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平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形
相似
。答案
相似
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆相似三角形的相关判定定理，题目给出的条件是“平行于三角形一边的直线与其他两边相交”，首先结合平行线的性质推导两个三角形的角的关系：平行线截得的同位角相等，加上两个三角形共有的公共角，可得两个三角形的三组对应角分别相等，再结合相似三角形的判定依据，就能得出两个三角形的关系。
【解析】
设原三角形为△ABC，直线DE平行于BC，分别交AB、AC于点D、E。
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠A是△ADE和△ABC的公共角，
∴ △ADE与△ABC的三个角分别对应相等，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ADE∽△ABC，即截得的三角形与原三角形相似。
【答案】
相似
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对相似三角形判定预备定理的识记和理解，牢记相关定理即可直接得出结论。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先回忆相似三角形的相关判定定理，题目给出的条件是“平行于三角形一边的直线与其他两边相交”，首先结合平行线的性质推导两个三角形的角的关系：平行线截得的同位角相等，加上两个三角形共有的公共角，可得两个三角形的三组对应角分别相等，再结合相似三角形的判定依据，就能得出两个三角形的关系。
【解析】
设原三角形为△ABC，直线DE平行于BC，分别交AB、AC于点D、E。
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠A是△ADE和△ABC的公共角，
∴ △ADE与△ABC的三个角分别对应相等，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ADE∽△ABC，即截得的三角形与原三角形相似。
【答案】
相似
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对相似三角形判定预备定理的识记和理解，牢记相关定理即可直接得出结论。
【难度系数】
0.9
【例】(2025 广州一模)如图,在△ABC 中,已知D,E分别是AB,AC的中点,求证:△ADE∽△ABC.
答案
证明:
∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE//BC,
∴△ADE∽△ABC.
∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE//BC,
∴△ADE∽△ABC.
解析
【分析】
首先从已知条件入手梳理思路：已知D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，由中点可判断DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线性质可推出DE平行于BC；再结合相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，可得DE//BC，
根据平行判定相似的定理，可推出△ADE∽△ABC。
【答案】
证明:
∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE//BC,
∴△ADE∽△ABC.
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是几何证明的基础题型，核心考查基础定理的直接应用，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
首先从已知条件入手梳理思路：已知D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，由中点可判断DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线性质可推出DE平行于BC；再结合相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，可得DE//BC，
根据平行判定相似的定理，可推出△ADE∽△ABC。
【答案】
证明:
∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE//BC,
∴△ADE∽△ABC.
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是几何证明的基础题型，核心考查基础定理的直接应用，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
【变式】如图,在$△ ABC$中,若$EF// BC$,$\frac{AE}{BE}=\frac{2}{3}$,$EF=4$,则$BC$的长为 (
A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$
C
)A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，已知$EF// BC$，可联想到相似三角形的判定定理，证明$△ AEF$与$△ ABC$相似；要求$BC$的长度，已知$EF$的长度，只需要求出两个相似三角形的相似比即可；根据给出的$\frac{AE}{BE}=\frac{2}{3}$，可推出$AE$与$AB$的比值即为相似比，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，即可求解$BC$的长度。
【解析】
解：
∵$EF// BC$，
∴$∠ AEF=∠ B$，$∠ AFE=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∴$△ AEF ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：$\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}$。
