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1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 2∠ B$.作$∠ ACB$的平分线交AB于D；作$∠ BDC$的平分线DE交BC于点E.(不写作法，保留作图痕迹)
答案
1.【解】所求作的图如图所示。
解析
【分析】
本题为尺规作角平分线的题目，解题思路如下：首先明确要先后作两个角的平分线，均使用角平分线的尺规作图方法即可。第一步作∠ACB的平分线：以点C为圆心取适当长度为半径画弧，分别交AC、BC于两点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，连接∠ACB内部两弧的交点与点C，所得射线与AB的交点即为D；第二步作∠BDC的平分线：以点D为圆心取适当长度为半径画弧，分别交DB、DC于两点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，连接∠BDC内部两弧的交点与点D，所得射线与BC的交点即为E，全程保留作图痕迹即可。
【解析】
1. 作∠ACB的平分线CD：
① 以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、BC于两个点；
② 分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠ACB内部交于一点；
③ 过点C和该交点作射线，交AB于点D，CD即为∠ACB的平分线。
2. 作∠BDC的平分线DE：
① 以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DB、DC于两个点；
② 分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BDC内部交于一点；
③ 过点D和该交点作射线，交BC于点E，DE即为∠BDC的平分线。
作图时保留所有作图痕迹即可。
【答案】
所求作的图如图所示。
【知识点】
角平分线尺规作图；角平分线定义
【点评】
本题属于基础作图题，主要考查角平分线的尺规作图操作，要求熟练掌握角平分线的作图步骤，作图时需注意保留所有作图痕迹，是对基础操作技能的常规考查。
【难度系数】
0.9
本题为尺规作角平分线的题目，解题思路如下：首先明确要先后作两个角的平分线，均使用角平分线的尺规作图方法即可。第一步作∠ACB的平分线：以点C为圆心取适当长度为半径画弧，分别交AC、BC于两点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，连接∠ACB内部两弧的交点与点C，所得射线与AB的交点即为D；第二步作∠BDC的平分线：以点D为圆心取适当长度为半径画弧，分别交DB、DC于两点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，连接∠BDC内部两弧的交点与点D，所得射线与BC的交点即为E，全程保留作图痕迹即可。
【解析】
1. 作∠ACB的平分线CD：
① 以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、BC于两个点；
② 分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠ACB内部交于一点；
③ 过点C和该交点作射线，交AB于点D，CD即为∠ACB的平分线。
2. 作∠BDC的平分线DE：
① 以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DB、DC于两个点；
② 分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BDC内部交于一点；
③ 过点D和该交点作射线，交BC于点E，DE即为∠BDC的平分线。
作图时保留所有作图痕迹即可。
【答案】
所求作的图如图所示。
【知识点】
角平分线尺规作图；角平分线定义
【点评】
本题属于基础作图题，主要考查角平分线的尺规作图操作，要求熟练掌握角平分线的作图步骤，作图时需注意保留所有作图痕迹，是对基础操作技能的常规考查。
【难度系数】
0.9
【典型例题2】如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.求证:PM=PN.
【证明】因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中,$\{\begin{array}{l} AB=CB,\\ ∠ABD=∠CBD,\\ BD=BD,\end{array} $
所以△ABD≌△CBD(SAS),
所以∠ADB=∠CDB.
因为点P在BD上,且PM⊥AD,PN⊥CD,
所以PM=PN.
【规律方法】1.应用角的平分线的性质要具备两个条件:(1)点在角的平分线上;(2)过这一点作角的两边的垂线段.
2.角的平分线的性质是证明两线段相等的重要方法之一,其优点是不用再证两个三角形全等.
【证明】因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中,$\{\begin{array}{l} AB=CB,\\ ∠ABD=∠CBD,\\ BD=BD,\end{array} $
所以△ABD≌△CBD(SAS),
所以∠ADB=∠CDB.
因为点P在BD上,且PM⊥AD,PN⊥CD,
所以PM=PN.
【规律方法】1.应用角的平分线的性质要具备两个条件:(1)点在角的平分线上;(2)过这一点作角的两边的垂线段.
2.角的平分线的性质是证明两线段相等的重要方法之一,其优点是不用再证两个三角形全等.
