登录
8.【数学应用】一根铁丝的长为$5a+4b$，剪下一部分围成一个长为$2a$、宽为$b$的长方形，则这根铁丝剩下的长为
a+2b
。答案
8. $a+2b$
解析
【分析】
要计算剩余铁丝长度，核心思路是“剩余长度=铁丝总长度-围成长方形用掉的长度”。首先明确围长方形用掉的铁丝长度就是长方形的周长，先根据长方形周长公式算出用掉的长度，再用总长度减去用掉的长度，最后通过去括号、合并同类项化简即可得到结果。
【解析】
1. 计算围成长方形用去的铁丝长度（即长方形周长）：
长方形周长公式为$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，代入长$2a$、宽$b$可得：
$2×(2a + b)=4a + 2b$
2. 计算剩余铁丝长度：
剩余长度 = 总长度 - 用去的长度，代入代数式得：
$\begin{aligned}&(5a + 4b)-(4a + 2b)\\=&5a + 4b - 4a - 2b\\=&(5a-4a)+(4b-2b)\\=&a + 2b\end{aligned}$
【答案】
$a+2b$
【知识点】
长方形周长计算，整式的加减运算，合并同类项
【点评】
本题是代数运算结合几何周长公式的基础应用题，解题关键是先准确求出用掉的铁丝长度，作差计算时要注意去括号的符号规则，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
要计算剩余铁丝长度，核心思路是“剩余长度=铁丝总长度-围成长方形用掉的长度”。首先明确围长方形用掉的铁丝长度就是长方形的周长，先根据长方形周长公式算出用掉的长度，再用总长度减去用掉的长度，最后通过去括号、合并同类项化简即可得到结果。
【解析】
1. 计算围成长方形用去的铁丝长度（即长方形周长）：
长方形周长公式为$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，代入长$2a$、宽$b$可得：
$2×(2a + b)=4a + 2b$
2. 计算剩余铁丝长度：
剩余长度 = 总长度 - 用去的长度，代入代数式得：
$\begin{aligned}&(5a + 4b)-(4a + 2b)\\=&5a + 4b - 4a - 2b\\=&(5a-4a)+(4b-2b)\\=&a + 2b\end{aligned}$
【答案】
$a+2b$
【知识点】
长方形周长计算，整式的加减运算，合并同类项
【点评】
本题是代数运算结合几何周长公式的基础应用题，解题关键是先准确求出用掉的铁丝长度，作差计算时要注意去括号的符号规则，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
9.定义一种新运算:$a * b=3a-2b$,则$(2x+y)*(3x-2y)=$
7y
。答案
9. $7y$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路分三步：第一步先明确新运算“*”的运算规则：$a*b$等于3乘第一个运算数减去2乘第二个运算数；第二步确定所求式子中对应$a$、$b$的代数式，这里$a$是$(2x+y)$，$b$是$(3x-2y)$；第三步将两个代数式代入运算规则，再通过去括号、合并同类项化简得到结果，注意去括号时要注意符号变化。
【解析】
根据新运算规则$a * b=3a-2b$，可得：
此处$a=2x+y$，$b=3x-2y$，代入运算公式得：
$\begin{aligned}(2x+y)*(3x-2y)&=3(2x+y)-2(3x-2y)\\&=6x+3y-6x+4y\\&=(6x-6x)+(3y+4y)\\&=7y\end{aligned}$
【答案】
$7y$
【知识点】
新定义运算、整式的加减、去括号法则
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解应用能力和整式的运算能力，解题的关键是准确对应新运算中的两个运算量，去括号时注意不要弄错符号，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题思路分三步：第一步先明确新运算“*”的运算规则：$a*b$等于3乘第一个运算数减去2乘第二个运算数；第二步确定所求式子中对应$a$、$b$的代数式，这里$a$是$(2x+y)$，$b$是$(3x-2y)$；第三步将两个代数式代入运算规则，再通过去括号、合并同类项化简得到结果，注意去括号时要注意符号变化。
【解析】
根据新运算规则$a * b=3a-2b$，可得：
此处$a=2x+y$，$b=3x-2y$，代入运算公式得：
$\begin{aligned}(2x+y)*(3x-2y)&=3(2x+y)-2(3x-2y)\\&=6x+3y-6x+4y\\&=(6x-6x)+(3y+4y)\\&=7y\end{aligned}$
