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5. 如图14.2 - 54，已知B，C，E三点在同一条直线上，AC = CD，∠B = ∠E = 90°，AB = CE，则下列结论不正确的是（
A.∠A + ∠D = 90°
B.∠A = ∠2
C.△ABC≌△CED
D.∠1 = ∠2
D
）。A.∠A + ∠D = 90°
B.∠A = ∠2
C.△ABC≌△CED
D.∠1 = ∠2
答案
5. D
解析
【分析】
解题时先观察已知条件，题目给出两个含直角的三角形，且已知斜边和一组直角边对应相等，首先考虑用HL判定两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余的性质，逐一判断各个选项是否正确，注意题目要求选出不正确的结论。
【解析】
解：
∵∠B=∠E=90°，
∴△ABC和△CED都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△CED中，
$\{\begin{array}{l}AC=CD\\ AB=CE\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL），故C选项正确，不符合题意；
由全等三角形对应角相等，可得∠A=∠2，∠1=∠D，故B选项正确，不符合题意；
在Rt△ABC中，∠A+∠1=90°，
将∠1替换为∠D，可得∠A+∠D=90°，故A选项正确，不符合题意；
∵∠A+∠1=90°，且∠A=∠2，
∴∠1+∠2=90°，无法推出∠1=∠2，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，核心是先证明三角形全等得到角的等量关系，再结合直角三角形的角的性质推导角的数量关系，做题时要注意审题，明确题目要求选错误结论，避免因粗心选错。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件，题目给出两个含直角的三角形，且已知斜边和一组直角边对应相等，首先考虑用HL判定两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余的性质，逐一判断各个选项是否正确，注意题目要求选出不正确的结论。
【解析】
解：
∵∠B=∠E=90°，
∴△ABC和△CED都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△CED中，
$\{\begin{array}{l}AC=CD\\ AB=CE\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL），故C选项正确，不符合题意；
由全等三角形对应角相等，可得∠A=∠2，∠1=∠D，故B选项正确，不符合题意；
在Rt△ABC中，∠A+∠1=90°，
将∠1替换为∠D，可得∠A+∠D=90°，故A选项正确，不符合题意；
∵∠A+∠1=90°，且∠A=∠2，
∴∠1+∠2=90°，无法推出∠1=∠2，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，核心是先证明三角形全等得到角的等量关系，再结合直角三角形的角的性质推导角的数量关系，做题时要注意审题，明确题目要求选错误结论，避免因粗心选错。
【难度系数】
0.7
6. 如图14.2-55，在△ABC和△DFE中，∠A=∠D=90°，AC=DE，若要用“HL”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：
BC=FE（或BE=CF）
。答案
6. BC=FE（或BE=CF）
解析
【分析】
首先回忆直角三角形全等的HL判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。本题中已知两个三角形都是直角三角形，且已有一组直角边AC=DE，若用HL证明全等，还缺少斜边相等的条件。可以直接补充斜边相等，也可以补充能推导出斜边相等的条件：若BE=CF，根据BE+EC=BC、CF+EC=FE，可推出BC=FE，同样满足HL的要求。
【解析】
“HL”判定定理的内容为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
已知△ABC和△DFE均为直角三角形，且直角边AC=DE：
1. 若补充条件$\boldsymbol{BC=FE}$，则两个直角三角形的斜边相等，且已有一组直角边相等，可直接用HL证明$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DFE$；
2. 若补充条件$\boldsymbol{BE=CF}$，因为$BC=BE+EC$，$FE=CF+EC$，所以$BC=FE$，同样满足HL的判定条件，可证明全等。
因此可补充的条件为BC=FE（或BE=CF）。
【答案】
BC=FE（或BE=CF）
【知识点】
1. HL全等判定
2. 线段和差性质
【点评】
本题考查HL判定定理的应用，解题的关键是明确HL仅适用于直角三角形，需要同时满足一组直角边相等和斜边相等的条件，同时要注意可通过线段和差间接得到斜边相等的情况，对判定定理的理解和灵活运用是解题核心。
【难度系数】
0.8
首先回忆直角三角形全等的HL判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。本题中已知两个三角形都是直角三角形，且已有一组直角边AC=DE，若用HL证明全等，还缺少斜边相等的条件。可以直接补充斜边相等，也可以补充能推导出斜边相等的条件：若BE=CF，根据BE+EC=BC、CF+EC=FE，可推出BC=FE，同样满足HL的要求。
【解析】
“HL”判定定理的内容为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
已知△ABC和△DFE均为直角三角形，且直角边AC=DE：
1. 若补充条件$\boldsymbol{BC=FE}$，则两个直角三角形的斜边相等，且已有一组直角边相等，可直接用HL证明$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DFE$；
2. 若补充条件$\boldsymbol{BE=CF}$，因为$BC=BE+EC$，$FE=CF+EC$，所以$BC=FE$，同样满足HL的判定条件，可证明全等。
因此可补充的条件为BC=FE（或BE=CF）。
【答案】
BC=FE（或BE=CF）
【知识点】
1. HL全等判定
2. 线段和差性质
【点评】
本题考查HL判定定理的应用，解题的关键是明确HL仅适用于直角三角形，需要同时满足一组直角边相等和斜边相等的条件，同时要注意可通过线段和差间接得到斜边相等的情况，对判定定理的理解和灵活运用是解题核心。
【难度系数】
0.8
7. 如图14.2 - 56，$∠ B = ∠ D = 90°$，$BC=CD$，$∠ 1=40°$. 求$∠ 2$的度数. 
