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3. 如图，$DE ⊥ CA$ 于点 $E$，$DF ⊥ CB$ 于点 $F$，$AD=BD$，$∠ CAD + ∠ CBD = 180°$，求证：$CD$ 平分 $∠ ACB$.
答案
3.【证明】因为 $DE ⊥ CA,DF ⊥ CB$,所以 $∠ AED=∠ BFD=90°$. 因为 $∠ CAD + ∠ CBD = 180°$,$∠ CAD+∠ EAD=180°$,所以$∠ CBD=∠ EAD$.
在$△ AED$ 和$△ BFD$ 中,$\begin{cases}∠ AED=∠ BFD,\\∠ EAD=∠ FBD,\\AD=BD,\end{cases}$
所以$△ AED≌△ BFD(\mathrm{AAS})$,所以 $DE=DF$,
所以点 $D$ 在$∠ BCE$ 的平分线上,
所以 $CD$ 平分$∠ ACB$.
在$△ AED$ 和$△ BFD$ 中,$\begin{cases}∠ AED=∠ BFD,\\∠ EAD=∠ FBD,\\AD=BD,\end{cases}$
所以$△ AED≌△ BFD(\mathrm{AAS})$,所以 $DE=DF$,
所以点 $D$ 在$∠ BCE$ 的平分线上,
所以 $CD$ 平分$∠ ACB$.
解析
【分析】
要证明$CD$平分$∠ACB$，根据角平分线的判定定理，只需证明点$D$到$∠ACB$两边$CA$、$CB$的距离相等，即$DE=DF$。要证$DE=DF$，可通过证明$△ AED$和$△ BFD$全等来实现。已知$AD=BD$，由$DE⊥CA$、$DF⊥CB$可得一组直角相等，再结合$∠CAD+∠CBD=180°$，利用同角的补角相等可推出另一组对应角相等，满足AAS全等的判定条件，即可证得$DE=DF$，进而得到结论。
【解析】
证明：$\because DE ⊥ CA,DF ⊥ CB$，
$\therefore ∠AED=∠BFD=90°$.
$\because ∠CAD + ∠CBD = 180°$，$∠CAD+∠EAD=180°$，
$\therefore ∠CBD=∠EAD$.
在$△ AED$ 和$△ BFD$ 中，
$\begin{cases}∠ AED=∠ BFD,\\∠ EAD=∠ FBD,\\AD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ AED≌△ BFD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DE=DF$.
又$\because DE⊥CA$，$DF⊥CB$，
$\therefore$点$D$在$∠ACB$的平分线上，
$\therefore CD$平分$∠ACB$.
【答案】
$CD$平分$∠ACB$
【知识点】
补角的性质，全等三角形的判定（AAS），角平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是明确角平分线的判定思路，通过补角的性质推导等角，结合全等三角形得到点到角两边的距离相等，最终完成证明，解题过程逻辑连贯，是角平分线判定的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
要证明$CD$平分$∠ACB$，根据角平分线的判定定理，只需证明点$D$到$∠ACB$两边$CA$、$CB$的距离相等，即$DE=DF$。要证$DE=DF$，可通过证明$△ AED$和$△ BFD$全等来实现。已知$AD=BD$，由$DE⊥CA$、$DF⊥CB$可得一组直角相等，再结合$∠CAD+∠CBD=180°$，利用同角的补角相等可推出另一组对应角相等，满足AAS全等的判定条件，即可证得$DE=DF$，进而得到结论。
【解析】
证明：$\because DE ⊥ CA,DF ⊥ CB$，
$\therefore ∠AED=∠BFD=90°$.
$\because ∠CAD + ∠CBD = 180°$，$∠CAD+∠EAD=180°$，
$\therefore ∠CBD=∠EAD$.
在$△ AED$ 和$△ BFD$ 中，
$\begin{cases}∠ AED=∠ BFD,\\∠ EAD=∠ FBD,\\AD=BD,\end{cases}$
$\therefore △ AED≌△ BFD(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DE=DF$.
又$\because DE⊥CA$，$DF⊥CB$，
$\therefore$点$D$在$∠ACB$的平分线上，
$\therefore CD$平分$∠ACB$.
