1. 角的到角两边相等的点在角的平分线上。

1. 内部 距离

【分析】
本题考查角平分线判定定理的内容，解题时先回忆角平分线的判定定理的完整表述：首先需明确点的位置限定，只有角内部的点才符合该判定的适用范围，角外部的点即使到两边距离相等也不属于角平分线上的点；其次需明确相等的量是点到角两边的距离，即点到直线的垂线段长度，而非任意线段的长度，对应两个空缺的内容即可得出答案。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知第一个空填“内部”，第二个空填“距离”。
【答案】
内部 距离
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对教材基础定理的记忆和细节理解，只要牢记定理的限定条件和核心要素即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 三角形三条角平分线的交点到三角形的距离相等。

2. 三边

【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。首先明确三角形三条角平分线的交点，同时位于三个内角的角平分线上：该点在第一个角的平分线上，可推出到第一个角的两边距离相等；该点在第二个角的平分线上，可推出到第二个角的两边距离相等；通过等量代换即可得出该点到三角形三条边的距离都相等，因此要填的内容是三边。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
三角形三条角平分线的交点同时在三个内角的角平分线上：
1. 该点在∠A的角平分线上，因此到边AB、AC的距离相等；
2. 该点在∠B的角平分线上，因此到边AB、BC的距离相等；
结合上述两个结论，可推出该点到AB、AC、BC三边的距离均相等，因此本题填三边。
【答案】
三边
【知识点】
角平分线的性质；三角形角平分线交点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对角平分线性质的直接应用，熟记相关性质即可快速作答，要注意区分“到边的距离”和“到顶点的距离”的差异，避免混淆概念。
【难度系数】
0.9

1. 两把相同的直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线OA重合，另一把直尺的下边缘与射线OB重合，连接OP并延长。若$∠ BOP = 28°$，则$∠ AOB$的度数为（）。

A.$62°$
B.$56°$
C.$52°$
D.$46°$

1. B

【分析】
解题时先挖掘题目的隐含条件：两把相同直尺的宽度相等，因此点P到∠AOB两边OA、OB的距离相等。结合角平分线的判定定理可知，OP是∠AOB的角平分线，即∠AOB=2∠BOP，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 两把直尺完全相同，
∴ 点P到OA的距离与点P到OB的距离相等（等于直尺的宽度）。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可得OP平分∠AOB，即$∠ AOB = 2∠ BOP$。
已知$∠ BOP=28°$，代入得$∠ AOB=2×28°=56°$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定，角的运算
【点评】
本题结合生活中的直尺摆放考查角平分线的相关知识，解题的关键是准确抓住“相同直尺宽度相等”这一隐含条件，结合角平分线判定定理即可快速求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8

2. 如图14.3 - 15，点P是∠AOB内一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PD=PC，点E在OA上，∠AOB=50°，∠OPE=30°，则∠PEC=（）。

A.$50°$
B.$55°$
C.$45°$
D.$60°$

2. B

【分析】
解题时先从已知条件入手：看到PC⊥OA、PD⊥OB且PD=PC，可联想到角平分线的判定定理，得出OP是∠AOB的角平分线，先算出∠AOP的度数；再观察∠PEC的位置，它是△OPE的外角，结合三角形外角的性质即可求出∠PEC的度数。
【解析】
解：
∵PC⊥OA，PD⊥OB，且PD=PC
∴OP平分∠AOB（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
∵∠AOB=50°
∴∠AOP=$\frac{1}{2}$∠AOB=25°
∵∠PEC是△OPE的外角
∴根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得
∠PEC=∠AOP+∠OPE
将∠AOP=25°，∠OPE=30°代入得：
∠PEC=25°+30°=55°
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定，三角形外角性质
【点评】
本题是角平分线判定和三角形外角性质的基础综合题，解题的关键是先通过距离相等判断出角平分线，再利用外角性质计算角度，思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

3. 如图14.3-16，O是$△ ABC$内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离相等。若$∠ BAC=80°$，则$∠ BOC=$（）。

A.$110°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$

图14.3-16

3. C

【分析】
首先，根据“角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，由O到△ABC三边距离相等，可判断O是△ABC三个内角的角平分线的交点。接下来我们可以先利用三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再结合角平分线的性质得到∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵ 点O到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等，
∴ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
∴ $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ BAC=80°$，
∴ $∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° - 80° = 100°$，
∴ $∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×100° = 50°$。
在△OBC中，
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 50° = 130°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线性质与三角形内角和的综合基础题，解题的核心是先根据点到三边距离相等判断出该点是三角形三条角平分线的交点，再逐步推导角度，是角平分线章节的常考题型。
【难度系数】
0.8

4. 如图14.3 - 17，PM ⊥ OA，PN ⊥ OB，垂足分别为M，N，PM = PN。若∠BOC = 30°，则∠AOB=。 图14.3 - 17

4. 60°

【分析】
解题时先观察已知条件：点P到∠AOB两边OA、OB的垂线段PM、PN长度相等，首先联想到角平分线的判定定理，可判断出OC是∠AOB的角平分线，再结合已知的∠BOC度数，利用角平分线的定义即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN，
∴根据角平分线的判定定理，可得OP平分∠AOB，即∠AOC=∠BOC，
∵已知∠BOC=30°，
∴∠AOB=∠AOC + ∠BOC = 2∠BOC = 2×30°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
角平分线的判定、角平分线的定义
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是熟练掌握角平分线的判定定理，能根据点到角两边的距离相等判断出该点在角的平分线上，再结合角平分线的定义计算角度即可。
【难度系数】
0.8

5. 如图14.3-18，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE=CF. 求证：AD平分∠BAC.

证明：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD. 又
∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠BED=∠CFD=90°. 在Rt△BDE与Rt△CDF中，$\begin{cases}BD=CD,\\BE=CF,\end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE = DF. 又 DF ⊥ AC，DE ⊥ AB，
∴AD 平分∠BAC

【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可知只需证明点D到AB的距离DE与到AC的距离DF相等即可。已知AD是△ABC的中线，可得BD=CD；结合DE⊥AB、DF⊥AC，BE=CF的条件，可通过HL判定Rt△BDE与Rt△CDF全等，从而得到DE=DF，最终推导出结论。
【解析】
证明：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠BED=∠CFD=90°。
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
$\begin{cases}BD=CD\\BE=CF\end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE = DF。
又
∵DF ⊥ AC，DE ⊥ AB，
∴AD 平分∠BAC。
【答案】
AD平分∠BAC，证明过程如上。
【知识点】
三角形中线的定义；直角三角形全等的判定；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础证明题，核心考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是先利用中线性质和HL定理证明直角三角形全等，得到点到角两边的距离相等，进而结合判定定理得出结论，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8