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6. 如图14.3-19，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足。求证：PM=PN.
答案
证明：
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠ABD = ∠CBD. 在△ABD 和△CBD 中，$\begin{cases}AB=CB,\\∠ABD=∠CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBD（SAS）.
∴∠ADB=∠CDB.
∴∠ADP=∠CDP，即 DP 平分∠ADC.
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠ABD = ∠CBD. 在△ABD 和△CBD 中，$\begin{cases}AB=CB,\\∠ABD=∠CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBD（SAS）.
∴∠ADB=∠CDB.
∴∠ADP=∠CDP，即 DP 平分∠ADC.
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN
解析
【分析】
要证明PM=PN，可结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明点P在∠ADC的角平分线上，即DP平分∠ADC。要证DP平分∠ADC，需推得∠ADB=∠CDB，可通过证明△ABD和△CBD全等实现。已知BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠CBD，又已知AB=BC，且BD是两个三角形的公共边，满足SAS全等判定的条件，因此先证三角形全等，再推导角相等得到角平分线，最后利用角平分线的性质即可得证。
【解析】
证明：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB=CB,\\∠ABD=∠CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，即∠ADP=∠CDP，
∴DP平分∠ADC。
∵PM⊥AD，PN⊥CD，点P在DP上，
∴PM=PN。
【答案】
PM=PN
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的SAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，将全等三角形的证明与角平分线的性质结合考查，解题的关键是先通过已知条件证明三角形全等得到等角，进而得到角平分线，再利用角平分线的性质证明线段相等，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明PM=PN，可结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明点P在∠ADC的角平分线上，即DP平分∠ADC。要证DP平分∠ADC，需推得∠ADB=∠CDB，可通过证明△ABD和△CBD全等实现。已知BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠CBD，又已知AB=BC，且BD是两个三角形的公共边，满足SAS全等判定的条件，因此先证三角形全等，再推导角相等得到角平分线，最后利用角平分线的性质即可得证。
【解析】
证明：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases}AB=CB,\\∠ABD=∠CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，即∠ADP=∠CDP，
∴DP平分∠ADC。
∵PM⊥AD，PN⊥CD，点P在DP上，
∴PM=PN。
【答案】
PM=PN
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的SAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，将全等三角形的证明与角平分线的性质结合考查，解题的关键是先通过已知条件证明三角形全等得到等角，进而得到角平分线，再利用角平分线的性质证明线段相等，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
7. 如图14.3-20，在$△ ABC$中，$AB=AC$，在$△ ADE$中，$AD=AE$，且$∠ BAC=∠ DAE$，连接$BD$，$CE$交于点$F$，连接$AF$.
（1）求证：$△ ABD≌△ ACE$.
（2）求证：$FA$平分$∠ BFE$.
图14.3-20
（1）求证：$△ ABD≌△ ACE$.
（2）求证：$FA$平分$∠ BFE$.
图14.3-20
答案
7. 证明：（1）
∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC +∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中，$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS）
（2）如答图11
，作AM⊥BD于点M，作AN⊥CE于点N.∵△ABD≌△ACE，
∴BD = CE，$S_{△ABD}=S_{△ACE}$，
∴$\frac{1}{2}· BD· AM=\frac{1}{2}· CE· AN$.
∴AM=AN，
∴点A在∠BFE 的平分线上，
∴FA 平分∠BFE
解析
【分析】
（1）要证明△ABD≌△ACE，已知AB=AC、AD=AE，只需证两组对应边的夹角相等即可。已知∠BAC=∠DAE，两个角同时加上公共角∠CAD，即可得到∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定的条件。
（2）要证明FA平分∠BFE，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此考虑过A作BD、CE的垂线段AM、AN，只需证AM=AN。结合（1）的全等结论，可得△ABD和△ACE面积相等、对应边BD=CE，利用三角形面积公式即可推出两条高相等，进而得到结论。
【解析】
（1）证明：
∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，即∠BAD = ∠CAE。
在△ABD 和△ACE 中：
$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
（2）证明：
如答图11，过点A作AM⊥BD于点M，作AN⊥CE于点N。
∵△ABD≌△ACE，
∴BD = CE，$S_{△ABD}=S_{△ACE}$，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}· BD· AM=\frac{1}{2}· CE· AN$，
结合BD=CE，可推出AM=AN。
∵AM⊥BD，AN⊥CE，
∴点A在∠BFE的平分线上，即FA平分∠BFE。
【答案】
7. 证明：（1）
∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC +∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中，$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS）
（2）如答图11，作AM⊥BD于点M，作AN⊥CE于点N.
