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4. 如图14.3-5，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（
A.15
B.7.5
C.8
D.9
B
）。A.15
B.7.5
C.8
D.9
答案
4. B
解析
【分析】
要求△BCD的面积，已知底BC=5，只需先求出BC边上的高即可。结合已知BD平分∠ABC，∠A=90°，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作BC的垂线，该垂线段的长度等于AD的长度，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点D作DE⊥BC，垂足为E。
∵BD平分∠ABC，∠A=90°（即AD⊥AB），DE⊥BC，
∴根据角平分线的性质，可得DE=AD=3。
已知BC=5，根据三角形面积公式：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × DE = \frac{1}{2} × 5 × 3 = 7.5$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质将未知的三角形的高转化为已知线段AD的长度，考查了对基础性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
要求△BCD的面积，已知底BC=5，只需先求出BC边上的高即可。结合已知BD平分∠ABC，∠A=90°，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作BC的垂线，该垂线段的长度等于AD的长度，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点D作DE⊥BC，垂足为E。
∵BD平分∠ABC，∠A=90°（即AD⊥AB），DE⊥BC，
∴根据角平分线的性质，可得DE=AD=3。
已知BC=5，根据三角形面积公式：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × DE = \frac{1}{2} × 5 × 3 = 7.5$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质将未知的三角形的高转化为已知线段AD的长度，考查了对基础性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图
，AD//BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E。若PE=3，则点P到AD与BC的距离之和为（
A.3
B.4
C.5
D.6
，AD//BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E。若PE=3，则点P到AD与BC的距离之和为（D
）。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
5. D
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。我们可以过点P分别向AD、BC作垂线，构造出点P到两条直线的距离，再结合AP是∠BAD的角平分线、BP是∠ABC的角平分线，分别求出两个距离的长度，相加即可得到结果。
【解析】
过点P作PF⊥AD于点F，PG⊥BC于点G。
∵AP平分∠BAD，PE⊥AB，PF⊥AD，
∴根据角平分线的性质，PF = PE = 3。
∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PG⊥BC，
∴根据角平分线的性质，PG = PE = 3。
又
∵AD//BC，PF⊥AD，
∴PF⊥BC，结合PG⊥BC可知F、P、G三点共线，
∴点P到AD与BC的距离之和为PF + PG = 3 + 3 = 6。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用类题目，解题的关键是合理作辅助线，利用角平分线的性质将未知的距离转化为已知的PE的长度，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。我们可以过点P分别向AD、BC作垂线，构造出点P到两条直线的距离，再结合AP是∠BAD的角平分线、BP是∠ABC的角平分线，分别求出两个距离的长度，相加即可得到结果。
【解析】
过点P作PF⊥AD于点F，PG⊥BC于点G。
∵AP平分∠BAD，PE⊥AB，PF⊥AD，
∴根据角平分线的性质，PF = PE = 3。
∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PG⊥BC，
∴根据角平分线的性质，PG = PE = 3。
又
∵AD//BC，PF⊥AD，
∴PF⊥BC，结合PG⊥BC可知F、P、G三点共线，
∴点P到AD与BC的距离之和为PF + PG = 3 + 3 = 6。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用类题目，解题的关键是合理作辅助线，利用角平分线的性质将未知的距离转化为已知的PE的长度，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图14.3 - 7，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD是△ABC的角平分线，BD=5，则点D到边AC的距离为
5
。答案
6. 5
解析
【分析】
本题可根据角平分线的性质求解。首先明确：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD是∠BAC的角平分线，点D在AD上，∠B=90°说明DB垂直AB，即D到AB边的距离为BD的长度，要求点D到AC的距离，根据角平分线性质可知这两个距离相等，即可得出结果。
【解析】
过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE的长就是点D到AC的距离。
∵∠B=90°，
∴DB⊥AB。
∵AD是△ABC的角平分线，且DB⊥AB，DE⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得DE=BD。