答案
$∠2=50°$
解析
【分析】
要求∠2的度数，可先证明含∠2的直角三角形与已知角所在的直角三角形全等，利用全等性质转化角度再计算。首先观察到△ABC和△ADC都是直角三角形，有公共斜边AC，且直角边BC=CD，可通过HL判定两三角形全等，得到∠2与∠ACB相等，再在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余求出∠ACB的度数，即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵∠B=∠D=90°，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AC=AC\quad(\mathrm{公共边})\\BC=DC\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）。
∴∠2=∠ACB（全等三角形的对应角相等）。
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠1=40°，
∴∠ACB=90°-∠1=90°-40°=50°，
∴∠2=50°。
【答案】
$∠2=50°$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是利用公共边作为隐含条件证明直角三角形全等，实现未知角与已知角的转化，结合直角三角形两锐角互余的性质即可求解，考查学生对基础定理的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.8
要求∠2的度数，可先证明含∠2的直角三角形与已知角所在的直角三角形全等，利用全等性质转化角度再计算。首先观察到△ABC和△ADC都是直角三角形，有公共斜边AC，且直角边BC=CD，可通过HL判定两三角形全等，得到∠2与∠ACB相等，再在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余求出∠ACB的度数，即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵∠B=∠D=90°，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AC=AC\quad(\mathrm{公共边})\\BC=DC\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）。
∴∠2=∠ACB（全等三角形的对应角相等）。
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠1=40°，
∴∠ACB=90°-∠1=90°-40°=50°，
∴∠2=50°。
【答案】
$∠2=50°$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是利用公共边作为隐含条件证明直角三角形全等，实现未知角与已知角的转化，结合直角三角形两锐角互余的性质即可求解，考查学生对基础定理的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.8
8. 如图14.2-57，有两个长度相同的滑梯（即$BC=EF$），左边滑梯的高度$AC$与右边滑梯水平方向的长度$DF$相等，则$∠ ABC+∠ DFE=$
90°
。答案
8. 90°
解析
【分析】
首先观察图形可知，△ABC和△DEF都是直角三角形，已知斜边BC=EF，直角边AC=DF，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，再结合直角三角形两锐角互余的性质，对角度进行等量代换即可求出两个角的和。
【解析】
解：由题意得 $AC⊥ AB$，$ED⊥ DF$，因此 $∠ BAC=∠ EDF=90°$，$△ ABC$ 和 $△ DEF$ 均为直角三角形。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中：
$\begin{cases}BC=EF \\AC=DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ DEF \ (\mathrm{HL})$
$\therefore ∠ ABC=∠ DEF$
又 $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中，$∠ DEF+∠ DFE=90°$
$\therefore ∠ ABC+∠ DFE=90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何基础题，解题关键是先挖掘图形中隐含的垂直条件，确定两个三角形为直角三角形，再利用已知的边相等关系证明全等，最后结合直角三角形的内角性质完成角度代换即可得到结果。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知，△ABC和△DEF都是直角三角形，已知斜边BC=EF，直角边AC=DF，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，再结合直角三角形两锐角互余的性质，对角度进行等量代换即可求出两个角的和。
【解析】
解：由题意得 $AC⊥ AB$，$ED⊥ DF$，因此 $∠ BAC=∠ EDF=90°$，$△ ABC$ 和 $△ DEF$ 均为直角三角形。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中：
$\begin{cases}BC=EF \\AC=DF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌ \mathrm{Rt}△ DEF \ (\mathrm{HL})$
$\therefore ∠ ABC=∠ DEF$
又 $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中，$∠ DEF+∠ DFE=90°$
$\therefore ∠ ABC+∠ DFE=90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何基础题，解题关键是先挖掘图形中隐含的垂直条件，确定两个三角形为直角三角形，再利用已知的边相等关系证明全等，最后结合直角三角形的内角性质完成角度代换即可得到结果。