【答案】
$7y$
【知识点】
新定义运算、整式的加减、去括号法则
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解应用能力和整式的运算能力，解题的关键是准确对应新运算中的两个运算量，去括号时注意不要弄错符号，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.8
10.已知$ M = x^3 + x^2 + x + 1 $，$ N = x^2 + x $，
计算：
(1)$ 2M - 3N $；
(2)$ 3N - 2M $。
计算：
(1)$ 2M - 3N $；
(2)$ 3N - 2M $。
答案
解:(1)$2M-3N$
$=2(x^3 +x^2 +x +1)-3(x^2 +x)$
$=2x^3 -x^2 -x +2$。
(2)$3N-2M$
$=3(x^2 +x)-2(x^3 +x^2 +x +1)$
$=-2x^3 +x^2 +x -2$。
$=2(x^3 +x^2 +x +1)-3(x^2 +x)$
$=2x^3 -x^2 -x +2$。
(2)$3N-2M$
$=3(x^2 +x)-2(x^3 +x^2 +x +1)$
$=-2x^3 +x^2 +x -2$。
解析
【分析】
这道题是整式加减的基础运算题，解题思路分三步：①整体代入：将M、N对应的多项式完整代入待求式子，代入时要给多项式加括号，避免符号运算出错；②去括号：括号前的系数要乘遍括号内的每一项，同时注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；③合并同类项：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最终化简结果。另外第二问的结果是第一问结果的相反数，可利用这个关系快速验证答案。
【解析】
(1) 计算$2M-3N$：
先将M、N代入式子，得：
$2M-3N=2(x^3 +x^2 +x +1)-3(x^2 +x)$
去括号，把系数乘入括号内每一项：
$=2x^3 + 2x^2 + 2x + 2 - 3x^2 - 3x$
合并同类项：
$=2x^3 -x^2 -x +2$
(2) 计算$3N-2M$：
先将M、N代入式子，得：
$3N-2M=3(x^2 +x)-2(x^3 +x^2 +x +1)$
去括号，把系数乘入括号内每一项：
$=3x^2 + 3x - 2x^3 - 2x^2 - 2x - 2$
合并同类项：
$=-2x^3 +x^2 +x -2$
【答案】
(1) $\boxed{2x^3 -x^2 -x +2}$
(2) $\boxed{-2x^3 +x^2 +x -2}$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查整体代入思想和整式加减的运算规则，易错点是去括号时漏乘系数、符号出错，熟练掌握本题的运算方法能为后续复杂的整式运算、化简求值等题型打好基础。
【难度系数】
0.9
这道题是整式加减的基础运算题，解题思路分三步：①整体代入：将M、N对应的多项式完整代入待求式子，代入时要给多项式加括号，避免符号运算出错；②去括号：括号前的系数要乘遍括号内的每一项，同时注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；③合并同类项：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最终化简结果。另外第二问的结果是第一问结果的相反数，可利用这个关系快速验证答案。
【解析】
(1) 计算$2M-3N$：
先将M、N代入式子，得：
$2M-3N=2(x^3 +x^2 +x +1)-3(x^2 +x)$
去括号，把系数乘入括号内每一项：
$=2x^3 + 2x^2 + 2x + 2 - 3x^2 - 3x$
合并同类项：
$=2x^3 -x^2 -x +2$
(2) 计算$3N-2M$：
先将M、N代入式子，得：
$3N-2M=3(x^2 +x)-2(x^3 +x^2 +x +1)$
去括号，把系数乘入括号内每一项：
$=3x^2 + 3x - 2x^3 - 2x^2 - 2x - 2$
合并同类项：
$=-2x^3 +x^2 +x -2$
【答案】
(1) $\boxed{2x^3 -x^2 -x +2}$
(2) $\boxed{-2x^3 +x^2 +x -2}$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查整体代入思想和整式加减的运算规则，易错点是去括号时漏乘系数、符号出错，熟练掌握本题的运算方法能为后续复杂的整式运算、化简求值等题型打好基础。
【难度系数】
0.9