已知BD=5，因此DE=5，即点D到边AC的距离为5。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的性质，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线性质的直接应用，解题关键是准确识别角平分线上的点到角两边的对应距离，无需复杂计算即可得到答案。
【难度系数】
0.85
本题可根据角平分线的性质求解。首先明确：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD是∠BAC的角平分线，点D在AD上，∠B=90°说明DB垂直AB，即D到AB边的距离为BD的长度，要求点D到AC的距离，根据角平分线性质可知这两个距离相等，即可得出结果。
【解析】
过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE的长就是点D到AC的距离。
∵∠B=90°，
∴DB⊥AB。
∵AD是△ABC的角平分线，且DB⊥AB，DE⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得DE=BD。
已知BD=5，因此DE=5，即点D到边AC的距离为5。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的性质，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线性质的直接应用，解题关键是准确识别角平分线上的点到角两边的对应距离，无需复杂计算即可得到答案。
【难度系数】
0.85
7. 如图14.3-8，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等.（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）
图14.3-8
图14.3-8
答案
提示：画∠AOB的平分线，与MN相交，交点即为P
解析
【分析】
要找到符合要求的点P，需同时满足两个条件：①点P在直线MN上；②点P到射线OA、OB的距离相等。首先根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知满足第二个条件的所有点都在∠AOB的平分线上，因此只需作出∠AOB的平分线，该平分线与直线MN的交点就同时满足两个条件，即为所求的点P。
【解析】
利用尺规作图作出∠AOB的角平分线，所作角平分线与直线MN的交点就是要求作的点P，作图过程保留尺规作图的痕迹即可。
【答案】
作∠AOB的平分线，与MN相交，交点即为所求的点P（作图痕迹略）
【知识点】
角平分线的判定；尺规作角平分线
【点评】
本题属于基础作图类题目，主要考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是明确到角两边距离相等的点在角的平分线上，再结合点需在直线MN上的要求，找两条线的交点即可得到所求点。
【难度系数】
0.9
要找到符合要求的点P，需同时满足两个条件：①点P在直线MN上；②点P到射线OA、OB的距离相等。首先根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知满足第二个条件的所有点都在∠AOB的平分线上，因此只需作出∠AOB的平分线，该平分线与直线MN的交点就同时满足两个条件，即为所求的点P。
【解析】
利用尺规作图作出∠AOB的角平分线，所作角平分线与直线MN的交点就是要求作的点P，作图过程保留尺规作图的痕迹即可。
【答案】
作∠AOB的平分线，与MN相交，交点即为所求的点P（作图痕迹略）
【知识点】
角平分线的判定；尺规作角平分线
【点评】
本题属于基础作图类题目，主要考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是明确到角两边距离相等的点在角的平分线上，再结合点需在直线MN上的要求，找两条线的交点即可得到所求点。
【难度系数】
0.9
8. 如图14.3-9，AD//BC，∠D=90°，∠CPB=30°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点D，P，C在同一条直线上。
（1）求∠PAD的度数。
（2）求证：P是线段CD的中点。
（1）求∠PAD的度数。
（2）求证：P是线段CD的中点。
答案
8. （1）∠PAD=30°
（2）证明：如答图9
，过点P作PE⊥AB于点E.∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE=PD.
∵AD//BC，∠D=90°，
∴BC⊥PC.
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PC.
∴PD=PC，
∴P是线段CD的中点
解析
【分析】
（1）求解∠PAD的度数可按如下思路推导：首先根据平行线的性质，由AD//BC、∠D=90°可得∠C=90°；结合∠CPB=30°，利用直角三角形两锐角互余求出∠PBC的度数；再根据BP是∠CBA的平分线，算出∠ABC的度数；接着利用平行线同旁内角互补的性质求出∠DAB的度数；最后由AP是∠DAB的平分线，即可求出∠PAD的度数。
（2）要证明P是CD的中点，本质是证明PD=PC。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可过P作PE⊥AB于E，可得PD=PE、PC=PE，通过等量代换得到PD=PC，即可证明结论。
【解析】
（1）解：
∵AD//BC，∠D=90°，
∴∠C=180°-∠D=90°，
在Rt△CPB中，∠CPB=30°，
∴∠PBC=90°-∠CPB=60°，
∵BP平分∠CBA，
∴∠ABC=2∠PBC=60°，
∵AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠DAB=180°-60°=120°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠PAD=$\frac{1}{2}$∠DAB=$\frac{1}{2}$×120°=30°。
（2）证明：
如答图9，过点P作PE⊥AB于点E。
∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵AD//BC，∠D=90°，
∴∠C=90°，即BC⊥PC。
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴PD=PC，
∴P是线段CD的中点。
【答案】
（1）∠PAD=30°
（2）证明：如答图9，过点P作PE⊥AB于点E.
∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE=PD.
∵AD//BC，∠D=90°，
∴BC⊥PC.
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PC.
∴PD=PC，
∴P是线段CD的中点
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是角平分线章节的典型综合题，重点考查角平分线性质、平行线性质的结合应用，解题的核心是通过作辅助线，利用角平分线的性质实现线段的等量转化，有助于巩固几何基础推导能力。
【难度系数】
0.7
（1）求解∠PAD的度数可按如下思路推导：首先根据平行线的性质，由AD//BC、∠D=90°可得∠C=90°；结合∠CPB=30°，利用直角三角形两锐角互余求出∠PBC的度数；再根据BP是∠CBA的平分线，算出∠ABC的度数；接着利用平行线同旁内角互补的性质求出∠DAB的度数；最后由AP是∠DAB的平分线，即可求出∠PAD的度数。
（2）要证明P是CD的中点，本质是证明PD=PC。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可过P作PE⊥AB于E，可得PD=PE、PC=PE，通过等量代换得到PD=PC，即可证明结论。
【解析】
（1）解：
∵AD//BC，∠D=90°，
∴∠C=180°-∠D=90°，
在Rt△CPB中，∠CPB=30°，
∴∠PBC=90°-∠CPB=60°，
∵BP平分∠CBA，
∴∠ABC=2∠PBC=60°，
∵AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠DAB=180°-60°=120°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠PAD=$\frac{1}{2}$∠DAB=$\frac{1}{2}$×120°=30°。
（2）证明：
如答图9
，过点P作PE⊥AB于点E。∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵AD//BC，∠D=90°，
∴∠C=90°，即BC⊥PC。
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴PD=PC，
∴P是线段CD的中点。
【答案】
（1）∠PAD=30°
（2）证明：如答图9
，过点P作PE⊥AB于点E.∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE=PD.
∵AD//BC，∠D=90°，
∴BC⊥PC.
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PC.
∴PD=PC，
∴P是线段CD的中点
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是角平分线章节的典型综合题，重点考查角平分线性质、平行线性质的结合应用，解题的核心是通过作辅助线，利用角平分线的性质实现线段的等量转化，有助于巩固几何基础推导能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图14.3-10，AD是$△ ABC$的角平分线，$DF ⊥ AB$，垂足为$F$，且$DE=DG$，则$∠ AED+∠ AGD$的和是（
A.$180°$
B.$200°$
C.$210°$
D.$240°$
A
）。A.$180°$
B.$200°$
C.$210°$
D.$240°$
答案
9. A 提示：如答图10
，过点D作DH⊥AC于点H.∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH. 在Rt△DFE和Rt△DHG中，$\begin{cases}DE=DG,\\DF=DH,\end{cases}$
∴Rt△DFE ≌ Rt△DHG（HL）.
∴∠DEF = ∠DGH.