【难度系数】
0.7
9. 如图14.2-58，$AB=AC$，$CD ⊥ AB$于点D，$BE ⊥ AC$于点E，BE与CD相交于点O。
（1）求证：$AD=AE$。
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的位置关系并说明理由。
（1）求证：$AD=AE$。
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的位置关系并说明理由。
答案
（1）证明：$\because CD⊥AB$，$BE⊥AC$，$\therefore ∠ADC=∠AEB=90°$。在$△ADC$和$△AEB$中，
$\begin{cases} ∠ADC=∠AEB, \\ ∠CAD=∠BAE, \\ AC=AB, \end{cases}$
$\therefore △ADC≌△AEB$（AAS）。$\therefore AD=AE$
（2）直线$OA⊥BC$且平分$BC$。理由如下：如答图8，连接$BC$，$AO$，并延长$AO$交$BC$于点$F$。在$\mathrm{Rt}△ADO$和$\mathrm{Rt}△AEO$中，$OA=OA$，$AD=AE$，$\therefore \mathrm{Rt}△ADO≌\mathrm{Rt}△AEO$（HL）。$\therefore ∠DAO=∠EAO$，即$OA$是$∠BAC$的平分线。又$\because AB=AC$，可证$△ABF≌△ACF$（SAS），$\therefore OA⊥BC$且平分$BC$ [图8]
$\begin{cases} ∠ADC=∠AEB, \\ ∠CAD=∠BAE, \\ AC=AB, \end{cases}$
$\therefore △ADC≌△AEB$（AAS）。$\therefore AD=AE$
（2）直线$OA⊥BC$且平分$BC$。理由如下：如答图8，连接$BC$，$AO$，并延长$AO$交$BC$于点$F$。在$\mathrm{Rt}△ADO$和$\mathrm{Rt}△AEO$中，$OA=OA$，$AD=AE$，$\therefore \mathrm{Rt}△ADO≌\mathrm{Rt}△AEO$（HL）。$\therefore ∠DAO=∠EAO$，即$OA$是$∠BAC$的平分线。又$\because AB=AC$，可证$△ABF≌△ACF$（SAS），$\therefore OA⊥BC$且平分$BC$ [图8]
解析
【分析】
（1）要证明$AD=AE$，可通过证明两条线段所在的$△ ADC$和$△ AEB$全等推导。首先由垂直的定义可得两个三角形对应直角相等，再结合公共角$∠ CAD=∠ BAE$，已知$AB=AC$，满足AAS全等判定条件，证得三角形全等后即可得到对应边$AD=AE$。
（2）判断$OA$与$BC$的位置关系，可结合等腰三角形“三线合一”的性质分析：只需先证明$OA$是$∠ BAC$的角平分线即可。利用第一问得到的$AD=AE$，结合公共边$OA=OA$，用HL证明$\mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO$，即可得到$OA$平分$∠ BAC$，再结合$AB=AC$的等腰三角形性质，就能推出$OA$与$BC$的位置关系。
【解析】
（1）证明：$\because CD⊥ AB$，$BE⊥ AC$，$\therefore ∠ ADC=∠ AEB=90°$。
在$△ ADC$和$△ AEB$中：
$\begin{cases} ∠ ADC=∠ AEB \\ ∠ CAD=∠ BAE \\ AC=AB \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ AEB$（AAS），
$\therefore AD=AE$。
（2）直线$OA⊥ BC$且平分$BC$，理由如下：
连接$BC$、$AO$，并延长$AO$交$BC$于点$F$。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中：
$\begin{cases} OA=OA \\ AD=AE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO$（HL），
$\therefore ∠ DAO=∠ EAO$，即$OA$是$∠ BAC$的平分线。
又$\because AB=AC$，
在$△ ABF$和$△ ACF$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠ BAF=∠ CAF \\ AF=AF \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ ACF$（SAS），
$\therefore BF=CF$，$∠ AFB=∠ AFC=90°$，
$\therefore OA⊥ BC$且平分$BC$。
【答案】
（1）$AD=AE$，证明如上；
（2）$OA⊥ BC$且平分$BC$，理由如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等和等腰三角形性质的综合基础题，解题核心是结合图形找准对应全等三角形，灵活选择全等判定方法，同时可借助等腰三角形三线合一的性质简化推导过程。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$AD=AE$，可通过证明两条线段所在的$△ ADC$和$△ AEB$全等推导。首先由垂直的定义可得两个三角形对应直角相等，再结合公共角$∠ CAD=∠ BAE$，已知$AB=AC$，满足AAS全等判定条件，证得三角形全等后即可得到对应边$AD=AE$。
（2）判断$OA$与$BC$的位置关系，可结合等腰三角形“三线合一”的性质分析：只需先证明$OA$是$∠ BAC$的角平分线即可。利用第一问得到的$AD=AE$，结合公共边$OA=OA$，用HL证明$\mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO$，即可得到$OA$平分$∠ BAC$，再结合$AB=AC$的等腰三角形性质，就能推出$OA$与$BC$的位置关系。
【解析】
