3. 如图，点 D 在$△ ABC$ 的 AB 边上，且$∠ ACD=∠ A$。
(1)作$∠ BDC$的平分线 DE，交 BC 于点 E；(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)在(1)的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系，并说明理由。

3.【解】(1)如图,射线 DE 即为$∠BDC$的平分线。
(2)$DE// AC$。
理由: 因为 $∠ACD = ∠A$,所以 $∠BDC=2∠ACD$。
由(1)得$∠BDC=2∠CDE$,
所以$∠CDE=∠ACD$,所以 $DE// AC$。

【分析】
(1) 第一问考查角平分线的尺规作图，按照教材中角平分线的尺规作图步骤，以点D为顶点作∠BDC的平分线，交BC于点E即可，注意保留作图痕迹。
(2) 第二问判断两条直线的位置关系，优先考虑平行或垂直，结合本题条件可从平行线判定入手推导：先利用三角形外角的性质，结合已知∠ACD=∠A得到∠BDC和∠ACD的数量关系，再结合DE是角平分线的性质，推导得到内错角相等，即可判定两直线平行。
【解析】
(1) 角平分线尺规作图步骤：以D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DB、DC于两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠BDC内部交于一点，过D和该交点作射线交BC于E，射线DE即为所求角平分线，作图痕迹符合要求即可。
(2) 推导DE与AC的位置关系：
首先，∠BDC是△ADC的外角，根据三角形外角性质可得$∠ BDC = ∠ A + ∠ ACD$；
已知$∠ ACD = ∠ A$，代入得$∠ BDC = 2∠ ACD$；
由(1)知DE平分$∠ BDC$，根据角平分线定义可得$∠ BDC = 2∠ CDE$；
等量代换得$2∠ ACD = 2∠ CDE$，即$∠ CDE = ∠ ACD$；
$∠ CDE$和$∠ ACD$是直线DE、AC被DC所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$DE// AC$。
【答案】
(1) 如图,射线 DE 即为$∠BDC$的平分线。
(2)$DE// AC$。
理由: 因为 $∠ACD = ∠A$,所以 $∠BDC=2∠ACD$。
由(1)得$∠BDC=2∠CDE$,
所以$∠CDE=∠ACD$,所以 $DE// AC$。
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 平行线的判定
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将尺规作图和几何证明相结合，既考查了角平分线的基础作图技能，又考查了角的等量代换和平行线判定的应用，熟练掌握基础作图方法和角关系推导逻辑是解题的关键。
【难度系数】
0.8

4.如图,在$△ ABC$中,以点$C$为圆心,任意长为半径作弧,分别交$AC$,$BC$于点$D$,$E$,分别以点$D$,$E$为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧,两弧交于点$F$,作射线$CF$交$AB$于点$G$,若$AC=9$,$BC=6$,$△ BCG$的面积为$8$,则$△ ACG$的面积为.

4.12 【解析】如图,过点 G 作 $GM⊥BC$ 于点 M, $GN⊥AC$ 于点 N。
由作图可知 CG 平分$∠ACB$,所以 $GM=GN$。
因为 $S_{△BCG}=\frac{1}{2}BC · GM=\frac{1}{2}×6GM=8$,
所以 $GM=\frac{8}{3}$,所以 $GN=\frac{8}{3}$,
所以 $S_{△ACG}=\frac{1}{2}AC · GN=\frac{1}{2}×9×\frac{8}{3}=12$。

【分析】
首先判断题中的作图是角平分线的标准尺规作图，可得出CG是∠ACB的角平分线。根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点G到AC、BC的距离相等，△ACG和△BCG以AC、BC为底时高相等，既可以通过面积比等于底边长的比求解，也可以先通过△BCG的面积求出高，再计算△ACG的面积。
【解析】
如图，过点G作$GM⊥BC$于点M，$GN⊥AC$于点N。
由尺规作图步骤可知，射线CG平分$∠ACB$。
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此$GM=GN$。
已知$S_{△BCG}=\frac{1}{2}BC · GM=8$，$BC=6$，代入得：
$\frac{1}{2}×6×GM=8$，解得$GM=\frac{8}{3}$，因此$GN=GM=\frac{8}{3}$。
又$AC=9$，则$S_{△ACG}=\frac{1}{2}AC · GN=\frac{1}{2}×9×\frac{8}{3}=12$。
【答案】
12
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题关键是通过作图特征识别出角平分线，再利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，结合三角形面积公式完成计算。
【难度系数】
0.7

5.如图,已知OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,点F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证:DF=EF.

