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1. (2025福建厦门思明区期末)计算机中常用的十六进制是一种逢十六进一的记数法,采用数字0~9和字母A~F共16个记数符号,这些符号与十进制的数字的对应关系如表所示.
例如,用十六进制表示$D+E=1B$,用十进制表示就是$13+14=1×16+11$,则用十六进制表示$E× F=$ (
A.6E
B.2D
C.D2
D.210
例如,用十六进制表示$D+E=1B$,用十进制表示就是$13+14=1×16+11$,则用十六进制表示$E× F=$ (
C
)A.6E
B.2D
C.D2
D.210
答案
1. C 解析 观察题表可知,E(十六进制)=14(十进制),F(十六进制)=15(十进制),所以 E×F = 14×15=210(十进制).因为 210÷16 = 13……2,所以用十六进制表示 E×F 为 D2. 故选 C.
解析
【分析】
解题时先明确十六进制和十进制的对应规则，分两步思考：第一步，先将十六进制的乘数E、F转换成对应的十进制数，按十进制乘法规则算出乘积；第二步，把得到的十进制乘积转换为十六进制，转换时用乘积除以16，商对应十六进制的高位，余数对应十六进制的低位，再将商和余数转换成对应的十六进制符号即可得到结果。
【解析】
根据表格对应关系可知：十六进制的E对应十进制的14，十六进制的F对应十进制的15。
先计算十进制下的乘积：$14×15=210$。
再将十进制的210转换为十六进制：计算得$210÷16=13······2$，即商为13，余数为2。
根据对应关系，十进制的13对应十六进制的D，余数2对应十六进制的2，因此210用十六进制表示为D2，即$E× F=D2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
进制换算，有理数乘法，有余数除法
【点评】
本题以计算机常用的十六进制为背景考查进位制的换算，题目情境新颖，解题核心是理解两种进位制的对应关系和转换方法，按照步骤逐步计算即可得出答案。
【难度系数】
0.7
解题时先明确十六进制和十进制的对应规则，分两步思考：第一步，先将十六进制的乘数E、F转换成对应的十进制数，按十进制乘法规则算出乘积；第二步，把得到的十进制乘积转换为十六进制，转换时用乘积除以16，商对应十六进制的高位，余数对应十六进制的低位，再将商和余数转换成对应的十六进制符号即可得到结果。
【解析】
根据表格对应关系可知：十六进制的E对应十进制的14，十六进制的F对应十进制的15。
先计算十进制下的乘积：$14×15=210$。
再将十进制的210转换为十六进制：计算得$210÷16=13······2$，即商为13，余数为2。
根据对应关系，十进制的13对应十六进制的D，余数2对应十六进制的2，因此210用十六进制表示为D2，即$E× F=D2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
进制换算，有理数乘法，有余数除法
【点评】
本题以计算机常用的十六进制为背景考查进位制的换算，题目情境新颖，解题核心是理解两种进位制的对应关系和转换方法，按照步骤逐步计算即可得出答案。
【难度系数】
0.7
2. (2025 河北石家庄辛集市期末) 三进制数$(201)_3$可用十进制数表示为$2×3^2 + 0×3^1 + 1×3^0 = 2×9 + 0 +1=19$；二进制数$(1011)_2$可用十进制数表示为$1×2^3 +0×2^2 +1×2 +1×2^0=8+0+2+1=11$. 那么$(221)_3$与$(10111)_2$的大小关系为（
A.$(221)_3 ＞ (10111)_2$
B.$(221)_3 = (10111)_2$
C.$(221)_3 ＜ (10111)_2$
D.不能确定
A
）A.$(221)_3 ＞ (10111)_2$
B.$(221)_3 = (10111)_2$
C.$(221)_3 ＜ (10111)_2$
D.不能确定
答案
2. A 解析 由题意可知$(221)_3 = 2×3^2 + 2×3^1 + 1×3^0 =2×9+2×3+1=25$,$(10111)_2 = 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23$. 因此$(221)_3 ＞ (10111)_2$. 故选 A.
