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10. 某学校给学生编制的“身份识别条形码”共有12位数字(均为0~9的自然数),它是由11位数字代码和最后1位校验码构成,具体结构如下图:
其中校验码是按照特定的算法计算得来的,用于校验身份识别条形码中前11位数字代码的正确性。具体算法说明如下:
步骤1:计算前11位数字中奇数位数字的和,记为$m$；
步骤2:计算前11位数字中偶数位数字的和,记为$n$；
步骤3:计算$3m + n$,记为$p$；
步骤4:取不小于$p$且为10的整数倍的最小数$q$；
步骤5:计算$q - p$,结果即为校验码。
阅读上述材料,回答下列问题:
(1)某同学的“身份识别条形码”为04220220133,则计算过程中$p$的值为,校验码的值是。
(2)如图,某同学的“身份识别条形码”中的一位数字不小心污损了,设这个数字为$x$,你能否通过其他信息还原出这个数字$x$,进而确定这位同学的班级呢?如果能,写出你的推理过程;如果不能,请说明理由。
(3)如图,一名2024届的同学在知道了校验码的计算方法后,尝试利用自己的身份信息计算校验码,然后惊喜地发现自己的“班级”“学号”和“校验码”的数字(图中被遮住的数字)是完全一样的,请直接写出这个数字是。
其中校验码是按照特定的算法计算得来的,用于校验身份识别条形码中前11位数字代码的正确性。具体算法说明如下:
步骤1:计算前11位数字中奇数位数字的和,记为$m$；
步骤2:计算前11位数字中偶数位数字的和,记为$n$；
步骤3:计算$3m + n$,记为$p$；
步骤4:取不小于$p$且为10的整数倍的最小数$q$；
步骤5:计算$q - p$,结果即为校验码。
阅读上述材料,回答下列问题:
(1)某同学的“身份识别条形码”为04220220133,则计算过程中$p$的值为,校验码的值是。
(2)如图,某同学的“身份识别条形码”中的一位数字不小心污损了,设这个数字为$x$,你能否通过其他信息还原出这个数字$x$,进而确定这位同学的班级呢?如果能,写出你的推理过程;如果不能,请说明理由。
(3)如图,一名2024届的同学在知道了校验码的计算方法后,尝试利用自己的身份信息计算校验码,然后惊喜地发现自己的“班级”“学号”和“校验码”的数字(图中被遮住的数字)是完全一样的,请直接写出这个数字是。
答案
解：
(1) 前11位数字为0,4,2,2,0,2,2,0,1,3,3
奇数位数字的和 $m = 0+2+0+2+1+3 = 8$
偶数位数字的和 $n = 4+2+2+0+3 = 11$
$p = 3m + n = 3×8 + 11 = 35$
不小于35且为10的整数倍的最小数 $q=40$
校验码为 $q-p = 40-35 = 5$
故$p$的值为$\boldsymbol{35}$，校验码的值是$\boldsymbol{5}$。
(2) 能还原出数字$x$，进而确定这位同学的班级。
推理过程：
该条形码前11位数字为0,4,2,2,0,2,5,0,$x$,3,5，校验码为9。
奇数位数字的和 $m = 0+2+0+5+x+5 = 12+x$
偶数位数字的和 $n = 4+2+2+0+3 = 11$
$p = 3m + n = 3(12+x) + 11 = 47+3x$
由校验码为9，得$q-p=9$，即$q=p+9$，$q$是10的整数倍，因此$p$的个位数字为1。
47的个位是7，因此$3x$的个位数字必须为4，在0~9的自然数中，只有$x=8$满足条件。
所以$x=8$，班级代码为08，这位同学是8班的。
(3) 设被遮住的相同数字为$a$，前11位数字为0,4,2,2,0,2,4,0,$a$,0,$a$，校验码为$a$。
奇数位数字的和 $m = 0+2+0+4+a+a = 6+2a$
偶数位数字的和 $n = 4+2+2+0+0 = 8$
$p = 3m + n = 3(6+2a) + 8 = 26+6a$
由校验码为$a$，得$q-p=a$，即$q=26+7a$，$q$是10的整数倍。
在0~9的自然数中，仅当$a=2$时，$26+7×2=40$是10的整数倍，符合要求。
故这个数字是$\boldsymbol{2}$。
(1) 前11位数字为0,4,2,2,0,2,2,0,1,3,3
奇数位数字的和 $m = 0+2+0+2+1+3 = 8$
偶数位数字的和 $n = 4+2+2+0+3 = 11$
$p = 3m + n = 3×8 + 11 = 35$
不小于35且为10的整数倍的最小数 $q=40$
校验码为 $q-p = 40-35 = 5$
故$p$的值为$\boldsymbol{35}$，校验码的值是$\boldsymbol{5}$。
(2) 能还原出数字$x$，进而确定这位同学的班级。
推理过程：
该条形码前11位数字为0,4,2,2,0,2,5,0,$x$,3,5，校验码为9。
奇数位数字的和 $m = 0+2+0+5+x+5 = 12+x$
偶数位数字的和 $n = 4+2+2+0+3 = 11$
$p = 3m + n = 3(12+x) + 11 = 47+3x$