【答案】
$CD$平分$∠ACB$
【知识点】
补角的性质，全等三角形的判定（AAS），角平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是明确角平分线的判定思路，通过补角的性质推导等角，结合全等三角形得到点到角两边的距离相等，最终完成证明，解题过程逻辑连贯，是角平分线判定的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图，已知点 P 到 AE，AD，BC 的距离相等，下列说法：①点 P 在∠BAC 的平分线上；②点 P 在∠CBE 的平分线上；③点 P 在∠BCD 的平分线上；④点 P 为∠BAC，∠CBE，∠BCD 的平分线的交点.其中正确的是
①②③④
.(填序号)答案
4.①②③④ 【解析】因为点 $P$ 到 $AE,AD$ 的距离相等,所以点 $P$ 在$∠ BAC$ 的平分线上,①正确;因为点 $P$ 到 $AE,BC$ 的距离相等,所以点 $P$ 在$∠ CBE$ 的平分线上,②正确;因为点 $P$ 到 $AD,BC$ 的距离相等,所以点 $P$ 在$∠ BCD$ 的平分线上,③正确;所以点 $P$ 为$∠ BAC,∠ CBE,∠ BCD$ 的平分线的交点,④正确.
解析
【分析】
解题的核心依据是角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。我们可逐一验证每个结论：先找到每个角对应的两条边，结合已知点P到AE、AD、BC的距离都相等的条件，判断点P是否在对应角的平分线上，最后综合结论确定点P的位置即可。
【解析】
根据角平分线的判定定理分析：
1. ∠BAC的两条边是AE和AD，已知点P到AE、AD的距离相等，因此点P在∠BAC的平分线上，①正确；
2. ∠CBE的两条边是AE和BC，已知点P到AE、BC的距离相等，因此点P在∠CBE的平分线上，②正确；
3. ∠BCD的两条边是AD和BC，已知点P到AD、BC的距离相等，因此点P在∠BCD的平分线上，③正确；
4. 由上述三个结论可得，点P同时在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线上，即点P是这三个角的平分线的交点，④正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
角平分线的判定定理
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用题，解题的关键是准确对应每个角的两条边，结合已知的距离相等条件判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。我们可逐一验证每个结论：先找到每个角对应的两条边，结合已知点P到AE、AD、BC的距离都相等的条件，判断点P是否在对应角的平分线上，最后综合结论确定点P的位置即可。
【解析】
根据角平分线的判定定理分析：
1. ∠BAC的两条边是AE和AD，已知点P到AE、AD的距离相等，因此点P在∠BAC的平分线上，①正确；
2. ∠CBE的两条边是AE和BC，已知点P到AE、BC的距离相等，因此点P在∠CBE的平分线上，②正确；
3. ∠BCD的两条边是AD和BC，已知点P到AD、BC的距离相等，因此点P在∠BCD的平分线上，③正确；
4. 由上述三个结论可得，点P同时在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线上，即点P是这三个角的平分线的交点，④正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
角平分线的判定定理
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用题，解题的关键是准确对应每个角的两条边，结合已知的距离相等条件判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
5.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=80°$,$∠ ABC=40°$,若$BE$平分$∠ ABC$,$CE$平分外角$∠ ACD$,连接$AE$,求$∠ AEB$的度数.
答案
5.【解】如图,过点 $E$ 作 $EF ⊥ BA$ 交 $BA$ 的延长线于点 $F$,$EH ⊥ AC$ 于点 $H$,$EP ⊥ BD$ 于点 $P$.
因为 $BE$ 平分$∠ ABC$,$CE$ 平分外角$∠ ACD$,
所以 $EF=EP,EH=EP$,
所以 $EF=EH$,所以 $AE$ 平分$∠ FAC$.
因为$∠ BAC=80°$,所以$∠ FAC=180°-80°=100°$,
所以$∠ FAE=\frac{1}{2}∠ FAC=50°$.
因为$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×40°=20°$,
所以$∠ AEB=∠ FAE-∠ ABE=50°-20°=30°$.
解析
【分析】
要求∠AEB的度数，首先结合已知的两个角平分线条件，联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点E分别向BA的延长线、AC、BD作垂线，可得到三条垂线段相等；再根据角平分线的判定（到角两边距离相等的点在角的平分线上），可推出AE平分∠BAC的邻补角∠FAC，算出∠FAE的度数；结合BE平分∠ABC得到∠ABE的度数后，最后利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即可求出∠AEB的度数。
【解析】
如图,过点 $E$ 作 $EF ⊥ BA$ 交 $BA$ 的延长线于点 $F$,$EH ⊥ AC$ 于点 $H$,$EP ⊥ BD$ 于点 $P$.
