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1. 角的平分线上的点到角两边的距离
2. 证明几何命题的一般步骤：①明确题中的已知和求证；②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；③经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
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相等
.2. 证明几何命题的一般步骤：①明确题中的已知和求证；②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；③经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
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答案
1. 相等
解析
【分析】
本题包含两部分内容，第1问是角平分线基础性质的直接识记类考查，解题时只需回忆教材中角平分线的性质定理内容就能快速得出答案；第2问是几何命题证明的常规步骤梳理，掌握该步骤能帮助我们规范后续几何证明的书写逻辑，避免解题步骤混乱。
【解析】
1. 根据角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等，因此此处应填“相等”。
2. 给出的几何命题证明步骤为规范流程，按要求识记即可。
【答案】
1. 相等
【知识点】
角平分线的性质；几何证明规范步骤
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对教材基础定理和规范流程的记忆情况，熟练掌握这类基础内容，是后续解决角平分线相关综合性几何题的必要前提。
【难度系数】
0.9
本题包含两部分内容，第1问是角平分线基础性质的直接识记类考查，解题时只需回忆教材中角平分线的性质定理内容就能快速得出答案；第2问是几何命题证明的常规步骤梳理，掌握该步骤能帮助我们规范后续几何证明的书写逻辑，避免解题步骤混乱。
【解析】
1. 根据角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等，因此此处应填“相等”。
2. 给出的几何命题证明步骤为规范流程，按要求识记即可。
【答案】
1. 相等
【知识点】
角平分线的性质；几何证明规范步骤
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对教材基础定理和规范流程的记忆情况，熟练掌握这类基础内容，是后续解决角平分线相关综合性几何题的必要前提。
【难度系数】
0.9
例 如图14.3-1，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是84 cm²，AB=15 cm，AC=13 cm，求DE的长。
解 ∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF。
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD
=$\frac{1}{2}$AB·DE+$\frac{1}{2}$AC·DF，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$(AB+AC)·DE，
即$\frac{1}{2}$·(15+13)·DE=84，
解得DE=6。
∴DE=6 cm。
方法感悟 运用角平分线的性质时，书写过程中两个垂直条件容易疏漏。
解 ∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF。
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD
=$\frac{1}{2}$AB·DE+$\frac{1}{2}$AC·DF，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$(AB+AC)·DE，
即$\frac{1}{2}$·(15+13)·DE=84，
解得DE=6。
∴DE=6 cm。
方法感悟 运用角平分线的性质时，书写过程中两个垂直条件容易疏漏。
答案
解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+AC)· DE$，
即$\frac{1}{2}×(15+13)· DE=84$，
解得$DE=6$。
∴DE的长为6 cm。
∴DE=DF。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+AC)· DE$，
即$\frac{1}{2}×(15+13)· DE=84$，
解得$DE=6$。
∴DE的长为6 cm。
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB、DF⊥AC，首先联想到角平分线的性质，可推出DE=DF；其次△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，两个小三角形的底分别是AB、AC，高分别是DE、DF，结合DE=DF的结论，就可以把面积公式转化为只含DE的等式，最后代入已知的面积、AB和AC的数值，解方程即可求出DE的长度。
【解析】
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+AC)· DE$，
将$S_{△ABC}=84\mathrm{cm}^2$，$AB=15\mathrm{cm}$，$AC=13\mathrm{cm}$代入得：
$\frac{1}{2}×(15+13)· DE=84$，
解得$DE=6$。
【答案】
DE的长为6 cm
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算、等面积法
【点评】
本题重点考查角平分线性质的应用，结合等面积法将整体面积拆分为两个小三角形面积和建立等式求解，解题时需注意应用角平分线性质时不能遗漏两个垂直的前提条件，代入数值计算时要保证运算准确。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB、DF⊥AC，首先联想到角平分线的性质，可推出DE=DF；其次△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，两个小三角形的底分别是AB、AC，高分别是DE、DF，结合DE=DF的结论，就可以把面积公式转化为只含DE的等式，最后代入已知的面积、AB和AC的数值，解方程即可求出DE的长度。
【解析】
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}(AB+AC)· DE$，
将$S_{△ABC}=84\mathrm{cm}^2$，$AB=15\mathrm{cm}$，$AC=13\mathrm{cm}$代入得：
$\frac{1}{2}×(15+13)· DE=84$，
解得$DE=6$。
【答案】
DE的长为6 cm
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算、等面积法
【点评】
本题重点考查角平分线性质的应用，结合等面积法将整体面积拆分为两个小三角形面积和建立等式求解，解题时需注意应用角平分线性质时不能遗漏两个垂直的前提条件，代入数值计算时要保证运算准确。
【难度系数】
0.7
1. 如图14.3-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DC=4 cm，则DE等于（