∵△ABD≌△ACE，
∴BD = CE，$S_{△ABD}=S_{△ACE}$，
∴$\frac{1}{2}· BD· AM=\frac{1}{2}· CE· AN$.
∴AM=AN，
∴点A在∠BFE 的平分线上，
∴FA 平分∠BFE
【知识点】
1. SAS全等判定
2. 全等三角形性质
3. 角平分线的判定
【点评】
本题综合考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，解题关键是合理转化角的关系证明全等，第二问借助面积法推导垂线段相等，体现了辅助线和几何性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
（1）要证明△ABD≌△ACE，已知AB=AC、AD=AE，只需证两组对应边的夹角相等即可。已知∠BAC=∠DAE，两个角同时加上公共角∠CAD，即可得到∠BAD=∠CAE，满足SAS全等判定的条件。
（2）要证明FA平分∠BFE，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此考虑过A作BD、CE的垂线段AM、AN，只需证AM=AN。结合（1）的全等结论，可得△ABD和△ACE面积相等、对应边BD=CE，利用三角形面积公式即可推出两条高相等，进而得到结论。
【解析】
（1）证明：
∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，即∠BAD = ∠CAE。
在△ABD 和△ACE 中：
$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
（2）证明：
如答图11
，过点A作AM⊥BD于点M，作AN⊥CE于点N。∵△ABD≌△ACE，
∴BD = CE，$S_{△ABD}=S_{△ACE}$，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}· BD· AM=\frac{1}{2}· CE· AN$，
结合BD=CE，可推出AM=AN。
∵AM⊥BD，AN⊥CE，
∴点A在∠BFE的平分线上，即FA平分∠BFE。
【答案】
7. 证明：（1）
∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠BAC +∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中，$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS）
（2）如答图11
，作AM⊥BD于点M，作AN⊥CE于点N.∵△ABD≌△ACE，
∴BD = CE，$S_{△ABD}=S_{△ACE}$，
∴$\frac{1}{2}· BD· AM=\frac{1}{2}· CE· AN$.
∴AM=AN，
∴点A在∠BFE 的平分线上，
∴FA 平分∠BFE
【知识点】
1. SAS全等判定
2. 全等三角形性质
3. 角平分线的判定
【点评】
本题综合考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，解题关键是合理转化角的关系证明全等，第二问借助面积法推导垂线段相等，体现了辅助线和几何性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
8. 如图14.3-21，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8. B 提示：设点O到BC的距离为x.
∵O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为24，周长为24，
∴$\frac{1}{2}×24x=24$，解得x=2.
∴点O到BC的距离为2. 故选B
∵O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为24，周长为24，
∴$\frac{1}{2}×24x=24$，解得x=2.