∵$\frac{AE}{BE}=\frac{2}{3}$，设$AE=2k$，$BE=3k$（$k≠0$），则$AB=AE+BE=2k+3k=5k$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$。
将$EF=4$，$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$代入比例式得：$\frac{4}{BC}=\frac{2}{5}$，
解得：$BC=\frac{4×5}{2}=10$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的计算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查相似三角形的判定与性质的应用，解题的关键是根据平行线得到相似三角形，准确计算相似比，再代入已知边求解未知边，注意要找准相似三角形的对应边，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，已知$EF// BC$，可联想到相似三角形的判定定理，证明$△ AEF$与$△ ABC$相似；要求$BC$的长度，已知$EF$的长度，只需要求出两个相似三角形的相似比即可；根据给出的$\frac{AE}{BE}=\frac{2}{3}$，可推出$AE$与$AB$的比值即为相似比，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，即可求解$BC$的长度。
【解析】
解：
∵$EF// BC$，
∴$∠ AEF=∠ B$，$∠ AFE=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
∴$△ AEF ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：$\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}$。
∵$\frac{AE}{BE}=\frac{2}{3}$，设$AE=2k$，$BE=3k$（$k≠0$），则$AB=AE+BE=2k+3k=5k$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{2k}{5k}=\frac{2}{5}$。
将$EF=4$，$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$代入比例式得：$\frac{4}{BC}=\frac{2}{5}$，
解得：$BC=\frac{4×5}{2}=10$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的计算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查相似三角形的判定与性质的应用，解题的关键是根据平行线得到相似三角形，准确计算相似比，再代入已知边求解未知边，注意要找准相似三角形的对应边，避免对应关系出错。
【难度系数】
0.8
1. 如图，在$△ ABC$中，$EF// AB$，$EG// AC$，$D$为$BG$上一点，连接$DE$，下列判断正确的是（
A.$△ BDE∽△ BAC$
B.$△ CFE∽△ CAB$
C.$△ BDE∽△ BGE$
D.以上都正确
B
）A.$△ BDE∽△ BAC$
B.$△ CFE∽△ CAB$
C.$△ BDE∽△ BGE$
D.以上都正确
答案
1. B
解析
【分析】
这道题考查相似三角形的判定，解题时我们结合已知的平行条件，依据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”这一判定定理，逐个分析每个选项是否满足相似条件即可，注意不能自行添加题目未给出的条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：若$△ BDE ∽ △ BAC$，需要满足$DE// AC$，但题目仅说明$D$是$BG$上一点，未给出$DE$与$AC$平行的相关条件，无法证明两三角形相似，故A错误。
2. 分析选项B：已知$EF// AB$，在$△ CAB$中，直线$EF$平行于边$AB$，且分别与$CA$、$CB$两边交于点$F$、$E$，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得$△ CFE ∽ △ CAB$，故B正确。
3. 分析选项C：$△ BDE$和$△ BGE$仅有公共角$∠ B$，没有其他对应角相等或对应边成比例的条件，无法判定两三角形相似，故C错误。
由以上分析可知D选项“以上都正确”也错误。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题时要注意结合题目给出的已知条件推导，不要自行添加题目未说明的平行等条件，熟练掌握相似三角形的基础判定定理就能快速解题。
【难度系数】
0.7
这道题考查相似三角形的判定，解题时我们结合已知的平行条件，依据“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”这一判定定理，逐个分析每个选项是否满足相似条件即可，注意不能自行添加题目未给出的条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：若$△ BDE ∽ △ BAC$，需要满足$DE// AC$，但题目仅说明$D$是$BG$上一点，未给出$DE$与$AC$平行的相关条件，无法证明两三角形相似，故A错误。
2. 分析选项B：已知$EF// AB$，在$△ CAB$中，直线$EF$平行于边$AB$，且分别与$CA$、$CB$两边交于点$F$、$E$，根据相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得$△ CFE ∽ △ CAB$，故B正确。
3. 分析选项C：$△ BDE$和$△ BGE$仅有公共角$∠ B$，没有其他对应角相等或对应边成比例的条件，无法判定两三角形相似，故C错误。
由以上分析可知D选项“以上都正确”也错误。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题时要注意结合题目给出的已知条件推导，不要自行添加题目未说明的平行等条件，熟练掌握相似三角形的基础判定定理就能快速解题。
【难度系数】