11. 试说明不论$x$取何值，代数式$(x^3 + 5x^2 + 4x - 3) - (-x^2 + 2x^3 - 3x - 1) + (4 - 7x - 6x^2 + x^3)$的值不变。
答案
解:因为原式$=x^3 +5x^2 +4x -3 +x^2 -2x^3 +3x +1 +4 -7x -6x^2 +x^3=(1-2+1)x^3 +(5+1-6)x^2 +(4+3-7)x +(-3+1+4)=2$,所以不论$x$取何值,代数式$(x^3 + 5x^2 + 4x - 3) - (-x^2 + 2x^3 - 3x - 1) + (4 - 7x - 6x^2 + x^3)$的值不变。
解析
【分析】
要证明代数式的值与x的取值无关，只需将代数式化简，若化简结果为不含x的常数，即可说明无论x取何值，代数式的结果都固定不变。解题时首先按照去括号法则去掉所有括号（注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号），再合并同类项，观察最终化简结果即可得出结论。
【解析】
解：先对原式去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=x^3 + 5x^2 + 4x - 3 + x^2 - 2x^3 + 3x + 1 + 4 - 7x - 6x^2 + x^3\\&=(x^3 - 2x^3 + x^3) + (5x^2 + x^2 - 6x^2) + (4x + 3x - 7x) + (-3 + 1 + 4)\\&=(1-2+1)x^3 + (5+1-6)x^2 + (4+3-7)x + 2\\&=0+0+0+2\\&=2\end{aligned}$
化简后结果为常数2，不含字母x，因此x的取值不会改变代数式的最终结果。
【答案】
不论x取何值，该代数式的值恒为2，值不变。
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，核心考查去括号、合并同类项的运算能力，理解代数式的值与未知数无关的本质是化简后不含该未知数，是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明代数式的值与x的取值无关，只需将代数式化简，若化简结果为不含x的常数，即可说明无论x取何值，代数式的结果都固定不变。解题时首先按照去括号法则去掉所有括号（注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号），再合并同类项，观察最终化简结果即可得出结论。
【解析】
解：先对原式去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=x^3 + 5x^2 + 4x - 3 + x^2 - 2x^3 + 3x + 1 + 4 - 7x - 6x^2 + x^3\\&=(x^3 - 2x^3 + x^3) + (5x^2 + x^2 - 6x^2) + (4x + 3x - 7x) + (-3 + 1 + 4)\\&=(1-2+1)x^3 + (5+1-6)x^2 + (4+3-7)x + 2\\&=0+0+0+2\\&=2\end{aligned}$
化简后结果为常数2，不含字母x，因此x的取值不会改变代数式的最终结果。
【答案】
不论x取何值，该代数式的值恒为2，值不变。
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，核心考查去括号、合并同类项的运算能力，理解代数式的值与未知数无关的本质是化简后不含该未知数，是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
12.已知关于 $ x, y $ 的多项式 $ 5x^2 - 2xy^2 - [3xy + 4y^2 + (9xy - 2y^2 - 2mxy^2) + 7x^2] - 1 $。
(1)若该多项式不含三次项，求 $ m $ 的值；
(2)在(1)的条件下，当 $ x^2 + y^2 = 13 $，$ xy = -6 $ 时，求该多项式的值。
(1)若该多项式不含三次项，求 $ m $ 的值；
(2)在(1)的条件下，当 $ x^2 + y^2 = 13 $，$ xy = -6 $ 时，求该多项式的值。
答案
解:(1)原式$=-2x^2 -2y^2 -12xy +(-2+2m)xy^2 -1$。
因为该多项式不含三次项，
所以$-2+2m=0$，
解得$m=1$。
(2)原式$=-2x^2 -2y^2 -12xy -1=-2(x^2 +y^2)-12xy -1$。
当$x^2 +y^2=13$,$xy=-6$时，
原式$=-2(x^2 +y^2)-12xy -1=-2×13 -12×(-6)-1=45$。
因为该多项式不含三次项，
所以$-2+2m=0$，
解得$m=1$。
(2)原式$=-2x^2 -2y^2 -12xy -1=-2(x^2 +y^2)-12xy -1$。