5.【证明】 因为 OC 是 $∠AOB$ 的平分线, $PD⊥OA$, $PE⊥OB$,所以 $PD=PE$,$∠DOF=∠EOF$。
在$Rt△OPD$ 和 $Rt△OPE$ 中,$\begin{cases}OP=OP,\\PD=PE,\end{cases}$
所以$Rt△OPD≌Rt△OPE$(HL),所以 $OD=OE$. 在$△ODF$ 和 $△OEF$ 中,$\begin{cases}OD=OE,\\∠DOF=∠EOF,\\OF=OF,\end{cases}$
所以$△ODF≌△OEF(SAS)$,所以 $DF=EF$。

【分析】
要证明DF=EF，可通过证明DF、EF所在的三角形全等来推导。首先结合角平分线的性质得到PD=PE，先证明Rt△OPD和Rt△OPE全等，得到OD=OE，再结合角平分线得到的等角、公共边OF，即可证明△ODF和△OEF全等，从而推出对应边相等。
【解析】
证明：
∵OC是∠AOB的平分线，$PD⊥OA$，$PE⊥OB$，
∴$PD=PE$，$∠DOF=∠EOF$。
在$Rt△OPD$ 和 $Rt△OPE$ 中，
$\begin{cases}OP=OP,\\PD=PE,\end{cases}$
∴$Rt△OPD≌Rt△OPE$(HL)，
∴ $OD=OE$.
在$△ODF$ 和 $△OEF$ 中，
$\begin{cases}OD=OE,\\∠DOF=∠EOF,\\OF=OF,\end{cases}$
∴$△ODF≌△OEF(SAS)$，
∴ $DF=EF$。
【答案】
$DF=EF$
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题关键是利用角平分线的性质得到相等的线段，通过两次全等三角形的判定推导待证线段相等，是角平分线与全等三角形结合的典型题型。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在四边形ABCD中,BC＞BA,AD=DC,BD平分∠ABC,试猜想∠BAD与∠DCB的数量关系,并说明理由.

6.【解】$∠BAD+∠DCB=180°$. 理由如下：
如图,过点 D 分别作 $DE⊥BA$,交 BA 的延长线于点 E, $DF⊥BC$,交 BC 于点 F。
因为 BD 平分$∠ABC$,所以 $DE=DF$。
在$Rt△AED$ 和 $Rt△CFD$ 中,$\begin{cases}AD=CD,\\DE=DF,\end{cases}$
所以 $Rt△AED≌Rt△CFD(HL)$,
所以 $∠DCB = ∠DAE$. 因为 $∠BAD + ∠DAE=180°$,所以$∠BAD+∠DCB=180°$。

【分析】
要推导∠BAD与∠DCB的数量关系，首先看到已知条件BD平分∠ABC，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此优先考虑过点D向∠ABC的两条边作垂线，得到两条相等的垂线段；再结合AD=DC的条件，可证明构造出的两个直角三角形全等，将∠DCB转化为与∠BAD相邻的补角，即可推导出两个角的数量关系。
【解析】
猜想$\boldsymbol{∠BAD+∠DCB=180°}$，理由如下：
过点D分别作$DE⊥BA$，交BA的延长线于点E，$DF⊥BC$，交BC于点F。
∵BD平分$∠ABC$，$DE⊥BE$，$DF⊥BC$，根据角平分线的性质可得$DE=DF$。
在$Rt△AED$和$Rt△CFD$中：
$\begin{cases}AD=CD \\DE=DF\end{cases}$
∴$Rt△AED≌Rt△CFD(HL)$，
∴$∠DCB=∠DAE$。
∵$∠BAD+∠DAE=180°$（邻补角的和为平角），
∴$∠BAD+∠DCB=180°$。
【答案】
$∠BAD+∠DCB=180°$. 理由如下：
如图,过点 D 分别作 $DE⊥BA$,交 BA 的延长线于点 E, $DF⊥BC$,交 BC 于点 F。
因为 BD 平分$∠ABC$,所以 $DE=DF$。
在$Rt△AED$ 和 $Rt△CFD$ 中,$\begin{cases}AD=CD,\\DE=DF,\end{cases}$
所以 $Rt△AED≌Rt△CFD(HL)$,
所以 $∠DCB = ∠DAE$. 因为 $∠BAD + ∠DAE=180°$,所以$∠BAD+∠DCB=180°$。
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，邻补角的性质
【点评】
本题是角平分线相关证明的典型题型，解题核心是利用角平分线的性质构造垂线段辅助线，再通过全等三角形实现角的等量转化，能有效考查学生对基础性质的应用能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.7