答案
证明：
∵ BD为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB = CB, \\∠ABD = ∠CBD, \\BD = BD,\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS），
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC。
∵ 点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ PM = PN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵ BD为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB = CB, \\∠ABD = ∠CBD, \\BD = BD,\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS），
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC。
∵ 点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ PM = PN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
解析
【分析】
要证明PM=PN，观察到PM⊥AD、PN⊥CD，根据角平分线的性质，只需证明点P在∠ADC的角平分线上，即证明∠ADB=∠CDB。结合已知BD是∠ABC的平分线、AB=BC、BD为公共边，可通过SAS判定△ABD≌△CBD，利用全等三角形对应角相等即可得到∠ADB=∠CDB，进而推出结论。
【解析】
证明：
∵ BD为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB = CB, \\∠ABD = ∠CBD, \\BD = BD,\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS），
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC。
∵ 点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ PM = PN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
【答案】
证明：
∵ BD为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB = CB, \\∠ABD = ∠CBD, \\BD = BD,\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS），
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC。
∵ 点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ PM = PN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题时可采用逆向推导的思路，从待证结论出发反推所需条件，再结合已知正向求证。利用角平分线性质证明线段相等可省略二次证全等的步骤，简化证明过程。
【难度系数】
0.8
要证明PM=PN，观察到PM⊥AD、PN⊥CD，根据角平分线的性质，只需证明点P在∠ADC的角平分线上，即证明∠ADB=∠CDB。结合已知BD是∠ABC的平分线、AB=BC、BD为公共边，可通过SAS判定△ABD≌△CBD，利用全等三角形对应角相等即可得到∠ADB=∠CDB，进而推出结论。
【解析】
证明：
∵ BD为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB = CB, \\∠ABD = ∠CBD, \\BD = BD,\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS），
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC。
∵ 点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ PM = PN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
【答案】
证明：
∵ BD为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB = CB, \\∠ABD = ∠CBD, \\BD = BD,\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS），
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC。
∵ 点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ PM = PN（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题时可采用逆向推导的思路，从待证结论出发反推所需条件，再结合已知正向求证。利用角平分线性质证明线段相等可省略二次证全等的步骤，简化证明过程。
【难度系数】
0.8
2.(2024·四川绵阳中考)如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，AD平分$∠ BAC$交BC于点D，$DE⊥ AC$，垂足为E，$△ ABD$的面积为5，则DE的长为（
A.1
B.2
C.3
D.5
B
）A.1
B.2
C.3
D.5
答案
2.B 【解析】如图,过 D 作 $DF⊥AB$ 于点 F, 因为 AD 平分$∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB$,所以 $DE = DF$. 因为 $S_{△ABD} =\frac{1}{2}AB · DF =\frac{1}{2}×5DF = 5$,所以 $DF=2$,所以 $DE=2$。
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：已知AD是∠BAC的角平分线，且有D到AC的垂线段DE，要求DE的长度，同时给出了△ABD的面积与AB的边长。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们过D作AB的垂线段DF，可得DF=DE，此时DF恰好是△ABD中AB边上的高，结合已知的三角形面积和底AB的长度，利用三角形面积公式即可求出DF的长度，进而得到DE的长。
【解析】
如图，过点D作$DF⊥AB$于点F。
∵AD平分$∠BAC$，$DE⊥AC$，$DF⊥AB$，
∴根据角平分线的性质可得$DE = DF$。