当$x^2 +y^2=13$,$xy=-6$时，
原式$=-2(x^2 +y^2)-12xy -1=-2×13 -12×(-6)-1=45$。
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要对多项式进行去括号、合并同类项的化简，“多项式不含三次项”的含义是所有三次项的系数均为0，本题中的三次项是含$xy^2$的项，因此化简后令$xy^2$项的系数等于0，即可求出$m$的值。
(2) 第一问求出$m=1$后，代入化简后的多项式，观察式子结构可将其变形为含有$x^2+y^2$和$xy$的形式，不需要单独求解$x$、$y$的值，直接将已知条件整体代入计算即可，能简化运算。
【解析】
(1) 先化简给定的多项式：
$\begin{aligned}原式&=5x^2 - 2xy^2 - [3xy + 4y^2 + 9xy - 2y^2 - 2mxy^2 + 7x^2] - 1\\&=5x^2 - 2xy^2 - 3xy - 4y^2 - 9xy + 2y^2 + 2mxy^2 - 7x^2 - 1\\&=(5x^2-7x^2)+(-4y^2+2y^2)+(-3xy-9xy)+(-2xy^2+2mxy^2)-1\\&=-2x^2 - 2y^2 - 12xy + (-2 + 2m)xy^2 - 1\end{aligned}$
因为该多项式不含三次项，所以三次项$xy^2$的系数为0，即：
$-2 + 2m = 0$
解得$m=1$。
(2) 将$m=1$代入化简后的多项式，得：
$原式=-2x^2 - 2y^2 - 12xy - 1$
对式子变形提取公因式：
$原式=-2(x^2 + y^2) - 12xy - 1$
将$x^2 + y^2=13$，$xy=-6$整体代入计算：
$\begin{aligned}原式&=-2×13 - 12×(-6) - 1\\&=-26 + 72 - 1\\&=45\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=1$；(2) $45$
【知识点】
整式的加减，多项式的项与次数，整体代入求值
【点评】
本题重点考查整式的化简运算及代数式求值的方法，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的法则，理解“多项式不含某类项即该类项系数为0”的规则，第二问使用整体代入的思想可大幅简化计算，避免求解单个未知数的繁琐过程。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问首先要对多项式进行去括号、合并同类项的化简，“多项式不含三次项”的含义是所有三次项的系数均为0，本题中的三次项是含$xy^2$的项，因此化简后令$xy^2$项的系数等于0，即可求出$m$的值。
(2) 第一问求出$m=1$后，代入化简后的多项式，观察式子结构可将其变形为含有$x^2+y^2$和$xy$的形式，不需要单独求解$x$、$y$的值，直接将已知条件整体代入计算即可，能简化运算。
【解析】
(1) 先化简给定的多项式：
$\begin{aligned}原式&=5x^2 - 2xy^2 - [3xy + 4y^2 + 9xy - 2y^2 - 2mxy^2 + 7x^2] - 1\\&=5x^2 - 2xy^2 - 3xy - 4y^2 - 9xy + 2y^2 + 2mxy^2 - 7x^2 - 1\\&=(5x^2-7x^2)+(-4y^2+2y^2)+(-3xy-9xy)+(-2xy^2+2mxy^2)-1\\&=-2x^2 - 2y^2 - 12xy + (-2 + 2m)xy^2 - 1\end{aligned}$
因为该多项式不含三次项，所以三次项$xy^2$的系数为0，即：
$-2 + 2m = 0$
解得$m=1$。
(2) 将$m=1$代入化简后的多项式，得：
$原式=-2x^2 - 2y^2 - 12xy - 1$
对式子变形提取公因式：
$原式=-2(x^2 + y^2) - 12xy - 1$
将$x^2 + y^2=13$，$xy=-6$整体代入计算：
$\begin{aligned}原式&=-2×13 - 12×(-6) - 1\\&=-26 + 72 - 1\\&=45\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=1$；(2) $45$
【知识点】
整式的加减，多项式的项与次数，整体代入求值
【点评】
本题重点考查整式的化简运算及代数式求值的方法，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的法则，理解“多项式不含某类项即该类项系数为0”的规则，第二问使用整体代入的思想可大幅简化计算，避免求解单个未知数的繁琐过程。
【难度系数】
0.7