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
C
）。A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先梳理题目已知条件：AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC垂直于AC，DE垂直于AB。回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中点D在角平分线AD上，DC是点D到AC的距离，DE是点D到AB的距离，由此可推出二者相等，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=DC，
又
∵DC=4 cm，
∴DE=4 cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用类题目，准确识别角平分线、以及角平分线上的点到角两边的垂线段即可快速解题，熟记相关性质是得分的关键。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理题目已知条件：AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC垂直于AC，DE垂直于AB。回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中点D在角平分线AD上，DC是点D到AC的距离，DE是点D到AB的距离，由此可推出二者相等，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=DC，
又
∵DC=4 cm，
∴DE=4 cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用类题目，准确识别角平分线、以及角平分线上的点到角两边的垂线段即可快速解题，熟记相关性质是得分的关键。
【难度系数】
0.9
2. 如图14.3-3，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，用尺规作出射线$AE$，$AE$交$BC$于点$D$，$CD=2$，$P$为$AB$上一动点，则$PD$的最小值为（
A.2
B.3
C.4
D.无法确定
A
）。A.2
B.3
C.4
D.无法确定
答案
2. A
解析
【分析】
首先通过尺规作图痕迹可判断射线AE是∠BAC的角平分线；要得到AB上动点P到D的最小距离，根据“垂线段最短”，可知当DP垂直于AB时，PD的长度最小；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求出PD的最小值。
【解析】
1. 由尺规作图的痕迹可得，AE为∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC。
2. 点P是AB上的动点，根据垂线段最短的性质，当DP⊥AB时，PD的长度取最小值。
3. 已知∠C=90°，即DC⊥AC，又AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此此时PD=CD。
4. 已知CD=2，故PD的最小值为2。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短，尺规作角平分线
【点评】
本题考查了角平分线的作图识别、垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是先明确AE的性质，再确定PD取最小值的情况，结合相关性质即可得出结果，是几何基础类的常考题。
【难度系数】
0.8
首先通过尺规作图痕迹可判断射线AE是∠BAC的角平分线；要得到AB上动点P到D的最小距离，根据“垂线段最短”，可知当DP垂直于AB时，PD的长度最小；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求出PD的最小值。
【解析】
1. 由尺规作图的痕迹可得，AE为∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC。
2. 点P是AB上的动点，根据垂线段最短的性质，当DP⊥AB时，PD的长度取最小值。
3. 已知∠C=90°，即DC⊥AC，又AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此此时PD=CD。
4. 已知CD=2，故PD的最小值为2。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短，尺规作角平分线
【点评】
本题考查了角平分线的作图识别、垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是先明确AE的性质，再确定PD取最小值的情况，结合相关性质即可得出结果，是几何基础类的常考题。
【难度系数】
0.8
3. 如图
，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC。若DE=2，AC=4，则△ADC的面积是（
A.4
B.6
C.8
D.10
，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC。若DE=2，AC=4，则△ADC的面积是（A
）。A.4
B.6
C.8
D.10
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质，已知AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB、DF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DF的长度等于DE的长度；再利用三角形的面积公式，以AC为底，DF为AC边上的高，代入数值计算即可得到△ADC的面积。
【解析】
解：
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，可得$DF = DE = 2$，
又
∵$AC=4$，DF是△ADC中AC边上的高，
∴$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×AC×DF=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，找到三角形对应底边上的高，再结合面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的性质，已知AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB、DF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DF的长度等于DE的长度；再利用三角形的面积公式，以AC为底，DF为AC边上的高，代入数值计算即可得到△ADC的面积。
【解析】
解：
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，可得$DF = DE = 2$，
又
∵$AC=4$，DF是△ADC中AC边上的高，
∴$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×AC×DF=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，找到三角形对应底边上的高，再结合面积公式计算即可。
【难度系数】
0.8