由校验码为9，得$q-p=9$，即$q=p+9$，$q$是10的整数倍，因此$p$的个位数字为1。
47的个位是7，因此$3x$的个位数字必须为4，在0~9的自然数中，只有$x=8$满足条件。
所以$x=8$，班级代码为08，这位同学是8班的。
(3) 设被遮住的相同数字为$a$，前11位数字为0,4,2,2,0,2,4,0,$a$,0,$a$，校验码为$a$。
奇数位数字的和 $m = 0+2+0+4+a+a = 6+2a$
偶数位数字的和 $n = 4+2+2+0+0 = 8$
$p = 3m + n = 3(6+2a) + 8 = 26+6a$
由校验码为$a$，得$q-p=a$，即$q=26+7a$，$q$是10的整数倍。
在0~9的自然数中，仅当$a=2$时，$26+7×2=40$是10的整数倍，符合要求。
故这个数字是$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
本题是结合身份识别条形码的校验算法求解的问题，需严格按照题目给定的5个步骤逐步分析：
(1) 第一小问直接提取前11位数字，分别计算奇数位和、偶数位和，再按算法求p、q，最终得到校验码；
(2) 第二小问设污损数字为x，代入算法得到含x的表达式，结合校验码的条件（q为10的整数倍），通过个位数字特征求解x；
(3) 第三小问设相同数字为a，代入算法得到含a的表达式，结合q为10的整数倍且a为0~9的自然数，确定a的值。
【解析】
(1) 前11位数字为0,4,2,2,0,2,2,0,1,3,3，
奇数位和：$m=0+2+0+2+1+3=8$，
偶数位和：$n=4+2+2+0+3=11$，
$p=3m+n=3×8+11=35$，
不小于35的最小10的倍数$q=40$，
校验码：$q-p=40-35=5$；
(2) 设污损数字为x，前11位数字为0,4,2,2,0,2,5,0,x,3,5，
奇数位和：$m=0+2+0+5+x+5=12+x$，
偶数位和：$n=4+2+2+0+3=11$，
$p=3(12+x)+11=47+3x$，
校验码为9，则$q=p+9$，q是10的整数倍，故p的个位为1；
47的个位是7，因此$3x$的个位需为4，0~9中仅$x=8$满足，故$x=8$，班级为08即8班；
(3) 设相同数字为a，前11位数字为0,4,2,2,0,2,4,0,a,0,a，
奇数位和：$m=0+2+0+4+a+a=6+2a$，
偶数位和：$n=4+2+2+0+0=8$，
$p=3(6+2a)+8=26+6a$，
校验码为a，则$q=p+a=26+7a$，q是10的整数倍，a为0~9的自然数；
当$a=2$时，$26+7×2=40$，是10的整数倍，符合要求，故$a=2$。
【答案】
(1) 35，5；
(2) 能，$x=8$，班级为8班；
(3) 2
【知识点】
有理数的混合运算；代数式求值；数字规律应用
【点评】
本题结合实际身份编码场景，考查学生对给定算法的理解与运算能力，需准确区分奇数位、偶数位数字，按步骤推导，逻辑清晰，难度适中，能有效考查学生的运算和推理能力。
【难度系数】
0.6
本题是结合身份识别条形码的校验算法求解的问题，需严格按照题目给定的5个步骤逐步分析：
(1) 第一小问直接提取前11位数字，分别计算奇数位和、偶数位和，再按算法求p、q，最终得到校验码；
(2) 第二小问设污损数字为x，代入算法得到含x的表达式，结合校验码的条件（q为10的整数倍），通过个位数字特征求解x；
(3) 第三小问设相同数字为a，代入算法得到含a的表达式，结合q为10的整数倍且a为0~9的自然数，确定a的值。
【解析】
(1) 前11位数字为0,4,2,2,0,2,2,0,1,3,3，
奇数位和：$m=0+2+0+2+1+3=8$，
偶数位和：$n=4+2+2+0+3=11$，
$p=3m+n=3×8+11=35$，
不小于35的最小10的倍数$q=40$，
校验码：$q-p=40-35=5$；
(2) 设污损数字为x，前11位数字为0,4,2,2,0,2,5,0,x,3,5，
奇数位和：$m=0+2+0+5+x+5=12+x$，
偶数位和：$n=4+2+2+0+3=11$，
$p=3(12+x)+11=47+3x$，
校验码为9，则$q=p+9$，q是10的整数倍，故p的个位为1；
47的个位是7，因此$3x$的个位需为4，0~9中仅$x=8$满足，故$x=8$，班级为08即8班；
(3) 设相同数字为a，前11位数字为0,4,2,2,0,2,4,0,a,0,a，
奇数位和：$m=0+2+0+4+a+a=6+2a$，
偶数位和：$n=4+2+2+0+0=8$，
$p=3(6+2a)+8=26+6a$，
校验码为a，则$q=p+a=26+7a$，q是10的整数倍，a为0~9的自然数；
当$a=2$时，$26+7×2=40$，是10的整数倍，符合要求，故$a=2$。
【答案】
(1) 35，5；
(2) 能，$x=8$，班级为8班；
(3) 2
【知识点】
有理数的混合运算；代数式求值；数字规律应用
【点评】
本题结合实际身份编码场景，考查学生对给定算法的理解与运算能力，需准确区分奇数位、偶数位数字，按步骤推导，逻辑清晰，难度适中，能有效考查学生的运算和推理能力。
【难度系数】
0.6