∵∠AED +∠DEF = 180°，
∴∠AED +∠AGD = 180°. 故选A
解析
【分析】
首先结合已知条件梳理思路：题目给出AD是△ABC的角平分线，且DF⊥AB，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可以过点D作AC边上的高DH，得到DF=DH；再结合已知DE=DG，可利用HL判定两个直角三角形全等，得到对应角相等，最后通过邻补角的关系对角度进行转化，即可求出∠AED+∠AGD的和。
【解析】
如答图10，过点D作DH⊥AC于点H。
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△DFE和Rt△DHG中，$\begin{cases}DE=DG,\\DF=DH,\end{cases}$
∴Rt△DFE ≌ Rt△DHG（HL），
∴∠DEF = ∠DGH。
∵∠AED +∠DEF = 180°（邻补角的和为180°），且∠DGH=∠AGD，
∴∠AED +∠AGD = 180°。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合应用题，通过构造辅助线得到相等的垂线段，进而证明三角形全等实现角的转化是解题的关键，要求熟练掌握相关性质和判定定理，学会合理构造辅助线解决几何问题。
【难度系数】
0.7
首先结合已知条件梳理思路：题目给出AD是△ABC的角平分线，且DF⊥AB，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可以过点D作AC边上的高DH，得到DF=DH；再结合已知DE=DG，可利用HL判定两个直角三角形全等，得到对应角相等，最后通过邻补角的关系对角度进行转化，即可求出∠AED+∠AGD的和。
【解析】
如答图10
，过点D作DH⊥AC于点H。∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△DFE和Rt△DHG中，$\begin{cases}DE=DG,\\DF=DH,\end{cases}$
∴Rt△DFE ≌ Rt△DHG（HL），
∴∠DEF = ∠DGH。
∵∠AED +∠DEF = 180°（邻补角的和为180°），且∠DGH=∠AGD，
∴∠AED +∠AGD = 180°。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合应用题，通过构造辅助线得到相等的垂线段，进而证明三角形全等实现角的转化是解题的关键，要求熟练掌握相关性质和判定定理，学会合理构造辅助线解决几何问题。
【难度系数】
0.7
10. 如图14.3-11，在纸上画有$∠ AOB$，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点$P$在$∠ AOB$的平分线上，则（
A.$d_1$与$d_2$一定相等
B.$d_1$与$d_2$一定不相等
C.$l_1$与$l_2$一定相等
D.$l_1$与$l_2$一定不相等
A
）。A.$d_1$与$d_2$一定相等
B.$d_1$与$d_2$一定不相等
C.$l_1$与$l_2$一定相等
D.$l_1$与$l_2$一定不相等
答案
10. A
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先识别图中各量的含义：d₁是点P到∠AOB的边OB的垂线段长度，也就是P到OB的距离；d₂是点P到∠AOB的边OA的垂线段长度，也就是P到OA的距离。已知P在∠AOB的平分线上，结合性质即可判断d₁和d₂的关系；而l₁、l₂不是点到角两边的垂线段，不满足角平分线性质的适用条件，无法确定其等量关系。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
由题意得：d₁是点P到OB的距离，d₂是点P到OA的距离，且点P在∠AOB的平分线上，因此d₁=d₂，故A选项正确，B选项错误；
l₁、l₂不属于点P到角两边的垂线段，没有相应的定理可以证明它们一定相等或一定不相等，因此C、D选项错误。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题重点考查角平分线性质的应用，解题的关键是明确“距离”是指点到直线的垂线段的长度，不要将普通线段的长度和距离混淆，只有垂线段才满足角平分线上的点到两边距离相等的性质。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先识别图中各量的含义：d₁是点P到∠AOB的边OB的垂线段长度，也就是P到OB的距离；d₂是点P到∠AOB的边OA的垂线段长度，也就是P到OA的距离。已知P在∠AOB的平分线上，结合性质即可判断d₁和d₂的关系；而l₁、l₂不是点到角两边的垂线段，不满足角平分线性质的适用条件，无法确定其等量关系。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
由题意得：d₁是点P到OB的距离，d₂是点P到OA的距离，且点P在∠AOB的平分线上，因此d₁=d₂，故A选项正确，B选项错误；
l₁、l₂不属于点P到角两边的垂线段，没有相应的定理可以证明它们一定相等或一定不相等，因此C、D选项错误。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题重点考查角平分线性质的应用，解题的关键是明确“距离”是指点到直线的垂线段的长度，不要将普通线段的长度和距离混淆，只有垂线段才满足角平分线上的点到两边距离相等的性质。
【难度系数】
0.8