因为 $BE$ 平分$∠ ABC$,$CE$ 平分外角$∠ ACD$,
所以 $EF=EP,EH=EP$,
所以 $EF=EH$,所以 $AE$ 平分$∠ FAC$.
因为$∠ BAC=80°$,所以$∠ FAC=180°-80°=100°$,
所以$∠ FAE=\frac{1}{2}∠ FAC=50°$.
因为$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×40°=20°$,
所以$∠ AEB=∠ FAE-∠ ABE=50°-20°=30°$.
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形外角性质
【点评】
本题重点考查角平分线性质与判定的综合运用，通过作垂线段的辅助线，推导得出AE为三角形外角平分线是解题的突破口，解题过程中需要灵活运用相关性质进行角的转化，同时要熟练掌握三角形外角的角度计算规律。
【难度系数】
0.6
要求∠AEB的度数，首先结合已知的两个角平分线条件，联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点E分别向BA的延长线、AC、BD作垂线，可得到三条垂线段相等；再根据角平分线的判定（到角两边距离相等的点在角的平分线上），可推出AE平分∠BAC的邻补角∠FAC，算出∠FAE的度数；结合BE平分∠ABC得到∠ABE的度数后，最后利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即可求出∠AEB的度数。
【解析】
如图,过点 $E$ 作 $EF ⊥ BA$ 交 $BA$ 的延长线于点 $F$,$EH ⊥ AC$ 于点 $H$,$EP ⊥ BD$ 于点 $P$.
因为 $BE$ 平分$∠ ABC$,$CE$ 平分外角$∠ ACD$,
所以 $EF=EP,EH=EP$,
所以 $EF=EH$,所以 $AE$ 平分$∠ FAC$.
因为$∠ BAC=80°$,所以$∠ FAC=180°-80°=100°$,
所以$∠ FAE=\frac{1}{2}∠ FAC=50°$.
因为$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×40°=20°$,
所以$∠ AEB=∠ FAE-∠ ABE=50°-20°=30°$.
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形外角性质
【点评】
本题重点考查角平分线性质与判定的综合运用，通过作垂线段的辅助线，推导得出AE为三角形外角平分线是解题的突破口，解题过程中需要灵活运用相关性质进行角的转化，同时要熟练掌握三角形外角的角度计算规律。
【难度系数】
0.6
6. 如图，$AE ⊥ AB$，$AF ⊥ AC$，$AE = AB$，$AF = AC$。
(1)图中$EC$，$BF$有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论。
(2)连接$AM$，求证：$MA$平分$∠ EMF$。
(1)图中$EC$，$BF$有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论。
(2)连接$AM$，求证：$MA$平分$∠ EMF$。
答案
6. (1)【解】结论:$EC=BF,EC ⊥ BF$.
理由:如图,设 $AB$ 交 $CE$ 于点 $G$.
因为 $AE ⊥ AB,AF ⊥ AC$, 所以 $∠ EAB=∠ CAF=90°$, 所以 $∠ EAB + ∠ BAC = ∠ CAF + ∠ BAC$,所以$∠ EAC=∠ BAF$.
在$△ EAC$ 和$△ BAF$ 中,$\begin{cases}AE=AB,\\∠ EAC=∠ BAF,\\AC=AF,\end{cases}$
所以$△ EAC≌△ BAF(\mathrm{SAS})$,
所以 $EC=BF,∠ AEC=∠ ABF$.
因为$∠ AEC+∠ AGE=90°,∠ AGE=∠ BGM$,
所以$∠ ABF+∠ BGM=90°$,所以$∠ EMB=90°$,
所以 $EC ⊥ BF$. 故 $EC=BF,EC ⊥ BF$.
(2)【证明】如图,过点 $A$ 作 $AP ⊥ CE$ 于点 $P$,$AQ ⊥ BF$ 于点 $Q$.
因为$△ EAC≌△ BAF$,所以 $AP=AQ$(全等三角形对应边上的高相等). 因为 $AP ⊥ CE$ 于点 $P$,$AQ ⊥ BF$ 于点 $Q$,所以 $MA$ 平分$∠ EMF$.