解析
【分析】
要比较不同进制数的大小，首先需要把它们统一转换为我们熟悉的十进制数，再比较十进制数的大小即可。根据题目给出的转换示例可总结出转换规则：n进制数的每一位数字，从右往左依次对应乘n的0次方、n的1次方、n的2次方……，再将所有乘积相加，就能得到对应的十进制数，我们按照这个规则分别计算两个数的十进制值即可。
【解析】
1. 计算$(221)_3$对应的十进制数：
根据转换规则可得：
$\begin{aligned}(221)_3 &= 2×3^2 + 2×3^1 + 1×3^0 \\&= 2×9 + 2×3 + 1×1 \\&= 18 + 6 + 1 \\&= 25\end{aligned}$
2. 计算$(10111)_2$对应的十进制数：
根据转换规则可得：
$\begin{aligned}(10111)_2 &= 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 \\&= 1×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 1×1 \\&= 16 + 0 + 4 + 2 + 1 \\&= 23\end{aligned}$
3. 比较大小：因为$25＞23$，所以$(221)_3 ＞ (10111)_2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
进位制转换；有理数混合运算；有理数大小比较
【点评】
本题是进位制的基础应用题，核心考查不同进制数转十进制数的运算规则，只要理解题目给出的转换示例，按规则准确计算就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要比较不同进制数的大小，首先需要把它们统一转换为我们熟悉的十进制数，再比较十进制数的大小即可。根据题目给出的转换示例可总结出转换规则：n进制数的每一位数字，从右往左依次对应乘n的0次方、n的1次方、n的2次方……，再将所有乘积相加，就能得到对应的十进制数，我们按照这个规则分别计算两个数的十进制值即可。
【解析】
1. 计算$(221)_3$对应的十进制数：
根据转换规则可得：
$\begin{aligned}(221)_3 &= 2×3^2 + 2×3^1 + 1×3^0 \\&= 2×9 + 2×3 + 1×1 \\&= 18 + 6 + 1 \\&= 25\end{aligned}$
2. 计算$(10111)_2$对应的十进制数：
根据转换规则可得：
$\begin{aligned}(10111)_2 &= 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 \\&= 1×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 1×1 \\&= 16 + 0 + 4 + 2 + 1 \\&= 23\end{aligned}$
3. 比较大小：因为$25＞23$，所以$(221)_3 ＞ (10111)_2$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
进位制转换；有理数混合运算；有理数大小比较
【点评】
本题是进位制的基础应用题，核心考查不同进制数转十进制数的运算规则，只要理解题目给出的转换示例，按规则准确计算就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. (2025广东中山期末)十进制数转化为二进制数通常采用除2取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除2取余法。同样，十进制数转化为六进制数可用除6取余法。将十进制数13和500分别转化为二进制数和六进制数的方法如下，参照该方法将十进制数2000转化为八进制数为
$(3720)_8$
。答案
3. $(3720)_8$
解析
【分析】
本题属于进位制转换类题目，首先参照题干给出的十进制转二进制、六进制的方法规律，可总结出十进制转n进制的通用方法：用n连续除十进制数，每次记录所得余数，直到商为0，最后将余数从最后一次到第一次逆序排列，即可得到对应n进制数。因此要将十进制2000转八进制，采用“除8取余法”计算即可。
【解析】
按照除8取余法步骤计算：
1. 用8除2000：$2000 ÷ 8 = 250$，余数为$0$；
2. 用8除商250：$250 ÷ 8 = 31$，余数为$2$；
3. 用8除商31：$31 ÷ 8 = 3$，余数为$7$；
4. 用8除商3：$3 ÷ 8 = 0$，余数为$3$；
此时商为0，停止计算，将得到的余数按照从后到前的顺序逆序排列，得到$3720$，即对应八进制数。
【答案】
$(3720)_8$
【知识点】
进位制换算；除k取余法
【点评】
本题为方法类比应用题，需要先读懂题目给出的转换规则，再将规则迁移应用到新的进位制转换场景中，计算时要注意余数的排列顺序是逆序排列，不要按得到余数的顺序正序书写。
【难度系数】
0.7
本题属于进位制转换类题目，首先参照题干给出的十进制转二进制、六进制的方法规律，可总结出十进制转n进制的通用方法：用n连续除十进制数，每次记录所得余数，直到商为0，最后将余数从最后一次到第一次逆序排列，即可得到对应n进制数。因此要将十进制2000转八进制，采用“除8取余法”计算即可。
【解析】
按照除8取余法步骤计算：
1. 用8除2000：$2000 ÷ 8 = 250$，余数为$0$；
2. 用8除商250：$250 ÷ 8 = 31$，余数为$2$；
3. 用8除商31：$31 ÷ 8 = 3$，余数为$7$；
4. 用8除商3：$3 ÷ 8 = 0$，余数为$3$；
此时商为0，停止计算，将得到的余数按照从后到前的顺序逆序排列，得到$3720$，即对应八进制数。
【答案】
$(3720)_8$
【知识点】
进位制换算；除k取余法
【点评】
本题为方法类比应用题，需要先读懂题目给出的转换规则，再将规则迁移应用到新的进位制转换场景中，计算时要注意余数的排列顺序是逆序排列，不要按得到余数的顺序正序书写。
【难度系数】
0.7
4. (2025广东珠海金湾区期末)【背景】
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制,逢五进一就是五进制.
【素材一】
在我国远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳记数”.图1是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数,在从右边起依次排列的不同绳子上打结,满五进一,可用五进制数记为$(314)_5$,把五进制数转换为十进制数,即$(314)_5 = 3×5^2 +1×5^1 +4×5^0 =84$,孩子出生后的天数为84.(规定当$a≠0$时,$a^0=1$)
【素材二】
十进制数也可按除5取余法转换为五进制数,即将十进制数除以5,然后将商继续除以5,直到商等于0,最后将所有的余数逆序排列,就是结果.图2是将十进制数84转换为五进制数$(314)_5$的计算过程.