已知$S_{△ABD} = 5$，$AB=5$，由三角形面积公式：
$S_{△ABD} =\frac{1}{2}AB · DF$，代入数值得：
$\frac{1}{2}×5×DF = 5$，
解得$DF=2$，
∴$DE=DF=2$，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的应用，解题关键是通过作辅助线构造出角平分线上的点到角两边的垂线段，将未知线段转化为可通过面积公式求解的高，是角平分线性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：已知AD是∠BAC的角平分线，且有D到AC的垂线段DE，要求DE的长度，同时给出了△ABD的面积与AB的边长。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们过D作AB的垂线段DF，可得DF=DE，此时DF恰好是△ABD中AB边上的高，结合已知的三角形面积和底AB的长度，利用三角形面积公式即可求出DF的长度，进而得到DE的长。
【解析】
如图，过点D作$DF⊥AB$于点F。
∵AD平分$∠BAC$，$DE⊥AC$，$DF⊥AB$，
∴根据角平分线的性质可得$DE = DF$。
已知$S_{△ABD} = 5$，$AB=5$，由三角形面积公式：
$S_{△ABD} =\frac{1}{2}AB · DF$，代入数值得：
$\frac{1}{2}×5×DF = 5$，
解得$DF=2$，
∴$DE=DF=2$，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的应用，解题关键是通过作辅助线构造出角平分线上的点到角两边的垂线段，将未知线段转化为可通过面积公式求解的高，是角平分线性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
1.（2024·青海中考）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是（
A.4
B.3
C.2
D.1
C
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
1.C 【解析】如图,过 P 作 $PE⊥AO$ 于 E，因为 OC 平分 $∠AOB$，$PD⊥OB$,所以 $PE=PD=2$，所以点 P 到 OA 的距离是 2。
解析
【分析】
解题时首先明确所求内容是点P到OA的距离，根据定义，点到直线的距离是该点到直线的垂线段长度，因此需要先过P作OA的垂线段。再结合已知条件：OC是∠AOB的角平分线，P在OC上，且P到OB的垂线段PD=2，回忆角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可直接推出P到OA的垂线段长度等于PD，从而得到结果。
【解析】
过点P作$PE⊥ OA$于点E，线段PE的长度就是点P到OA的距离。
$\because$ OC平分$∠ AOB$，$PD⊥ OB$，$PE⊥ OA$，
$\therefore$ 由角平分线的性质可得$PE=PD$，
$\because PD=2$，
$\therefore PE=2$，即点P到OA的距离为2。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的直接应用，解题时牢记角平分线的性质，明确点到直线距离的定义即可快速得出答案，是巩固角平分线性质的典型习题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确所求内容是点P到OA的距离，根据定义，点到直线的距离是该点到直线的垂线段长度，因此需要先过P作OA的垂线段。再结合已知条件：OC是∠AOB的角平分线，P在OC上，且P到OB的垂线段PD=2，回忆角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可直接推出P到OA的垂线段长度等于PD，从而得到结果。
【解析】
过点P作$PE⊥ OA$于点E，线段PE的长度就是点P到OA的距离。
$\because$ OC平分$∠ AOB$，$PD⊥ OB$，$PE⊥ OA$，
$\therefore$ 由角平分线的性质可得$PE=PD$，
$\because PD=2$，
$\therefore PE=2$，即点P到OA的距离为2。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的直接应用，解题时牢记角平分线的性质，明确点到直线距离的定义即可快速得出答案，是巩固角平分线性质的典型习题。
【难度系数】
0.9
2.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径作弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(a,b),则a与b的数量关系为
$a+b=0$
. 答案
2.$a+b=0$ 【解析】由作图知点 P 在第二象限两坐标轴夹角的平分线上,该点的坐标特征是横、纵坐标互为相反数,所以 $a+b=0$。
解析
【分析】
首先识别题目中的尺规作图类型：该作图是尺规作角平分线的标准步骤，由此可判断点P在第二象限两坐标轴夹角的角平分线上；接下来回忆第二象限角平分线的坐标特征：该线上的点横、纵坐标绝对值相等，符号相反，即互为相反数，据此即可推出a与b的数量关系。
【解析】
根据尺规作图的步骤可知，点P在第二象限内x轴与y轴夹角的角平分线上。
平面直角坐标系中，第二象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数，已知点P的坐标为$(a,b)$，因此$a=-b$，整理得$a+b=0$。
【答案】
$a+b=0$
【知识点】
1. 角平分线的尺规作图 2. 象限角平分线的坐标特征
【点评】
本题将尺规作图与平面直角坐标系的知识相结合，解题的核心是准确识别作图类型，结合角平分线的坐标特征即可快速求解，属于基础题，侧重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
首先识别题目中的尺规作图类型：该作图是尺规作角平分线的标准步骤，由此可判断点P在第二象限两坐标轴夹角的角平分线上；接下来回忆第二象限角平分线的坐标特征：该线上的点横、纵坐标绝对值相等，符号相反，即互为相反数，据此即可推出a与b的数量关系。
【解析】
根据尺规作图的步骤可知，点P在第二象限内x轴与y轴夹角的角平分线上。
平面直角坐标系中，第二象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数，已知点P的坐标为$(a,b)$，因此$a=-b$，整理得$a+b=0$。
【答案】
$a+b=0$
【知识点】
1. 角平分线的尺规作图 2. 象限角平分线的坐标特征
【点评】
本题将尺规作图与平面直角坐标系的知识相结合，解题的核心是准确识别作图类型，结合角平分线的坐标特征即可快速求解，属于基础题，侧重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