0.7
2.如图，△ABC中，DE//AB，DE与AC，BC的交点分别为D，E，若$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，则$\frac{DE}{AB}$等于
（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
（
B
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
答案
2. B
解析
【分析】
首先观察到DE//AB，可根据平行线的性质得到同位角相等，进而判定△CDE与△CAB相似；再结合已知的CD与AD的比例关系，推导得出CD与AC的比值；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出DE与AB的比值。
【解析】
解：
∵DE//AB，
∴∠CDE=∠A，∠CED=∠B（两直线平行，同位角相等），
∴△CDE∽△CAB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{AC}$。
∵$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，即AD=2CD，
∴AC=CD+AD=CD+2CD=3CD，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{CD}{3CD}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题关键是利用平行线判定三角形相似，再通过线段比例的转换得到对应边的比值，做题时要注意区分线段的比例关系，避免将CD与AD的比直接错当成CD与AC的比。
【难度系数】
0.7
首先观察到DE//AB，可根据平行线的性质得到同位角相等，进而判定△CDE与△CAB相似；再结合已知的CD与AD的比例关系，推导得出CD与AC的比值；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出DE与AB的比值。
【解析】
解：
∵DE//AB，
∴∠CDE=∠A，∠CED=∠B（两直线平行，同位角相等），
∴△CDE∽△CAB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{AC}$。
∵$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，即AD=2CD，
∴AC=CD+AD=CD+2CD=3CD，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{CD}{3CD}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题关键是利用平行线判定三角形相似，再通过线段比例的转换得到对应边的比值，做题时要注意区分线段的比例关系，避免将CD与AD的比直接错当成CD与AC的比。
【难度系数】
0.7
3. (2025宜昌期中)如图，A,B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是 (
A.$AB=24$ m
B.$MN // AB$
C.$CM:CA=1:2$
D.$△ CMN ∽ △ CBA$
D
)A.$AB=24$ m
B.$MN // AB$
C.$CM:CA=1:2$
D.$△ CMN ∽ △ CBA$
答案
3. D
解析
【分析】
首先观察图形，M、N分别是AC、BC的中点，可判断MN是△ABC的中位线，结合三角形中位线的性质逐一判断选项A、B、C；再根据相似三角形的判定判断两个三角形是否相似，同时注意相似三角形表示时对应顶点需对齐，即可找到错误选项。
【解析】
∵M是AC的中点，N是BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$MN// AB$，$MN=\frac{1}{2}AB$，故B选项描述正确；
已知$MN=12\mathrm{m}$，代入得$AB=2MN=2×12=24\mathrm{m}$，故A选项描述正确；
∵M是AC中点，
∴$CM=\frac{1}{2}CA$，即$CM:CA=1:2$，故C选项描述正确；
在△CMN和△CAB中，$\frac{CM}{CA}=\frac{CN}{CB}=\frac{1}{2}$，且∠C是公共角，
∴△CMN∽△CAB（对应顶点为C对应C，M对应A，N对应B），选项D中相似的对应顶点顺序错误，描述错误。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合实际测量距离的场景考查几何基础知识点，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，同时要注意表示相似三角形时，对应顶点的字母必须写在对应的位置上，避免因对应关系判断错误失分。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，M、N分别是AC、BC的中点，可判断MN是△ABC的中位线，结合三角形中位线的性质逐一判断选项A、B、C；再根据相似三角形的判定判断两个三角形是否相似，同时注意相似三角形表示时对应顶点需对齐，即可找到错误选项。
【解析】
∵M是AC的中点，N是BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$MN// AB$，$MN=\frac{1}{2}AB$，故B选项描述正确；
已知$MN=12\mathrm{m}$，代入得$AB=2MN=2×12=24\mathrm{m}$，故A选项描述正确；
∵M是AC中点，
∴$CM=\frac{1}{2}CA$，即$CM:CA=1:2$，故C选项描述正确；
在△CMN和△CAB中，$\frac{CM}{CA}=\frac{CN}{CB}=\frac{1}{2}$，且∠C是公共角，
∴△CMN∽△CAB（对应顶点为C对应C，M对应A，N对应B），选项D中相似的对应顶点顺序错误，描述错误。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合实际测量距离的场景考查几何基础知识点，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，同时要注意表示相似三角形时，对应顶点的字母必须写在对应的位置上，避免因对应关系判断错误失分。
【难度系数】
0.7