【任务一】
(1)如图3,写出这个结绳记数表示的五进制数,并把这个五进制数转换为十进制数,请写出计算过程.
【任务二】
(2)若孩子出生后的天数为101,则十进制数101可用五进制数记为(
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制,逢五进一就是五进制.
【素材一】
在我国远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳记数”.图1是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数,在从右边起依次排列的不同绳子上打结,满五进一,可用五进制数记为$(314)_5$,把五进制数转换为十进制数,即$(314)_5 = 3×5^2 +1×5^1 +4×5^0 =84$,孩子出生后的天数为84.(规定当$a≠0$时,$a^0=1$)
【素材二】
十进制数也可按除5取余法转换为五进制数,即将十进制数除以5,然后将商继续除以5,直到商等于0,最后将所有的余数逆序排列,就是结果.图2是将十进制数84转换为五进制数$(314)_5$的计算过程.
【任务一】
(1)如图3,写出这个结绳记数表示的五进制数,并把这个五进制数转换为十进制数,请写出计算过程.
【任务二】
(2)若孩子出生后的天数为101,则十进制数101可用五进制数记为(
401
)$_5$.答案
4. 解:(1)题图3中的结绳记数表示的五进制数是$(243)_5$.
$(243)_5 = 2×5^2 +4×5^1 +3×5^0 =73$.
(2) 401
$(243)_5 = 2×5^2 +4×5^1 +3×5^0 =73$.
(2) 401
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要明确结绳记数的规则：从左到右的绳子分别对应五进制数的高位到低位，每个绳子上的珠子数对应该数位的数字，据此先写出五进制数；再根据五进制转十进制的“乘权求和”规则，将五进制各数位的数字分别乘5的对应幂次（最高位幂次为位数减1，从左到右幂次依次减1，最低位幂次为0），相加即可得到对应的十进制数。
（2）解决第二问使用材料给出的“除5取余法”：将十进制数反复除以5，依次记录每次的余数，直到商为0，最后将所有余数从最后一个到第一个逆序排列，即可得到对应的五进制数。
【解析】
（1）观察图3的结绳，从左到右三个绳子的珠子数依次为2、4、3，因此对应的五进制数为$(243)_5$。
根据五进制转十进制的规则计算：
$\begin{aligned}(243)_5&=2×5^2 + 4×5^1 + 3×5^0\\&=2×25 + 4×5 + 3×1\\&=50 + 20 + 3\\&=73\end{aligned}$
（2）用除5取余法将十进制101转换为五进制：
第一步：$101÷5=20······1$，记余数1；
第二步：$20÷5=4······0$，记余数0；
第三步：$4÷5=0······4$，记余数4，此时商为0停止计算。
将余数逆序排列为4、0、1，因此对应的五进制数为$(401)_5$。
【答案】
(1) 五进制数为$(243)_5$，转换为十进制数是73；(2) 401
【知识点】
1. 进位制转换 2. 乘权求和法 3. 除5取余法
【点评】
本题结合传统结绳记数的情境考查进位制换算，核心是读懂材料给出的转换规则，掌握五进制和十进制互转的方法，侧重信息提取和方法运用能力的考查。
【难度系数】
0.75
（1）解决第一问首先要明确结绳记数的规则：从左到右的绳子分别对应五进制数的高位到低位，每个绳子上的珠子数对应该数位的数字，据此先写出五进制数；再根据五进制转十进制的“乘权求和”规则，将五进制各数位的数字分别乘5的对应幂次（最高位幂次为位数减1，从左到右幂次依次减1，最低位幂次为0），相加即可得到对应的十进制数。
（2）解决第二问使用材料给出的“除5取余法”：将十进制数反复除以5，依次记录每次的余数，直到商为0，最后将所有余数从最后一个到第一个逆序排列，即可得到对应的五进制数。
【解析】
（1）观察图3的结绳，从左到右三个绳子的珠子数依次为2、4、3，因此对应的五进制数为$(243)_5$。
根据五进制转十进制的规则计算：
$\begin{aligned}(243)_5&=2×5^2 + 4×5^1 + 3×5^0\\&=2×25 + 4×5 + 3×1\\&=50 + 20 + 3\\&=73\end{aligned}$
（2）用除5取余法将十进制101转换为五进制：
第一步：$101÷5=20······1$，记余数1；
第二步：$20÷5=4······0$，记余数0；
第三步：$4÷5=0······4$，记余数4，此时商为0停止计算。
将余数逆序排列为4、0、1，因此对应的五进制数为$(401)_5$。
【答案】
(1) 五进制数为$(243)_5$，转换为十进制数是73；(2) 401
【知识点】
1. 进位制转换 2. 乘权求和法 3. 除5取余法
【点评】
本题结合传统结绳记数的情境考查进位制换算，核心是读懂材料给出的转换规则，掌握五进制和十进制互转的方法，侧重信息提取和方法运用能力的考查。
【难度系数】
0.75