∴点O到BC的距离为2. 故选B
解析
【分析】
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。O是△ABC三条角平分线的交点，因此O到△ABC三边的距离都相等，我们可设这个距离为x。接下来利用面积关系求解：△ABC的面积等于分别以AB、BC、AC为底，x为高的三个小三角形△OAB、△OBC、△OAC的面积之和，三个小三角形的底相加就是△ABC的周长，代入已知的周长和面积数值列方程，即可求出x的值，也就是点O到BC的距离。
【解析】
设点O到BC的距离为x。
∵O是△ABC的角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到△ABC三边AB、BC、AC的距离相等，均为x。
∴△ABC的面积可表示为三个小三角形的面积和：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}\\&=\frac{1}{2}× AB× x+\frac{1}{2}× BC× x+\frac{1}{2}× AC× x\\&=\frac{1}{2}×(AB+BC+AC)× x\end{aligned}$
已知△ABC的周长$AB+BC+AC=24$，面积$S_{△ ABC}=24$，代入得：
$\frac{1}{2}×24× x=24$
化简得$12x=24$，解得$x=2$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是抓住角平分线交点到三边距离相等的特点，通过割补法将大三角形面积转化为三个同高小三角形的面积和，结合周长条件即可快速求解，能有效考查学生对性质的灵活运用能力和转化思想。
【难度系数】
0.7
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。O是△ABC三条角平分线的交点，因此O到△ABC三边的距离都相等，我们可设这个距离为x。接下来利用面积关系求解：△ABC的面积等于分别以AB、BC、AC为底，x为高的三个小三角形△OAB、△OBC、△OAC的面积之和，三个小三角形的底相加就是△ABC的周长，代入已知的周长和面积数值列方程，即可求出x的值，也就是点O到BC的距离。
【解析】
设点O到BC的距离为x。
∵O是△ABC的角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到△ABC三边AB、BC、AC的距离相等，均为x。
∴△ABC的面积可表示为三个小三角形的面积和：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}\\&=\frac{1}{2}× AB× x+\frac{1}{2}× BC× x+\frac{1}{2}× AC× x\\&=\frac{1}{2}×(AB+BC+AC)× x\end{aligned}$
已知△ABC的周长$AB+BC+AC=24$，面积$S_{△ ABC}=24$，代入得：
$\frac{1}{2}×24× x=24$
化简得$12x=24$，解得$x=2$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是抓住角平分线交点到三边距离相等的特点，通过割补法将大三角形面积转化为三个同高小三角形的面积和，结合周长条件即可快速求解，能有效考查学生对性质的灵活运用能力和转化思想。
【难度系数】
0.7
9. 小明想用尺宽为5 cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在∠AOB中，将尺边QM与边OB重合，沿尺边PE画直线l（如图14.3-22）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点M落在直线l上，且尺边PE经过点O，尺边EN交边OA于点F（如图14.3-23），读取点E，F对应的刻度分别为5 cm，10 cm. 已知NM⊥QM，∠AOB＝66°，则∠EOB＝
44°
.答案
9. 44°
解析
【分析】
本题需要先从操作步骤中转化出几何关系：首先步骤1画出的直线l与OB平行，平行线间距等于尺宽5cm；步骤2中直角尺的直角边互相垂直，可得∠OEF=90°，结合刻度差算出EF长度为5cm。再通过距离相等推出角的倍数关系，最后利用角的和差列方程求解即可。
【解析】
解：
1. 由操作步骤1可知，直角尺的对边平行，QM与OB重合，故画出的直线$ l // OB $，且$ l $与OB的距离等于尺宽，为$ 5\ \mathrm{cm} $。
2. 步骤2中，直角尺的夹角为直角，故两条直角边$ PE ⊥ EN $，即$ ∠ OEF = 90° $。读取E、F的刻度可得$ EF = 10\ \mathrm{cm} - 5\ \mathrm{cm} = 5\ \mathrm{cm} $。
3. 点F在直线$ l $上，因此F到OB的距离等于$ l $与OB的间距$ 5\ \mathrm{cm} $；又$ EF ⊥ OE $，故F到OE的距离等于EF的长度$ 5\ \mathrm{cm} $。
4. 根据角平分线的判定定理：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知OA平分$ ∠ EOl $，又因为$ l // OB $，内错角相等得$ ∠ EOl = ∠ EOB $，因此$ ∠ AOE = \frac{1}{2}∠ EOB $。
5. 已知$ ∠ AOB = ∠ AOE + ∠ EOB = 66° $，代入得$ \frac{1}{2}∠ EOB + ∠ EOB = 66° $，解得$ ∠ EOB = 44° $。
【答案】
$ 44° $
【知识点】
平行线的性质；角平分线的判定；角的和差计算
【点评】
