互逆关系、角平分线的集合定义、新增的几何证明方法三个维度梳理认识即可。
【解析】
问题1证明：
已知：点P是∠AOB内部一点，$PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，垂足分别为D、E，且$PD=PE$。
求证：点P在∠AOB的平分线上。
连接OP。
∵ $PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，
∴ $∠ PDO=∠ PEO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ PDO$和$\mathrm{Rt}△ PEO$中，
$\begin{cases}OP=OP \\PD=PE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ PDO ≌ \mathrm{Rt}△ PEO$（HL）。
∴ $∠ POD=∠ POE$，即OP是∠AOB的平分线。
因此角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
问题2解答：
1. 得到了角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，它和角平分线的性质定理是互逆命题：性质由点在角平分线上推出点到两边距离相等，判定由点到角两边距离相等推出点在角平分线上；
2. 角平分线可以看作是角的内部，到角两边距离相等的所有点的集合；
3. 新增了证明角相等、点在角平分线上的方法：无需直接计算角的度数，只需证明点到角两边的垂线段长度相等，就可以判定点在角平分线上，进而得到对应角相等。
【答案】
问题1：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，证明过程见上述解析；
问题2：新认识共3条，具体内容见上述解析。
【知识点】
角平分线的判定、HL证全等、命题证明步骤
【点评】
本题属于基础类题目，既考察了文字几何命题的规范证明步骤，帮助学生理解角平分线判定定理的推导逻辑，又引导学生对比梳理角平分线的性质与判定的区别和联系，深化对概念的理解，为后续利用角平分线相关定理解决几何证明、计算类问题打好基础。
【难度系数】
0.7

【典型例题 1】如图，已知点 D，E，F 分别是△ABC 的三边上的点，CE＝BF，且△DCE 的面积与△DBF 的面积相等，连接 DE，DF，AD.求证：AD 平分∠BAC.
【证明】如图，过 D 作 DM⊥AB 于点 M，DN⊥AC 于点 N.因为△DCE 的面积与△DBF 的面积相等，所以 $\frac{CE · DN}{2} = \frac{BF · DM}{2}$.因为 CE＝BF，所以 DN＝DM.又因为 DM⊥AB，DN⊥AC，所以点 D 在∠BAC 的平分线上，所以 AD 平分∠BAC.


规律方法 证明角的平分线的步骤：
(1)找出与角的两边都垂直的线段的交点；
(2)证明过这一点且到该角的两边的两条垂线段相等；
(3)根据角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，证明角的平分线.

证明：
过点D作$DM ⊥ AB$于点M，$DN ⊥ AC$于点N。
$\because S_{△ DCE}=S_{△ DBF}$，
$\therefore \dfrac{1}{2}CE · DN = \dfrac{1}{2}BF · DM$。
又$\because CE=BF$，
$\therefore DN=DM$。
$\because DM ⊥ AB$，$DN ⊥ AC$，
$\therefore$ 点D在$∠ BAC$的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
$\therefore AD$平分$∠ BAC$。

【分析】
要证明AD平分∠BAC，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点D到∠BAC的两边AB、AC的距离相等即可。首先过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，DM、DN就是点D到角两边的距离；再结合已知△DCE和△DBF面积相等、CE=BF的条件，分别以CE、BF为底表示两个三角形的面积，对应高就是DN和DM，利用面积公式列等式，约去相同项后即可得到DM=DN，最后结合判定定理就能推出结论。
【解析】
过点D作$DM ⊥ AB$于点M，$DN ⊥ AC$于点N。
$\because S_{△ DCE}=S_{△ DBF}$，
$\therefore \dfrac{1}{2}CE · DN = \dfrac{1}{2}BF · DM$。
又$\because CE=BF$，
$\therefore DN=DM$。
$\because DM ⊥ AB$，$DN ⊥ AC$，
$\therefore$ 点D在$∠ BAC$的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
$\therefore AD$平分$∠ BAC$。
【答案】
AD平分∠BAC
【知识点】
角平分线的判定；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题型，解题的关键是通过作垂线段构造角平分线判定的条件，结合面积相等的关系推导出垂线段相等，体现了几何证明中“构造辅助线转化条件”的思路。
【难度系数】
0.7

1.如图，点B，C分别在∠MAN的两边上，BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD，CE相交于点F，且BF＝CF.求证：点F在∠MAN的平分线上.

1.【证明】因为 $BD ⊥ AM,CE ⊥ AN$,
所以 $∠ CDF=∠ BEF=90°$.
在$△ DCF$ 和$△ EBF$ 中,$\begin{cases}∠ CDF=∠ BEF,\\∠ DFC=∠ EFB,\\CF=BF,\end{cases}$
所以$△ DCF≌△ EBF(\mathrm{AAS})$,所以 $FD=FE$,
所以点 $F$ 在$∠ MAN$ 的平分线上.

【分析】
要证明点F在∠MAN的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点F到∠MAN两边AM、AN的距离相等，即FD=FE。观察图形可知FD和FE分别在△DCF和△EBF中，结合已知BD⊥AM、CE⊥AN可得到两个相等的直角，再加上对顶角相等以及题目给出的BF=CF，可通过AAS证明两个三角形全等，得到FD=FE，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ BD ⊥ AM，CE ⊥ AN，
∴ ∠CDF = ∠BEF = 90°。
在△DCF 和△EBF 中，
$\begin{cases}∠CDF = ∠BEF \\∠DFC = ∠EFB \\CF = BF\end{cases}$
∴ △DCF ≌ △EBF（AAS），
∴ FD = FE。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可得点F在∠MAN的平分线上。
【答案】
【证明】因为 $BD ⊥ AM,CE ⊥ AN$,
所以 $∠ CDF=∠ BEF=90°$.
在$△ DCF$ 和$△ EBF$ 中,$\begin{cases}∠ CDF=∠ BEF,\\∠ DFC=∠ EFB,\\CF=BF,\end{cases}$
所以$△ DCF≌△ EBF(\mathrm{AAS})$,所以 $FD=FE$,
所以点 $F$ 在$∠ MAN$ 的平分线上.

【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是先根据角平分线的判定明确证明方向，再通过证明三角形全等得到所需的边相等的结论，解题时要准确识别全等三角形的对应元素，熟练掌握相关定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.8