解析
【分析】
(1)要判断EC和BF的数量与位置关系，首先观察已知条件：存在共顶点的等线段$AE=AB$、$AF=AC$，且两组线段均互相垂直，可先通过角度推导得到夹角$∠ EAC=∠ BAF$，证明$△ EAC$和$△ BAF$全等，利用全等性质得到$EC=BF$，再通过角的等量代换推导两条线段的夹角为$90°$，即可得到垂直关系。
(2)要证明$MA$平分$∠ EMF$，根据角平分线的判定定理，只需证明点A到$∠ EMF$两边CE、BF的距离相等，因此过A作两条边的垂线$AP$、$AQ$，利用全等三角形对应边上的高相等即可得到$AP=AQ$，从而证得结论。
【解析】
(1) 结论：$EC=BF$，$EC ⊥ BF$，证明如下：
设$AB$交$CE$于点$G$。
$\because AE ⊥ AB$，$AF ⊥ AC$，$\therefore ∠ EAB=∠ CAF=90°$
$\therefore ∠ EAB + ∠ BAC = ∠ CAF + ∠ BAC$，即$∠ EAC=∠ BAF$
在$△ EAC$和$△ BAF$中：
$\begin{cases}AE=AB \\∠ EAC=∠ BAF \\AC=AF\end{cases}$
$\therefore △ EAC ≌ △ BAF(\mathrm{SAS})$
$\therefore EC=BF$，$∠ AEC=∠ ABF$
$\because ∠ AEC + ∠ AGE=90°$，且$∠ AGE=∠ BGM$（对顶角相等）
$\therefore ∠ ABF + ∠ BGM=90°$，$\therefore ∠ EMB=90°$，即$EC ⊥ BF$。
(2) 证明：
过点$A$作$AP ⊥ CE$于点$P$，$AQ ⊥ BF$于点$Q$。
$\because △ EAC ≌ △ BAF$，$\therefore AP=AQ$（全等三角形对应边上的高相等）
又$\because AP ⊥ CE$，$AQ ⊥ BF$
$\therefore MA$平分$∠ EMF$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
【答案】
(1) $EC=BF$，$EC ⊥ BF$，证明过程见解析；
(2) 证明过程见解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定
3. 垂直的性质与判定
【点评】
本题是几何综合类典型题，核心是识别共顶点的旋转型全等结构，第一问通过全等转换边和角的关系推导位置与数量关系，第二问结合角平分线的判定定理作辅助线即可求解，解题时要注意全等性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
(1)要判断EC和BF的数量与位置关系，首先观察已知条件：存在共顶点的等线段$AE=AB$、$AF=AC$，且两组线段均互相垂直，可先通过角度推导得到夹角$∠ EAC=∠ BAF$，证明$△ EAC$和$△ BAF$全等，利用全等性质得到$EC=BF$，再通过角的等量代换推导两条线段的夹角为$90°$，即可得到垂直关系。
(2)要证明$MA$平分$∠ EMF$，根据角平分线的判定定理，只需证明点A到$∠ EMF$两边CE、BF的距离相等，因此过A作两条边的垂线$AP$、$AQ$，利用全等三角形对应边上的高相等即可得到$AP=AQ$，从而证得结论。
【解析】
(1) 结论：$EC=BF$，$EC ⊥ BF$，证明如下：
设$AB$交$CE$于点$G$。
$\because AE ⊥ AB$，$AF ⊥ AC$，$\therefore ∠ EAB=∠ CAF=90°$
$\therefore ∠ EAB + ∠ BAC = ∠ CAF + ∠ BAC$，即$∠ EAC=∠ BAF$
在$△ EAC$和$△ BAF$中：
$\begin{cases}AE=AB \\∠ EAC=∠ BAF \\AC=AF\end{cases}$
$\therefore △ EAC ≌ △ BAF(\mathrm{SAS})$
$\therefore EC=BF$，$∠ AEC=∠ ABF$
$\because ∠ AEC + ∠ AGE=90°$，且$∠ AGE=∠ BGM$（对顶角相等）
$\therefore ∠ ABF + ∠ BGM=90°$，$\therefore ∠ EMB=90°$，即$EC ⊥ BF$。
(2) 证明：
过点$A$作$AP ⊥ CE$于点$P$，$AQ ⊥ BF$于点$Q$。
$\because △ EAC ≌ △ BAF$，$\therefore AP=AQ$（全等三角形对应边上的高相等）
又$\because AP ⊥ CE$，$AQ ⊥ BF$
$\therefore MA$平分$∠ EMF$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
【答案】
(1) $EC=BF$，$EC ⊥ BF$，证明过程见解析；
(2) 证明过程见解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定
3. 垂直的性质与判定
【点评】
本题是几何综合类典型题，核心是识别共顶点的旋转型全等结构，第一问通过全等转换边和角的关系推导位置与数量关系，第二问结合角平分线的判定定理作辅助线即可求解，解题时要注意全等性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