（1）证明：$\because CD⊥ AB$，$BE⊥ AC$，$\therefore ∠ ADC=∠ AEB=90°$。
在$△ ADC$和$△ AEB$中：
$\begin{cases} ∠ ADC=∠ AEB \\ ∠ CAD=∠ BAE \\ AC=AB \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ AEB$（AAS），
$\therefore AD=AE$。
（2）直线$OA⊥ BC$且平分$BC$，理由如下：
连接$BC$、$AO$，并延长$AO$交$BC$于点$F$。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中：
$\begin{cases} OA=OA \\ AD=AE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO$（HL），
$\therefore ∠ DAO=∠ EAO$，即$OA$是$∠ BAC$的平分线。
又$\because AB=AC$，
在$△ ABF$和$△ ACF$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠ BAF=∠ CAF \\ AF=AF \end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ ACF$（SAS），
$\therefore BF=CF$，$∠ AFB=∠ AFC=90°$，
$\therefore OA⊥ BC$且平分$BC$。
【答案】
（1）$AD=AE$，证明如上；
（2）$OA⊥ BC$且平分$BC$，理由如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等和等腰三角形性质的综合基础题，解题核心是结合图形找准对应全等三角形，灵活选择全等判定方法，同时可借助等腰三角形三线合一的性质简化推导过程。
【难度系数】
0.7
10. 在如图14.2-59所示的房屋“人”字梁架中，$AB=AC$，点D在BC上，下列条件不能说明$AD⊥ BC$的是（
A.$∠ ADB=∠ ADC$
B.$∠ B=∠ C$
C.$BD=CD$
D.$AD$平分$∠ BAC$
B
）.A.$∠ ADB=∠ ADC$
B.$∠ B=∠ C$
C.$BD=CD$
D.$AD$平分$∠ BAC$
答案
10. B
解析
【分析】
首先已知AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，要判断哪个条件不能推出AD⊥BC，可结合等腰三角形“三线合一”的性质，或通过证明△ABD与△ACD全等得到∠ADB=∠ADC=90°，逐个分析选项即可。
【解析】
已知AB=AC，即△ABC为等腰三角形，AD为公共边：
A选项：∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，因此∠ADB=∠ADC=90°，可直接推出AD⊥BC，不符合题意；
B选项：∠B=∠C是等腰三角形AB=AC自带的性质，该条件无法证明△ABD≌△ACD，也无法推出AD与BC的垂直关系，符合题意；
C选项：BD=CD，结合AB=AC、AD=AD，可通过SSS判定△ABD≌△ACD，得∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC；也可直接用等腰三角形三线合一，底边上的中线就是底边上的高，不符合题意；
D选项：AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，结合AB=AC、AD=AD，可通过SAS判定△ABD≌△ACD，得∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC；也可直接用等腰三角形三线合一，顶角的角平分线就是底边上的高，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定，垂直的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形三线合一的应用以及全等三角形的判定，解题时要注意等腰三角形本身就具备两底角相等的性质，该条件无法额外推出线的垂直关系，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先已知AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，要判断哪个条件不能推出AD⊥BC，可结合等腰三角形“三线合一”的性质，或通过证明△ABD与△ACD全等得到∠ADB=∠ADC=90°，逐个分析选项即可。
【解析】
已知AB=AC，即△ABC为等腰三角形，AD为公共边：
A选项：∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，因此∠ADB=∠ADC=90°，可直接推出AD⊥BC，不符合题意；
B选项：∠B=∠C是等腰三角形AB=AC自带的性质，该条件无法证明△ABD≌△ACD，也无法推出AD与BC的垂直关系，符合题意；
C选项：BD=CD，结合AB=AC、AD=AD，可通过SSS判定△ABD≌△ACD，得∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC；也可直接用等腰三角形三线合一，底边上的中线就是底边上的高，不符合题意；
D选项：AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，结合AB=AC、AD=AD，可通过SAS判定△ABD≌△ACD，得∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC；也可直接用等腰三角形三线合一，顶角的角平分线就是底边上的高，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形判定，垂直的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形三线合一的应用以及全等三角形的判定，解题时要注意等腰三角形本身就具备两底角相等的性质，该条件无法额外推出线的垂直关系，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