本题结合实际操作考查几何知识的应用，解题关键是将操作步骤转化为对应的几何位置关系和数量关系，侧重考查学生的转化能力和对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.6
本题需要先从操作步骤中转化出几何关系：首先步骤1画出的直线l与OB平行，平行线间距等于尺宽5cm；步骤2中直角尺的直角边互相垂直，可得∠OEF=90°，结合刻度差算出EF长度为5cm。再通过距离相等推出角的倍数关系，最后利用角的和差列方程求解即可。
【解析】
解：
1. 由操作步骤1可知，直角尺的对边平行，QM与OB重合，故画出的直线$ l // OB $，且$ l $与OB的距离等于尺宽，为$ 5\ \mathrm{cm} $。
2. 步骤2中，直角尺的夹角为直角，故两条直角边$ PE ⊥ EN $，即$ ∠ OEF = 90° $。读取E、F的刻度可得$ EF = 10\ \mathrm{cm} - 5\ \mathrm{cm} = 5\ \mathrm{cm} $。
3. 点F在直线$ l $上，因此F到OB的距离等于$ l $与OB的间距$ 5\ \mathrm{cm} $；又$ EF ⊥ OE $，故F到OE的距离等于EF的长度$ 5\ \mathrm{cm} $。
4. 根据角平分线的判定定理：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知OA平分$ ∠ EOl $，又因为$ l // OB $，内错角相等得$ ∠ EOl = ∠ EOB $，因此$ ∠ AOE = \frac{1}{2}∠ EOB $。
5. 已知$ ∠ AOB = ∠ AOE + ∠ EOB = 66° $，代入得$ \frac{1}{2}∠ EOB + ∠ EOB = 66° $，解得$ ∠ EOB = 44° $。
【答案】
$ 44° $
【知识点】
平行线的性质；角平分线的判定；角的和差计算
【点评】
本题结合实际操作考查几何知识的应用，解题关键是将操作步骤转化为对应的几何位置关系和数量关系，侧重考查学生的转化能力和对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图14.3-24，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，且DE=DF，∠B=50°，∠C=85°，则∠ADE的度数为
67.5°
。答案
10. 67.5°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，说明DE⊥AB、DF⊥AC，再结合DE=DF，根据角平分线的判定定理可推出AD平分∠BAC；接着利用三角形内角和定理算出∠BAC的度数，即可得到∠BAD的度数；最后在直角△ADE中，利用直角三角形两锐角互余的性质就能求出∠ADE的度数。
【解析】
1. 判定AD为角平分线：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，
根据“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，可得AD平分∠BAC，即$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$。
2. 计算∠BAC的度数：
在△ABC中，三角形内角和为180°，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-85°=45°$，
则$∠ BAD=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
3. 计算∠ADE的度数：
∵DE⊥AB，
∴$∠ AED=90°$，
在Rt△ADE中，两个锐角互余，
∴$∠ ADE=90°-∠ BAD=90°-22.5°=67.5°$。
【答案】
$67.5°$
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心是先通过线段相等推导角平分线，再结合三角形内角和、直角三角形的性质计算角度，解题思路清晰，是角度计算类的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，说明DE⊥AB、DF⊥AC，再结合DE=DF，根据角平分线的判定定理可推出AD平分∠BAC；接着利用三角形内角和定理算出∠BAC的度数，即可得到∠BAD的度数；最后在直角△ADE中，利用直角三角形两锐角互余的性质就能求出∠ADE的度数。
【解析】
1. 判定AD为角平分线：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，
根据“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，可得AD平分∠BAC，即$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$。
2. 计算∠BAC的度数：
在△ABC中，三角形内角和为180°，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-85°=45°$，
则$∠ BAD=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
3. 计算∠ADE的度数：
∵DE⊥AB，
∴$∠ AED=90°$，
在Rt△ADE中，两个锐角互余，
∴$∠ ADE=90°-∠ BAD=90°-22.5°=67.5°$。
【答案】
$67.5°$
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心是先通过线段相等推导角平分线，再结合三角形内角和、直角三角形的性质计算角度，解题思路清晰，是角度计算类的典型题型。
【难度系数】
0.7
